第三章 指数函数和对数函数
教材把指数函数、对数函数当作两种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图像的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体的函数模型解决一些实际问题．
本章总的教学目标是：了解指数函数模型的实际背景，理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)＝ax的符号及意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像，探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点)，通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型；理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用；通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)＝logax的符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点)；知道指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a＞0，a≠1)，初步了解反函数的概念和f－1(x)的意义．
本章的重点是两种初等函数的概念、图像及性质，要在理解定义的基础上，通过几个特殊函数图像的观察，归纳得出一般图像及性质，这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法．把这两种函数的图像及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点．
教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望．教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情境创设．在学习对数函数的图像和性质时，教材将它与指数函数的有关内容作了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想．建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用．教材对反函数的学习要求仅限于初步地知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展．通过运用计算机绘制指数函数的动态图像，使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用，教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能．教材安排了“阅读与思考”的内容，有利于加强数学文化的教育，应指导学生认真研读．
本章教学时间约需14课时，具体分配如下(仅供参考)：
§1
正整数指数函数
1课时
§2
指数扩充及其运算性质
2课时
§3
指数函数
3课时
§4
对数
3课时
§5
对数函数
3课时
§6
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1课时
本章复习
1课时
§1 正整数指数函数
教学分析
正整数函数的引入有两个基础，一是第二章函数的概念，“函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集上的映射”，因而我们可以建立一个正整数集到正整数集上的映射——正整数指数函数；二是学生已有这方面的大量生活体验，他们熟悉的增长问题、复利问题、质量浓度问题都可归结为正整数指数函数．
正整数指数函数通过两个实际问题“细胞分裂”和“氟化物的释放”给出，这样说明指数函数的概念来源于客观实际，便于学生接受和培养应用数学的意识．
正整数指数函数的概念为以后学习的“指数函数”及“数列”作准备，本节的作用只是把学生熟悉的问题同函数观点整理提高，通过实例理解认识，不必过于展开．
三维目标
1．了解正整数指数函数的概念，能画出一些简单正整数指数函数的图像，并了解它们的图形特征．
2．了解正整数指数函数在我们实际生活中的应用．
3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想、化归与转化能力的培养．
重点难点
教学重点：正整数指数函数的概念，函数图像的特征．
教学难点：正整数指数函数图像的特征．
课时安排
1课时
导入新课
1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为2%，到2008年底人口将达到多少亿？(取1.0216＝1.37)
为解决这个问题，我们必须建立相应问题的数学模型、函数关系，设年数为x，人口数为y，则y＝54.8(1＋2%)x，其中x∈N＋，我们给y＝(1＋2%)x起个名字(x∈N＋)为正整数指数函数引出本节课题．
推进新课
问题1.某种细胞分裂时，由1个分裂为2个，2个分裂为4个……一直分裂下去．
①列表表示1个细胞分裂次数分别为1,2,3,4,5,6,7,8时，得到的细胞个数；
②用图像表示1个细胞分裂次数n(n∈N＋)与得到的细胞个数y之间的关系；
③写出y与n之间的关系式，试用科学计算器计算细胞分裂15,20次得到的细胞个数．
2．根据上述的关系式，归纳一般的函数关系式，并指出其定义域．
活动：问题是常见的细胞分裂问题，利用解决问题的一般思路，顺理成章．①把题目的含义读出来，列举写出；②列表法，描点、画出函数的图像，要注意观察图像的特点；③归纳出y与n之间的关系用函数模型表示出来，再计算得到的细胞个数，注意归纳法的应用．
讨论结果：1.①利用正整数指数幂的运算法则可以算出，如下表：
分裂次数(n)
1
2
3
4
5
6
7
8
细胞个数(y)
2
4
8
16
32
64
128
256
②根据上表可得到如下图像(图1)：
图1
③根据题意可得细胞分裂次数n与细胞个数y之间的关系式为y＝2n(n∈N＋)，用科学计算器计算得215＝32 768,220＝1 048 576.
