5．3 对数函数的图像和性质(2)
导入新课
思路1.复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝ax与函数y＝logax到底还有什么关系呢？这就是本堂课的新内容——反函数．
思路2.在比较系统地学习对数函数的定义、图像和性质的基础上，利用对数函数的图像和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图像和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，搞清y＝ax与函数y＝logax的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．
推进新课
①用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y与y＝2x与y＝log2x的函数图像.
②通过图像探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？
③如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由.
④探索y＝2x与x＝log2y的图像间的关系.
⑤探索y＝2x与y＝log2x的图像间的关系.
⑥结合②与⑤推测函数y＝ax与函数y＝logax的关系.
讨论结果：①y＝2x与x＝log2y.
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
1
2
4
8
…
y＝log2x.
y
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
x
…
1
2
4
8
…
图像如图7.
图7
②在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数(x∈R，y∈R＋)，而且其在R上是单调递增函数．过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图像有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数．
③由指数式与对数式关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y的作用之下，都有唯一的确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x＝log2y.这时我们把函数x＝log2y〔y∈(0，＋∞)〕叫作函数y＝2x(x∈R)的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中的x、y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数．由上述讨论可知，对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数；同时，指数函数y＝2x(x∈R)也是对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y＝2x(x∈R)与对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕互为反函数．
以后，我们所说的反函数是x，y对调后的函数．如y＝log3x，x∈(0，＋∞)与y＝3x(x∈R)互为反函数，y＝log0.5x与y＝0.5x(x∈R)互为反函数．
④从我们的列表中知道，y＝2x与x＝log2y是同一个函数图像．
⑤通过观察图像可知，y＝2x与y＝log2x的图像关于直线y＝x对称．
⑥通过②与⑤类比，归纳知道，y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是y＝logax(a＞0且a≠1)，且它们的图像关于直线y＝x对称．
由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．
(1)用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图像：①y＝log3x；②y＝log2x；③y＝log5x.
(2)从图像上观察它们之间有什么样的关系？
(3)函数y＝logax，a＞1时，a的变化对图像有何影响？
(4)函数y＝logax，0＜a＜1时，a的变化对图像有何影响？
活动：学生动手画出函数图像，教师点拨，学生没有思路教师可以提示．
学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图像，特别是关键点．
讨论结果：(1)如图8.
图8
(2)观察图8可以看出，y＝log3x，y＝log2x，y＝log5x的图像间有如下关系：都过(1,0)点，都在y轴右边，都是定义域上的增函数，不同的是函数增长的速度不同．
(3)y＝logax，a＞1时，a越大，函数增长得越慢，向右离x轴越近，向下离y轴越近．
(4)y＝logax,0＜a＜1时，a越小，向右离x轴越近，向上离y轴越近．
例1 观察在同一坐标系内函数y＝log2x与y＝2x的图像，分析它们之间的关系．
活动：学生独立在同一坐标系内作出两个函数的图像，要抓住关键点和关键步骤，教师指点、引导学生动手、动脑，注意观察的方法．
解：图9是函数y＝log2x与y＝2x的图像．从图像上可以看出，函数y＝log2x与函数y＝2x的图像关于直线y＝x对称．事实上，函数y＝log2x与函数y＝2x互为反函数，对应于函数y＝log2x的图像上的任一点P(a，b)，P点关于直线y＝x的对称点Q(b，a)总在函数y＝2x的图像上．
图9
例2 课本例7.
活动：学生仔细阅读题目，分析问题的实际意义．列出数学模型，从而达到解决问题的目的．
解：因为14C的半衰期是5 730年．所以建立方程＝e－5 730r.
解得r＝0.000 121，由此可知14C的衰减规律服从指数型函数
C(t)＝C0e－0.000 121t.
设发现Hammurbi王朝木炭的时间(1950年)为t0年．
因为放射性的物质的衰减速度是与其质量成正比的，所以＝.
于是e－0.000 121t0＝.
两边取自然对数，得－0.000 121 t0＝ln 4.09－ln 6.68，解得t0≈4 054(年)．
即Hammurbi王朝大约存在于公元前2100年．
例3 若1＜x＜2，比较(log2x)2，log2x2，log2(log2x)的大小．
活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，学生有困难，教师可以提示并及时评价．这是有条件的比较大小，几个对数式各不相同，应采取中间量法．很明显，log2(log2x)小于0，只要比较(log2x)2与log2x2的大小即可．
解：log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2.
解法一：因为log2x2－(log2x)2＝log2x·(2－log2x)＝log2x·log2，
又因为1＜x＜2，所以1＜x＜.
所以log2＞0，log2x＞0.所以log2x2＞(log2x)2＞0.
