§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
教学分析
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．
三维目标
1．借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．
2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像)，并借助信息技术解决一些实际问题．
3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣．
重点难点
教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．
教学难点：应用函数模型解决简单问题．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(情境导入)
国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么．发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．
思路2.(直接导入)
我们知道，对数函数y＝logax(a＞1)，指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数的增长是有差异的．本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异．
推进新课
①在区间(0，＋∞)上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2的单调性.
②列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像.
③结合函数的图像找出其交点坐标.
④请在图像上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围.
⑤由以上问题你能得出怎样结论？
讨论结果：
①在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为单调增函数．
②见下表与图1.
x
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
y＝2x
1.149
1.516
2
2.639
3.482
4.959
6.063
8
10.556
…
y＝x2
0.04
0.36
1
1.96
3.24
4.84
6.67
9
11.56
…
y＝log2x
－2.322
－0.737
0
0.485
0.848
1.138
1.379
1.585
1.766
…
图1
③从图像看出y＝log2x的图像与另外两函数的图像没有交点，且总在另外两函数的图像的下方，y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．
④不等式log2x＜2x＜x2和log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范围分别是(2,4)和(0,2)∪(4，＋∞)．
⑤我们在更大的范围内列表作函数图像(图2)，
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y＝2x
1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y＝x2
0
1
4
9
16
25
36
49
64
…]
图2
容易看出：y＝2x的图像与y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)，这表明2x与x2在自变量不同的区间内有不同的大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.
但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道，如图3和下表所示．
x
0
10
20
30
40
50
60
70
80
…
y＝2x
1
1 024
1.05E＋06
1.07E＋09
1.10E＋12
1.13E＋15
1.15E＋18
1.18E＋21
1.21E＋24
…
y＝x2
0
100
400
900
1 600
2 500
3 600
4 900
6 400
…
图3
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.
同样地，对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.
综上所述，尽管对数函数y＝logax(a＞1)，指数函数y＝ax(a＞1)与幂函数y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.虽然幂函数y＝xn(n＞0)增长快于对数函数y＝logax(a＞1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”．
思路1
例1 试利用计算器来计算2500的近似值．
活动：学生思考，教师提示，计算这样一个大的数，用计算器无法直接计算．如何计算呢？我们可以充分利用幂的运算性质，再结合计算器的利用来求其近似值．
解：第一步，利用科学计算器算出
210＝1 024＝1.024×103；
第二步，再计算2100，因为
2100＝(210)10＝(1.024×103)10＝1.02410×1030，
所以，我们只需要用科学计算器算出
1．02410≈1.267 7，
则2100≈1.267 7×1030；
第三步，再计算2500，因为
(2100)5≈(1.267 7×1030)5，
我们只需要用科学计算器算出
1．267 75≈3.274 0，
从而算出2500≈3.27×10150.
点评：在设计计算方法时，要考虑到科学计算器能计算的位数．如果函数值非常大，我们常常用科学记数法表示，并且根据需要保留一定数目的有效数字．
例2 在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40,80,160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．
活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结．
解：设Nt表示t世代种群的大小，Nt＋1表示t＋1世代种群的大小，
则N0＝10；N1＝10×2＝20；N2＝20×2＝40；N3＝40×2＝80；N4＝80×2＝160；….
由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：Nt＋1＝R0·Nt，其中R0
为世代净繁殖率．
如果种群的R0速率年复一年地增长，则
N1＝R0N0，
N2＝R0N1＝RN0，
N3＝R0N2＝RN0，
…
Nt＝RN0.
R0是种群离散增长模型的重要参数，如果R0＞1，种群上升；R0＝1，种群稳定；0＜R0＜1，种群下降；R0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．思路2
例3 一工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100时，每多订购1个，订购的全部零件的单价就降低0.02元，但最低出厂单价不低于51元．
(1)一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰为51元？
(2)设一次订购量为x个时，零件的实际出厂价为p元，写出p＝f(x)．
(3)当销售商一次订购量分别为500,1 000个时，该工厂的利润分别为多少？
(一个零件的利润＝实际出厂价－成本)
解：(1)设一次订购量为a个时，零件的实际出厂价恰好为51元，则a＝100＋＝550个．
(2)p＝f(x)＝
(3)当销售商一次订购量为x个时，该工厂的利润为y，则y＝(p－40)x＝其中x∈N＋，故当x＝500时，y＝6 000；当x＝1 000时，y＝11 000.
