§3 指数函数
教学分析
有了前面的知识储备，我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念，作指数函数的图像以及研究指数函数的性质．
本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图像研究指数函数的性质)等．同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值．
根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
三维目标
1．通过实际问题了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念和意义，根据图像理解和掌握指数函数的性质，体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想．
2．让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理．培养学生观察问题、分析问题的能力，培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力．
3．通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质．展示函数图像，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质，让学生体验数学的简洁美和统一美．
重点难点
教学重点：指数函数的概念和性质及其应用．
教学难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用．
课时安排
3课时
3．1 指数函数的概念
3．2 指数函数y＝2x和y＝x的图像和性质
导入新课
思路1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢y与漂洗次数x的关系式，它是函数关系式吗？若是，请计算若要使存留的污垢不超过原有的，则至少要漂洗几次？教师引导学生分析，列出关系式y＝x，发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上，这样的函数叫作指数函数，引出本节课题．
思路2.教师复习提问指数幂的运算性质，并要求学生计算23,20,2－2，，，.再提问怎样画函数的图像，学生思考，分组交流，写出自己的答案8,1，，2,9，，先建立平面直角坐标系，再描点，最后连线．点出本节课题．
推进新课
1．一种放射性物质不断衰减为其他物质，每经过一年剩留量约是原来的84%，求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式是__________．(y＝0.84x)
2．某种细胞分裂时，由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成十六个，依次类推，一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的关系式是__________．(y＝2x)
(1)你能说出函数y＝0.84x与函数y＝2x的共同特征吗？
(2)你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念？
(3)为什么指数函数的概念中明确规定a>0，a≠1？
(4)为什么指数函数的定义域是实数集？
(5)如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数？请你说出它的步骤.
活动：先让学生仔细观察，交流讨论，然后回答，教师提示点拨，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，针对学生共性的问题集中解决．
问题(1)看这两个函数的共同特征，主要是看底数和自变量以及函数值．
问题(2)一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量．
问题(3)为了使运算有意义，同时也为了问题研究的必要性．
问题(4)在(3)的规定下，我们可以把ax看成一个幂值，一个正数的任何次幂都有意义．
问题(5)使学生回想指数函数的定义，根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数，紧扣指数函数的形式．
讨论结果：(1)对于两个解析式我们看到每给自变量x一个值，y都有唯一确定的值和它对应，再就是它们的自变量x都在指数的位置上，它们的底数都大于0，但一个大于1，一个小于1.0.84与2虽然不同，但它们是两个函数关系中的常量，因为变量只有x和y.
(2)对于两个解析式y＝0.84x和y＝2x，我们把两个函数关系中的常量用一个字母a来表示，这样我们得到指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax(a＞0，a≠1)叫作指数函数，其中x叫作自变量，函数的定义域是实数集R.
(3)a＝0时，x＞0时，ax总为0；x≤0时，ax没有意义．
a＜0时，如a＝－2，x＝，ax＝＝显然是没有意义的．
a＝1时，ax恒等于1，没有研究的必要．
因此规定a＞0，a≠1.此解释只要能说明即可，不要深化．
(4)因为a＞0，x可以取任意的实数，所以指数函数的定义域是实数集R.
(5)判断一个函数是否是一个指数函数，一是看底数是否是一个常数，再就是看自变量是否是一个x且在指数位置上，满足这两个条件的函数才是指数函数．
(1)前面我们学习函数的时候，根据什么思路研究函数的性质，对指数函数呢？
(2)前面我们学习函数的时候，如何作函数的图像？说明它的步骤.
(3)利用上面的步骤，作函数y＝2x的图像.
(4)利用上面的步骤，作函数y＝的图像.
(5)观察上面两个函数的图像各有什么特点，再画几个类似的函数图像，看是否也有类似的特点？
(6)根据上述几个函数图像的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？
(7)把y＝2x和y＝的图像，放在同一坐标系中，你能发现这两个图像的关系吗？
(8)你能证明上述结论吗？
(9)能否用y＝2x的图像画y＝的图像？请说明画法的理由.
