§5 对数函数
教学分析
有了学习指数函数的图像和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图像和性质的研究便水到渠成．
对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受．在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为(0，＋∞)的理解．在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图像和性质，是本节的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响(即对对数函数单调性的影响)是教学的一个难点，教学时要充分利用图像，数形结合，帮助学生理解．
为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可以先让学生在同一坐标系内画出函数y＝log2x和y＝的图像，通过两个具体的例子，引导学生共同分析它们的性质．有条件的学校也可以利用《几何画板》软件，定义变量a，作出函数y＝logax的图像，通过改变a的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图像和性质．
研究了对数函数的图像和性质之后，可以将对数函数的图像和性质与指数函数的图像和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图像和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出作一些准备．
三维目标
1．理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实际中的简单应用，培养学生数学交流能力和与人合作精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．
2．能根据对数函数的图像，画出含有对数式的函数的图像，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题．认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用意识．
3．掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图像变化规律的理解，通过对数函数有关性质的研究，培养学生观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质，培养学生数学交流能力．
重点难点
教学重点：对数函数的定义、图像和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．
教学难点：底数a对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明．
课时安排
3课时
5．1 对数函数的概念
导入新课
思路1.考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用t＝P估算出土文物或古遗址的年代．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系t＝P都有唯一确定的年代t与它对应，所以t是P的函数．同理，对于每一个对数式y＝logax中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以y＝logax是关于x
的函数．这就是本节课的主要内容，教师点出课题：对数函数的概念．
思路2.我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y＝2x表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x＝log2y.如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y＝log2x.这一节，我们来研究与指数函数密切相关的函数——对数函数．教师点出课题：对数函数的概念．
推进新课
①用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢x表示的漂洗次数y的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢，不超过原有的，则至少要漂洗几次？
②你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概念？
③为什么对数函数的概念中明确规定a＞0，a≠1?
④你能求出对数函数的定义域、值域吗？
⑤如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它的步骤．
活动：先让学生仔细审题，交流讨论，然后回答，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论．
讨论结果：(1)若每次能洗去污垢的，则每次剩余污垢的，漂洗1次存留污垢x＝，漂洗2次存留污垢x＝2，…，漂洗y次后存留污垢x＝y，因此y用x表示的关系式是对上式两边取对数得y＝，当x＝时，y＝3，因此至少要漂洗3次．
(2)对于式子y＝，如果用字母a替代，这就是一般性的结论，即对数函数的定义：
函数y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0)叫作对数函数，对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
(3)根据对数与指数式的关系，知y＝logax可化为ay＝x，由指数的概念，要使ay＝x有意义，必须规定a＞0且a≠1.
(4)因为y＝logax可化为x＝ay，不管y取什么值，由指数函数的性质ay＞0，所以x∈(0，＋∞)，对数函数的值域为(－∞，＋∞)．
(5)只有形如y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0)的函数才叫作对数函数，
即对数符号前面的系数为1，底数是正常数，真数是x的形式，否则就不是对数函数．像y＝loga(x＋1)，y＝2logax，y＝logax＋1等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数．
指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)有什么关系？
指数函数y＝ax和对数函数x＝logay刻画的是同一对变量x，y之间的关系，所不同的是：在指数函数y＝ax中，x是自变量，y是x的函数．其定义域是R，值域是(0，＋∞)；在对数函数x＝logay中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是(0，＋∞)，值域是R.像这样的两个函数叫作互为反函数，就是说，对数函数x＝logay是指数函数y＝ax的反函数，指数函数y＝ax是对数函数x＝logay的反函数．
由于对数函数通常写成y＝logax(a＞0，a≠1)，因此，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)是对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的反函数；同时，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)也是指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的反函数．
思路1
例1 (1)计算对数函数y＝log2x对应于x取1,2,4时的函数值；
(2)计算常用对数函数y＝lg x对应于x取1,10,100,0.1时的函数值．
解：(1)当x＝1时，y＝log2x＝log21＝0，当x＝2时，y＝log2x＝log22＝1，当x＝4时，y＝log2x＝log24＝2.
(2)当x＝1时，y＝lg x＝lg 1＝0，当x＝10时，y＝lg x＝lg 10＝1，当x＝100时，y＝lg x＝lg 100＝2，当x＝0.1时，y＝lg x＝lg 0.1＝－1.
例2 写出下列对数函数的反函数：
(1)y＝lg x；(2)y＝.
活动：我们知道对数函数与指数函数互为反函数．同学们只要把握住这一点就不难解决问题．
解：(1)对数函数y＝lg x，它的底数是10，它的反函数是指数函数y＝10x；
(2)对数函数y＝logx，它的底数是，它的反函数是指数函数y＝x.