点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x，y的等式．
例4 甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到甲、乙两图：
图4
甲调查表明：每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只．
乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数．
(2)到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由．
(3)哪一年的规模(即总产量)最大？请说明理由．
活动：观察函数图像，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示：
先观察图像得出相关数据，利用数据找出函数模型．
解：由题意可知，甲图像经过(1,1)和(6,2)两点，
从而求得其解析式为y甲＝0.2x＋0.8，
乙图像经过(1,30)和(6,10)两点，
从而求得其解析式为y乙＝－4x＋34.
(1)当x＝2时，y甲＝0.2×2＋0.8＝1.2，y乙＝－4×2＋34＝26，y甲·y乙＝1.2×26＝31.2.
所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万只．
(2)第1年出产鳗鱼1×30＝30(万只)，第6年出产鳗鱼2×10＝20(万只)，可见，第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了．
(3)设当第m年时的规模总产量为n，
那么n＝y甲·y乙＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2
＝－0.8(m2－4.5m－34)＝－0.8(m－2.25)2＋31.25.因此，当m＝2时，nmax＝31.2，
即第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万只．
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图5(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图5(2)的抛物线段表示．
(1)写出图5(1)表示的市场售价与时间的函数关系式P＝f(t)；
写出图5(2)表示的种植成本与时间的函数关系式Q＝g(t)；
(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
(1) (2)
图5
(注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg，时间单位：天)
活动：学生在黑板上书写解答．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正．
解：(1)由图5(1)可得市场售价与时间的函数关系式为f(t)＝
由图5(2)可得种植成本与时间的函数关系式为g(t)＝(t－150)2＋100,0≤t≤300.
(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得h(t)＝f(t)－g(t)，
即h(t)＝
当0≤t≤200时，配方整理，得h(t)＝－(t－50)2＋100，
所以当t＝50时，h(t)取得区间[0,200]上的最大值100；
当200＜t≤300时，配方整理，得h(t)＝－(t－350)2＋100，
所以当t＝300时，h(t)取得区间[200,300]上的最大值87.5.
综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．
点评：本题主要考查由函数图像建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．
探究内容
①在函数应用中如何利用图像求解析式．
②分段函数解析式的求法．
③函数应用中的最大值、最小值问题．
举例探究：(2007山东省青岛高三教学质量检测，理21)某跨国公司是专门生产健身产品的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行调研，结果如图6(1)、(2)、(3)所示．其中图6(1)的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图6(2)的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图6(3)的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系．
图6
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式；
(2)第一批产品A上市后的哪几天，这家公司的国内和国外日销售利润之和超过6 300万元？
分析：1.利用图像求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式．
2．在t∈[0,40]上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段．
3．回忆函数最值的求法．
解：(1)f(t)＝g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．
(2)每件A产品销售利润h(t)＝
该公司的日销售利润F(t)＝
当0≤t≤20时，F(t)＝3t，先判断其单调性．
设0≤t1＜t2≤20，则F(t1)－F(t2)＝3t1－3t2
＝－(t1＋t2)(t1－t2)2.
∴F(t)在[0,20]上为增函数．
∴F(t)max＝F(20)＝6 000＜6 300.
当20＜t≤30时，令60＞6 300，
则＜t＜30；
当30＜t≤40时，F(t)＝60＜60＝6 300.
故在第24,25,26,27,28,29天日销售利润超过6 300万元．
点评：1.利用图像求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点．
2．在t∈[0,40]上，有几个分界点，t＝20，t＝30两点把区间分为三段．
3．二次函数的最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一．
本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数的增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数的应用．
习题3—6 1,2.
本节设计从精彩的故事开始，让学生从故事中体会数学带来的震撼，然后借助计算机感受不同函数模型的巨大差异．接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题的能力；并且重点训练了由图像转化为函数解析式的能力，因为这是高考的一个重点．本节的每个例题都很精彩，可灵活选用．
[备选例题]
某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润P＝－(x－40)2＋100万元．当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划后对该项目每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获利润Q＝－(60－x)2＋(60－x)万元．问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？
解：在实施规划前，由题设P＝－(x－40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．
则10年的总利润为W1＝100×10＝1 000(万元)．
实施规划后的前5年中，由题设P＝－(x－40)2＋100，知每年投入30万元时，有最大利润Pmax＝(万元)．前5年的利润和为×5＝(万元)．
设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，则其总利润为
W2＝×5＋×5＝－5(x－30)2＋4 950.
当x＝30时，(W2)max＝4 950(万元)．
从而10年的总利润为＋4 950(万元)．
∵＋4 950＞1 000，∴该规划方案有极大实施价值．
(设计者：邓新国)
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