4.2 换底公式
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思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝.教师直接点出课题．
思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质及应用．我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题．
思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题．
推进新课
活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．
讨论结果：①因为lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根据对数的定义，所以100.301 0＝2,100.477 1＝3.
不妨设log23＝x，则2x＝3，所以(100.301 0)x＝100.477 1，
100．301 0×x＝100.477 1，即0.301 0x＝0.477 1，x＝＝.
因此log23＝＝≈1.585 1.
②根据①我们看到，最后的结果是log23用lg 2与lg 3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，
不妨设log23＝x，由对数定义知道，2x＝3，
两边都取以a为底的对数，得
loga2x＝loga3，xloga2＝loga3，x＝，也就是log23＝.
这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商．
③证明logab＝.
证明：设logab＝x，由对数定义知道，ax＝b；
两边取c为底的对数，得logcax＝logcbxlogca＝logcb；
所以x＝，即logab＝.
一般地，logab＝(a＞0，a≠1，b＞0，c＞0，c≠1)称为对数换底公式．
④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M＞0，N＞0，M＝N，则logaM＝logaN.
⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．
⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算法则创造条件，更方便化简求值．
说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log23＝，
即计算log23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．
再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x＝log1.01，
所以x＝log1.01＝＝≈＝32.883 7≈33年．
可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．
思路1
例1计算：(1)log927；(2)log89·log2732.
活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．
(1)解：log927＝＝.
(2)解法一：log89·log2732＝·＝·＝.
解法二：log89·log2732＝·＝·＝.
解法三：log89·log2732＝·＝·＝.
点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键．
例2 用科学计算器计算下列对数(精确到0.001)：
log248；log310；log8π；log550；log1.0822.
解：log248＝5.585；log310＝2.096；log8π≈0.550；log550＝2.431；log1.0822＝8.795.
例3 (1)证明＝1＋logab；
(2)已知loga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ，
求证：loga1a2…an(b1b2…bn)＝λ.
活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a为底的对数，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解，利用换底公式可直接得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解．
(1)证法一：设logax＝p，logabx＝q，logab＝r，
则x＝ap，x＝(ab)q＝aqbq，b＝ar.所以ap＝(ab)q＝aq(1＋r)，从而p＝q(1＋r)．
因为q≠0，所以＝1＋r，即＝1＋logab(获证)．
证法二：左边＝＝＝logaab＝1＋logab＝右边．
(2)证明：因为loga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ，
所以由换底公式得＝＝…＝＝λ.
由等比定理，所以＝λ.所以＝λ.
所以loga1a2…an(b1b2…bn)＝＝λ.
点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．
例4 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字)．
活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时要使实际问题有意义．
解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y.则
经过1年，剩留量是y＝0.84；
经过2年，剩留量是y＝0.842；
……
经过x年，剩留量是y＝0.84x.
方法一：根据函数关系式列下表．根据表内数据描点画出函数的图像．
x
0
1
2
3
5
…
y＝0.84x
1
0.84
0.71
0.59
0.42
…
从图中观察，y≈0.5时对应有x＝4，
即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．
方法二：依题意得0.84x＝0.5，用科学计算器计算得
x＝log0.840.5＝＝3.98，
即约经过4年，该物质的剩留量是原来的一半．
图2
点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点．
思路2
例1 (1)已知log23＝a，log37＝b，用a，b表示log4256.
(2)若log83＝p，log35＝q，求lg 5.
活动：学生交流，展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价，要注意转化．利用对数运算性质法则和换底公式进行化简，然后再表示．对(1)据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再灵活利用对数的运算性质解决．
解：(1)因为log23＝a，则＝log32，又因为log37＝b，
所以log4256＝＝＝.
(2)因为log83＝p，即log233＝p，所以log23＝3p.
所以log32＝.
又因为log35＝q，所以lg5＝＝＝.
点评：本题是条件问题，要充分考虑到条件与结论的关系，更要灵活运用对数的换底公式和运算性质.
变式训练
已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645.
解：因为log189＝a，所以log18＝1－log182＝a.所以log182＝1－a.
因为18b＝5，所以log185＝b.
所以log3645＝＝＝.
点评：在解题过程中，根据问题的需要，指数式转化为对数式，或对数式转化为指数式，这正是数学中转化思想的具体体现，转化思想是中学中重要的数学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活运用.
例2 设x，y，z∈(0，＋∞)，且3x＝4y＝6z.
