3．3 指数函数的图像和性质(1)
导入新课
思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和y＝2x与y＝x的性质，下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图像和性质．如何利用指数函数的图像和性质来解决一些问题，这就是本堂课要讲的主要内容．教师板书课题．
思路2.我们在学习指数函数的性质时，利用了指数函数的图像的特点，并且是用类比和归纳的方法得出．在理论上，我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性，以便于我们在解题时应用这些性质，本堂课我们要解决这个问题．教师板书课题．
思路1
例1 (1)求使不等式4x＞32成立的x的集合；
(2)已知＞a，求实数a的取值范围．
活动：学生先思考，再讨论，然后回答．(1)由于x在指数位置上，因此，要利用指数函数的性质进行转化，特别是指数函数的单调性，(2)也是利用指数函数的性质判断底数的范围．
解：(1)4x＞32，即22x＞25.
因为y＝2x是R上的增函数，所以2x＞5，即x＞.
满足4x＞32的x的集合是.
(2)由于＜，则y＝ax是减函数，所以0＜a＜1.
点评：正确理解和运用指数函数的性质是解题的关键．
例2 用函数单调性的定义证明指数函数的单调性．
活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤，单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．
证法一：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
y2－y1＝ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)．
因为a＞1，x2－x1＞0，所以ax2－x1＞1，即ax2－x1－1＞0.
又因为ax1＞0，
所以y2－y1＞0，
即y1＜y2.
所以当a＞1时，y＝ax，x∈R是增函数．
同理可证，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数．
证法二：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则y2与y1都大于0，则＝＝ax2－x1.
因为a＞1，x2－x1＞0，所以ax2－x1＞1，即＞1，y1＜y2.
所以当a＞1时，y＝ax，x∈R是增函数．
同理可证，当0＜a＜1时，y＝ax是减函数．
变式训练
若指数函数y＝(2a－1)x是减函数，则a的范围是多少？
答案：＜a＜1.
例3 截止到1999年底，我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？(精确到亿)
活动：师生共同讨论，将实际问题转化为数学表达式，建立目标函数，常采用特殊到一般的方式，教师引导学生注意题目中自变量的取值范围，可以先考虑一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：
1999年底 人口约为13亿；
经过1年 人口约为13(1＋1%)亿；
经过2年 人口约为13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2亿；
经过3年 人口约为13(1＋1%)2(1＋1%)＝13(1＋1%)3亿；
经过x年 人口约为13(1＋1%)x亿；
经过20年 人口约为13(1＋1%)20亿．
解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则
y＝13(1＋1%)x，
当x＝20时，y＝13(1＋1%)20≈16(亿)．
答：经过20年后，我国人口数最多为16亿．
点评：类似此题，设原值为N，平均增长率为p，则对于经过时间x年后总量y＝N(1＋p)x，像y＝N(1＋p)x等形如y＝kax(k∈R，a＞0且a≠1)的函数称为指数型函数．
思路2
例1 求下列函数的定义域、值域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝2x＋1；(4)y＝.
解：(1)由x－1≠0得x≠1，所以所求函数定义域为{x|x≠1}．由x≠1得y≠1，
即函数值域为{y|y＞0且y≠1}．
(2)由5x－1≥0得x≥，所以所求函数定义域为.由≥0得y≥1，
所以函数值域为{y|y≥1}．
(3)所求函数定义域为R，由2x＞0可得2x＋1＞1.
所以函数值域为{y|y＞1}．
(4)由已知，得函数的定义域是R，且(2x＋1)y＝2x－2，即(y－1)2x＝－y－2.
因为y≠1，所以2x＝.又x∈R，所以2x＞0，＞0.解之，得－2＜y＜1.
因此函数的值域为{y|－2＜y＜1}．
点评：通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性．
变式训练
求函数y＝的定义域和值域．
解：要使函数有意义，必须x＋3≠0，即x≠－3，即函数的定义域是{x|x≠－3}．
因为≠0，所以y＝≠0＝1.
又因为y＞0，所以值域为(0,1)∪(1，＋∞).
例2 (1)求函数y＝的单调区间，并证明．
(2)设a是实数，f(x)＝a－(x∈R)，试证明对于任意a，f(x)为增函数．
活动：(1)这个函数的单调区间由两个函数决定，是指数函数y＝x与y＝x2－2x的复合函数，(2)函数单调性的定义证明函数的单调性，要按规定的格式书写．
(1)解法一：设x1＜x2，则＝＝＝，
因为x1＜x2，所以x2－x1＞0.