又因为log2x＜1，log2(log2x)＜0，所以log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2.
解法二：因为(log2x)2－log2x2＝(log2x)2－2log2x＋1－1＝(log2x－1)2－1，
又1＜x＜2，所以0＜log2x＜1，即0＜(log2x)2＜1.因此(log2x－1)2－1＜0.
又log2(log2x)＜0，故log2(log2x)＜(log2x)2＜log2x2.
点评：比较数的大小方法：
①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．
②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小．
③计算出每个数的值，再比较大小．
④若是两个以上的数，有时采用中间量比较．
⑤利用图像法．
⑥利用函数的单调性．
已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|log2x＞1}，则M∩N等于( )．
A．∅
B．{x│0＜x＜3}
C．{x│1＜x＜3}
D．{x│2＜x＜3}
答案：D
对于区间[m，n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x∈[m，n]，均有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则称f(x)与g(x)在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1(x)＝loga(x－3a)与f2(x)＝loga(a＞0，a≠1)，给定区间[a＋2，a＋3]．
(1)若f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上都有意义，求a的取值范围；
(2)讨论f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是否是接近的．
活动：学生读题，理解题目的含义，教师引导学生，及时提示，严格把握新信息f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的定义解题．
解：(1)依题意a＞0，a≠1，a＋2－3a＞0，a＋2－a＞0，所以0＜a＜1.
(2)|f1(x)－f2(x)|＝|loga(x2－4ax＋3a2)|.
令|f1(x)－f2(x)|≤1，
得－1≤loga(x2－4ax＋3a2)≤1.①
因为0＜a＜1，又[a＋2，a＋3]在x＝2a的右侧，
所以g(x)＝loga(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上为减函数．
从而g(x)max＝g(a＋2)＝loga(4－4a)，g(x)min＝g(a＋3)＝loga(9－6a)．
于是①成立，当且仅当
解此不等式组得0＜a≤.
故当0＜a≤时，f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是接近的；
当a＞且a≠1时，f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是非接近的．
1．互为反函数的概念及其图像间的关系．
2．对数函数图像的平移变换规律．
3．本节课又复习了对数函数的图像与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图像的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律．
4．指、对数函数图像性质对比．
习题3—5 B组1,2,3,4.
学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义、图像和性质，因此本堂课首先组织学生回顾函数的通性，以及有关指数型函数的图像的变化规律以及与指数式有关的复合函数的奇偶性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备．由于本节课是本单元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节，努力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨．
【备用习题】
1．f(x2－3)＝loga(a＞0，a≠1)，判断f(x)的奇偶性．
活动：学生考虑，学生之间可以相互交流讨论．判断函数的奇偶性，一般用定义法；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；学生回忆判断函数奇偶性的方法，利用定义判断函数奇偶性的格式步骤．
解：∵f(x2－3)＝loga，
∴f(x)＝loga.由＞0，得f(x)的定义域为(－3,3)．
又∵f(－x)＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
点评：解指数不等式要注意底数的大小，必要时要分类讨论．
2．已知常数a、b满足a＞1＞b＞0，若f(x)＝lg(ax－bx)，
(1)求y＝f(x)的定义域；
(2)证明y＝f(x)在其定义域内是增函数；
(3)若f(x)恰在(1，＋∞)上恒取正值，且f(2)＝lg 2，求a，b的值．
(1)解：由ax－bx＞0，得x＞1.
因为a＞b＞0，
所以＞1.
所以y＝x是增函数．而且由x＞1得x＞0，
即函数f(x)的定义域是(0，＋∞)．
(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，
因为a＞1，所以g1(x)＝ax是增函数．所以ax1－ax2＜0，
(ax1－ax2)－(bx1－bx2)＜0，
即(ax1－bx1)－(ax2－bx2)＜0.因此0＜ax1－bx1＜ax2－bx2，
于是lg(ax1－bx1)＜lg(ax2－bx2)，故f(x)＝lg(ax－bx)在(0，＋∞)内是增函数．
(3)解：因为f(x)在(1，＋∞)内为增函数，所以对于x∈(1，＋∞)内每一个x值，都有f(x)＞f(1)．
要使f(x)恰在(1，＋∞)上恒取正值，即f(x)＞0，只需f(1)＝0.
于是f(1)＝lg(a－b)＝0，得a－b＝1.
又f(2)＝lg 2，所以lg(a2－b2)＝lg 2.
所以a2－b2＝2，即(a＋b)(a－b)＝2.
而a－b＝1，所以a＋b＝2.
由解得经检验知a＝，b＝为所求．
点评：解(3)要用到(1)与(2)的结果，是相互联系的，恒成立问题是高考的热点问题，要注意把握．
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