(1)求证：＋＝；(2)比较3x,4y,6z的大小．
活动：学生观察，积极思考，尽量把所学知识与题目结合起来，教师及时提示引导．(1)利用对数的定义把x，y，z表示出来，根据对数的定义把3x＝4y＝6z转化为指数式，求出x，y，z，然后计算．(2)在(1)的基础上利用中间量，作差比较，利用对数的运算性质进行比较．
(1)证明：设3x＝4y＝6z＝k，因为x，y，z∈(0，＋∞)，所以k＞1.
取对数，得x＝，y＝，z＝，
所以＋＝＋＝＝＝＝，
即＋＝.
(2)解：因为3x－4y＝lg k＝lg k＝＜0，
所以3x＜4y.
又因为4y－6z＝lg k＝lg k＝＜0，
所以4y＜6z.所以3x＜4y＜6z.
点评：如果题目中有指数式，常根据对数的定义转化为对数式，有对数式常根据对数的定义转化为指数式，比较大小常用作差，如果是几个数比较大小，有时采用中间量法，要具体情况具体分析．
例3 已知logax＝logac＋b，求x.
活动：学生讨论，教师指导，教师提问，学生回答，教师对解题中出现的问题及时处理．把对数式转化为指数式求解，或把b转化为对数形式利用对数的运算性质来解．由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将logac移到等式左端，或者将b变为对数形式来解．
解法一：由对数定义，可知x＝alogac＋b＝alogac·ab＝c·ab.
解法二：由已知移项可得logax－logac＝b，即loga＝b，由对数定义，知＝ab，
所以x＝c·ab.
解法三：因为b＝logaab，所以logax＝logac＋logaab＝logac·ab.
所以x＝c·ab.
点评：利用对数定义进行指数式与对数式的互化对解题起到关键作用．
(1)已知lg 2＝a，lg 3＝b，则等于( )．
A. B.
C. D.
(2)已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则的值为( )．
A．1 B．4
C．1或4 D．4或－1
(3)若3a＝2，则log38－2log36＝__________.
(4)lg 12.5－lg＋lg 0.5＝__________.
答案：(1)C (2)B (3)a－2 (4)1
探究换底公式的其他证明方法：
活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导：大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．
证法一：设logaN＝x，则ax＝N，两边取以c(c＞0且c≠1)为底的对数，得logcax＝logcN，
所以xlogca＝logcN，即x＝.故logaN＝.
证法二：由对数恒等式，得N＝alogaN，两边取以c(c＞0且c≠1)为底的对数，得logcN＝logaN·logca，所以logaN＝.
证法三：令logca＝m，logaN＝n，则a＝cm，N＝an，所以N＝(cm)n＝cmn.
两边取以c(c＞0且c≠1)为底的对数，得mn＝logcN，
所以n＝，即logaN＝.
对数换底公式的应用：换底公式logaN＝(c＞0且c≠1，a＞0且a≠1，N＞0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：
例：化简：＋＋＋.
解：原式＝logNM＋logNM＋logNM＋logNM＝4logNM.
1．对数换底公式．
2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a＞0且a≠1)为底的对数式的形式，进行化简、求值或证明．
1．已知＝a，＝b，求log81175的值．
解：因为＝log277＝log37＝a，
所以log37＝3a.
又因为＝log35＝b，
所以log81175＝log325×7＝(log325＋log37)＝(2log35＋log37)＝.
2．求证：(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)log9＝.
证明：左边＝(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)log9
＝
＝nlog23·log3＝log23·log32＝＝右边．
本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算法则是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用更为广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，授课时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．
【备选例题】
【例1】 化简：···.
解：原式＝···＝logNM·logNM·logNM·logNM＝(logNM)4.
【例2】 求证：logab＝(a＞0，b＞0且a≠1，b≠1)．
证法一：logab＝＝.
证法二：＝＝logab.
【例3】 试证：＋＋＋…＋＝.
证明：＋＋＋…＋＝logx(2×3×4×…×n)
＝logx(1×2×3×4×…×n)＝logxn！＝.
对数的创立
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550—1617年)男爵．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．
当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样．在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因此纳皮尔并不是像现行代数课本中那样，通过指数来引出对数，而是通过研究直线运动得出对数概念的．那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14，….
1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1 024,2 048,4 096,8 192,16 384，….
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的加和来实现．
比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384.纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了．回忆一下，我们在中学学习“运用对数简化计算”的时候，采用的不正是这种思路吗？计算两个复杂数的乘积，先查《常用对数表》，找到这两个复杂数的常用对数，再把这两个常用对数值相加，再通过《常用对数的反对数表》查出加和值的反对数值，就是原先那两个复杂数的乘积了．这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？
经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点．所以，纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，理应在数学史上享有这份殊荣．伟大的导师恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．
(设计者：刘菲)
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