例3 写出下列指数函数的反函数：
(1)y＝5x；(2)y＝x.
活动：学生审题，教师提示强调，指数函数与对数函数互为反函数．
解：(1)指数函数y＝5x，它的底数是5，它的反函数是对数函数y＝log5x；
(2)指数函数y＝x，它的底数是，它的反函数是对数函数y＝logx.
点评：深刻理解对数的定义是解题的关键．
思路2
例1 求下列函数的定义域：
(1)y＝logx＋1(16－4x)；(2)y＝log3x－1.
活动：学生回忆，教师提示，学生展示解题过程，教师巡导，及时评价学生．此题主要利用对数函数的定义及y＝logax的定义域(0，＋∞)求解．教师引导，学生回答，求函数定义域时应首先考虑函数解析式，这两类题既有二次根式，又有分式及对数和指数式，且底数和指数中含有变量，因此考虑被开方数非负；分母不为零；零和负数没有对数；底数不为1等；转化为不等式来解．
解：(1)要使函数有意义，需即
所以函数的定义域为{x|－1＜x＜2，且x≠0}．
(2)要使函数有意义，需解得所以函数的定义域为{x|x＞1}．
例2 求证：函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
活动：学生考虑，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．判断函数的奇偶性，一般用定义法，学生回忆判断函数奇偶性的方法，要按规定的格式来写．
证明：设f(x)＝lg(－x)，由－x＞0，
得x∈(－∞，＋∞)，即函数的定义域为(－∞，＋∞)，它关于原点对称，
又对于定义域(－∞，＋∞)内的任意的x，
都有f(－x)＝lg(＋x)＝lg(＋x)＝lg
＝－lg(－x)＝－f(x)，所以函数y＝lg(－x)是奇函数．
点评：函数奇偶性的判定不能只根据表面形式加以判定，而必须进行严格的演算才能得出正确的结论．
求下列函数的定义域：
(1)f(x2－2)＝lg；(2)y＝.
解：(1)设x2－2＝t，则x2＝2＋t，所以＝.所以f(t)＝lg，即f(x)＝lg.
因为x2≥0，所以t＝x2－2≥－2，又＞0，所以t＞3.
所以所求函数定义域为{x|x＞3}．
(2)要使函数有意义需得得
所以所求函数定义域为{x|－2≤x＜或＜x＜0或1＜x＜或＜x≤2}．
在同一坐标系中，画出函数y＝log3x，y＝，y＝log2x，y＝的图像，比一比，看它们之间有何区别与联系．
活动：教师引导学生回顾作函数图像的方法与步骤，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，及时评价学生，学生独立思考，独立画图，观察图像及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识．计算机画出如下图像．
图1
可以看到：所有图像都跨越一、四象限，任何两个图像都是交叉出现的，交叉点是(1,0)；
当a＞1时，图像向下与y轴的负半轴无限靠拢，在点(1,0)的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小，在点(1,0)的左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大．
当0＜a＜1时，图像向上与y轴的正半轴无限靠拢，在点(1,0)的左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大；在点(1,0)的右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小．
以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个对数函数的底数的大小关系．
怎样定量分析同一坐标系中，底数不同的对数函数的底数的大小呢？我们知道，对于对数函数y＝logax，当y＝1时，x＝a，而a恰好又是对数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线y＝1，它同各个图像相交，交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，以此可比较底数的大小．
同时，根据不同图像间的关系，也可比较真数相同，底数不同的对数函数值的大小，如log23＜log1.53，log20.5＜log30.5，log0.52＞log0.62等．
除了上述两种情况外，对于底数和真数都不同的函数值也可通过媒介值“0”或“1”去比较大小．
如log1.50.5与log0.50.3，因为log1.50.5＜0，log0.50.3＞0，所以log1.50.5＜log0.50.3.
又如log21.5与log0.50.4，因为log21＜log21.5＜log22，
所以0＜log21.5＜1.又因为log0.50.4＞log0.50.5＝1，所以log0.50.4＞log21.5.
1．对数函数的概念．
2．对数函数的反函数．
习题3—5 A组 1,2,3.
本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习的基础，鉴于这种情况，安排教学时，要充分利用函数图像，数形结合，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，通俗易懂，因此课堂容量大，要提高学生互动的积极性，特别是归纳出对数函数的图像和性质后，要与指数函数的图像和性质进行比较，加深对数函数的概念的理解，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．
(设计者：郝云静)
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