那么细胞分裂15次、20次得到的细胞个数分别是32 768个和1 048 576个．
2．对于y＝2n(n∈N＋)，我们用更一般的式子来表示，用a取代2(a＞0)，用x取代n(x∈N＋)，则上式可以表示为y＝ax(a＞0且a≠1，x∈N＋)，我们称这样的函数为正整数指数函数，其中定义域为x∈N＋，即正整数集，正因为其定义域为正整数，所以我们称之为正整数指数函数．
特别指出的是y＝ax有如下特点：
①x是自变量，定义域是正整数集N＋，x在指数上．
②当a＞1时，是单调递增函数，当0＜a＜1时，是单调递减的函数．
③规定底数大于0且不等于1.
思路1
例1 判断下列函数是否为正整数指数函数：
(1)y＝3x(x∈N＋)；
(2)y＝3－x(x∈N＋)；
(3)y＝2×3x(x∈N＋)；
(4)y＝x3(x∈N＋)．
活动：学生审题，教师指导，要判断一个函数是否是正整数指数函数，要紧扣正整数指数函数的特点，即ax的系数为1，x∈N＋，a是大于0且不为1的常数，掌握了这些特点，不难判断．
解：(1)y＝3x(x∈N＋)，符合定义，是正整数指数函数．
(2)y＝3－x(x∈N＋)，由于y＝3－x＝x，所以它也是正整数指数函数．
(3)y＝2×3x，不符合定义特点，所以不是．
(4)y＝x3，不符合定义特点，所以也不是．
点评：紧扣正整数指数函数的特点是判断的关键．
例2 下列给出的四个正整数指数函数中，是减函数的为( )．
A．y＝1.2x(x∈N＋) B．y＝3x(x∈N＋)
C．y＝0.999x(x∈N＋) D．y＝πx(x∈N＋)
活动：学生读题，然后思考或讨论，教师引导学生回忆正整数指数函数的性质，紧扣性质解题．
由于1.2＞1,3＞1，π＞1,0.999＜1，所以选C.
答案：C
思路2
例1 电冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q近似满足关系式Q＝Q0·0.997 5t，其中Q0是臭氧的初始量，t是时间(年)．这里设Q0＝1.
(1)计算经过20,40,60,80,100年，臭氧含量Q；
(2)用图像表示每隔20年臭氧含量Q的变化；
(3)试分析随着时间的增加，臭氧含量Q是增加还是减少．
活动：学生思考或交流，依次用计算器算出臭氧含量Q，教师适时点拨指导．
解：(1)使用科学计算器可算得，经过20,40,60,80,100年后，臭氧含量Q分别是：
0．997 520＝0.951 2，
0．997 540＝0.904 7，
0．997 560＝0.860 5，
0．997 580＝0.818 5，
0．997 5100＝0.778 6.
(2)图2表示每隔20年臭氧含量Q的变化，它的图像也是由一些孤立的点组成．
图2
(3)通过计算和看图可以知道，随着时间的增加，臭氧的含量在逐渐減少．
点评：注意实际问题的图像与数学模型的图像的差别，要深刻体会．
2某地现有森林面积为1 000 hm2，每年增长5%，经过x(x∈N＋)年，森林面积为y hm2，写出x，y间的函数关系式，并求出经过5年，森林的面积．
解：y与x之间的函数关系式为y＝1 000(1＋5%)x(x∈N＋)，
经过5年，森林的面积为1 000(1＋5%)5＝1 276.28(hm2)．
本节练习
让学生从报纸、杂志中或上网搜集有关正整数指数函数的实例，并进行交流，把体会写成一个论文的形式上交．
1．正整数指数函数的概念．
2．正整数指数函数的图像特征．
习题3—1 1,2,3.
正整数指数函数的概念是在前面学习的函数的基础上，结合具体实例引入的，比较贴近实际，因此通过实例模型引导学生，指出其定义域，很多问题如人口问题、森林问题、细胞分裂问题等都与正整数指数函数有关，因此，要反复学习，深刻体会，为下一步学习打下良好的基础．
[备用习题]
抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽( )．
A．6次 B．7次 C．8次 D．9次
解析：设至少要抽x次，则(1－60%)x＜.
解得x＞7，即最少要抽8次．
答案：C
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