当x1，x2∈(－∞，1]时，x1＋x2－2＜0，这时(x2－x1)(x2＋x1－2)＜0，
即＞1，所以y2＞y1，函数单调递增；
当x1、x2∈[1，＋∞)时，x1＋x2－2＞0，这时(x2－x1)(x2＋x1－2)＞0，
即＜1，所以y2＜y1，函数单调递减；
所以函数y在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减．
解法二：(用复合函数的单调性)
设u＝x2－2x，则y＝u，
对任意的1＜x1＜x2，有u1＜u2，又因为y＝u是减函数，
所以y1＞y2，所以y＝在[1，＋∞)是减函数．
对任意的x1＜x2≤1，有u1＞u2，又因为y＝u是减函数，
所以y1＜y2.所以y＝在(－∞，1]上是增函数．
引申：求函数y＝的值域(答案：0＜y≤2)．
点评：求复合函数的单调区间时，利用口诀“同增异减”．此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性的定义进行证明，还应要求学生注意不同题型的解答方法．
(2)证明：设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝－＝－＝.
由于指数函数y＝2x在R上是增函数，且x1＜x2，
所以2 x1＜2 x2，即2 x1－2 x2＜0.又由2x＞0得2x1＋1＞0,2x2＋1＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f(x)为增函数．
点评：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性．
1．函数y＝a|x|(a＞1)的图像是( )．
图7
解析：当x≥0时，y＝a|x|＝ax的图像过(0,1)点，在第一象限，图像下凸，是增函数．
答案：B
2．下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( )．
A．y＝2－x B．y＝
C．y＝ D．y＝2x2＋1
解析：因为(2－x)∈R，所以y＝2－x∈(0，＋∞)；y＝∈[0,1]；y＝∈[0，＋∞)；y＝2x2＋1∈[2，＋∞)．
答案：A
3．已知函数f(x)的定义域是(0,1)，那么f(2x)的定义域是( )．
A．(0,1) B.
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：由题意得0＜2x＜1，即0＜2x＜20，所以x＜0，即x∈(－∞，0)．
答案：C
4．若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则( )．
A．AB B．AB
C．A＝B D．A∩B＝
解析：A＝{y|y＞0}，B＝{y|y≥0}，所以AB.
答案：A
5．对于函数f(x)定义域中的任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下的结论：
①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；
③＞0；④f＜.
当f(x)＝10x时，上述结论中正确的是__________．
解析：因为f(x)＝10x，且x1≠x2，所以f(x1＋x2)＝10x1＋x2＝10x1·10x2＝f(x1)·f(x2)，所以①正确；
因为f(x1·x2)＝10x1·x2≠10x1＋10x2＝f(x1)＋f(x2)，②不正确；
因为f(x)＝10x是增函数，所以f(x1)－f(x2)与x1－x2同号，所以＞0.所以③正确．
因为函数f(x)＝10x的图像如图8所示是上凹下凸的，可解得④正确．
图8
答案：①③④
另解：④
∵10x1＞0,10 x2＞0，x1≠x2，∴＞.∴＞，
即＞.∴＞f.
在同一坐标系中作出下列函数的图像，讨论它们之间的联系．
(1)①y＝3x，②y＝3x＋1，③y＝3x－1；
(2)①y＝x，②y＝x－1，③y＝x＋1.
活动：学生动手画函数图像，教师点拨，学生没有思路教师可以提示．学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图像，特别是关键点．
答案：如图9及图10.
图9 图10
观察图9可以看出，y＝3x，y＝3x＋1，y＝3x－1的图像间有如下关系：
y＝3x＋1的图像由y＝3x的图像左移1个单位得到；
y＝3x－1的图像由y＝3x的图像右移1个单位得到；
y＝3x－1的图像由y＝3x＋1的图像向右移动2个单位得到．
观察图10可以看出，y＝x，y＝x－1，y＝x＋1的图像间有如下关系：
y＝x＋1的图像由y＝x的图像左移1个单位得到；
y＝x－1的图像由y＝x的图像右移1个单位得到；
y＝x－1的图像由y＝x＋1的图像右移2个单位得到．
你能推广到一般的情形吗？同学们留作思考．
思考
我们本堂课主要学习了哪些知识，你有什么收获？把你的收获写在笔记本上.
活动：教师用多媒体显示以下内容，学生互相交流学习心得，看是否与多媒体显示的内容一致．
本节课，在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想，加深了对问题的分析能力，形成了一定的能力与方法．
习题3—3 A组3,6,7.
本堂课主要是复习巩固指数函数及其性质，涉及的内容较多，要首先组织学生回顾指数函数的性质．为此，必须利用函数图像，数形结合，通过数与形的相互转化，借助形的直观性解决问题．本节课要训练学生能够恰当地构造函数，根据函数的单调性比较大小，有时要分a＞1,0＜a＜1，这是分类讨论的思想，因此加大了习题和练习的量，目的是让学生在较短的时间内，掌握学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力，要加快速度，多运用现代化的教学手段．
(设计者：王建波)
微信/支付宝扫码支付