活动：
教师引导学生回顾需要研究的函数的那些性质，共同讨论研究指数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图像在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画得好的部分学生的图像，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究指数函数性质的思路，独立画图，观察图像及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对指数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体的认识．
讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图像研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图像，从图像的变化情况来看函数的性质．
(2)一般是列表，描点，连线，借助多媒体手段画出图像，用计算机作函数的图像．
(3)列表．
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝2x
…
1
2
4
8
…
作图如图1.
图1
(4)列表．
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y＝x
…
8
4
2
1
…
作图如图2.
图2
(5)通过观察图1，可知图像左右延伸无止境，说明定义域是实数．图像自左至右是上升的，说明是增函数，图像位于x轴上方，说明值域大于0.图像经过点(0,1)，且y值分布有以下特点：x＜0时，0＜y＜1；x＞0时，y＞1.图像不关于x轴对称，也不关于y轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．
通过观察图2，可知图像左右延伸无止境，说明定义域是实数．图像自左至右是下降的，说明是减函数，图像位于x轴上方，说明值域大于0.图像经过点(0,1)，且y值分布有以下特点：x＜0时，y＞1；x＞0时，0＜y＜1.图像不关于x轴对称，也不关于y轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．
可以再画下列函数的图像以作比较，y＝3x，y＝6x，y＝x，y＝x.重新观察函数图像的特点，推广到一般的情形．
(6)一般地，指数函数y＝ax在a＞1和0＜a
＜1的情况下，它的图像特征和函数性质如下表所示．
图像特征
函数性质
a＞1
0＜a＜1
a＞1
0＜a＜1
向x轴正负方向无限延伸
函数的定义域为R
图像关于原点和y轴不对称
非奇非偶函数
函数图像都在x轴上方
函数的值域为R＋
函数图像都过定点(0,1)
a0＝1
自左向右，图像逐渐上升
自左向右，图像逐渐下降
增函数
减函数
在第一象限内的图像纵坐标都大于1
在第一象限内的图像纵坐标都小于1
x＞0，ax＞1
x＞0，ax＜1
在第二象限内的图像纵坐标都小于1
在第二象限内的图像纵坐标都大于1
x＜0，ax＜1
x＜0，ax＞1
一般地，指数函数y＝ax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图像和性质如下表所示：
a＞1
0＜a＜1
图像
性质
①定义域：R
②值域：(0，＋∞)
③过点(0,1)，即x＝0时y＝1
④在R上是增函数，当x＜0时，0＜y＜1；当x＞0时，y＞1
④在R上是减函数，当x＜0时，y＞1；当x＞0时，0＜y＜1
(7)在同一坐标系中作出y＝2x和y＝x两个函数的图像，如图3.经过仔细研究发现，它们的图像关于y轴对称．
图3
(8)证明：设点P(x1，y1)是y＝2x上的任意一点，它关于y轴的对称点是P1(－x1，y1)，它满足方程y＝x＝2－x，即点P1(－x1，y1)在y＝x的图像上．反之亦然，所以y＝2x和y＝x两个函数的图像关于y轴对称．
(9)因为y＝2x和y＝x两个函数的图像关于y轴对称，所以可以先画其中一个函数的图像，利用轴对称的性质可以得到另一个函数的图像，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处．
思路1
例1 判断下列函数是否是一个指数函数？
y＝x2，y＝8x，y＝2·4x，y＝(2a－1)x(a＞，a≠1)，y＝(－4)x，y＝πx，y＝6x3＋2.
活动：学生观察，小组讨论，尝试解决以上题目，学生紧扣指数函数的定义解题，因为
y＝x2，y＝2·4x，y＝6x3＋2都不符合y＝ax的形式，教师强调y＝ax的形式的重要性，即a前面的系数为1，a是一个正常数(也可以是一个表示正常数的代数式)，指数必须是x的形式或通过转化后能化为x的形式．
解：y＝8x，y＝(2a－1)x，y＝πx是指数函数；y＝(－4)x，y＝x2，y＝2·4x，y＝6x3＋2不是指数函数．
变式训练
函数y＝23x，y＝ax＋k，y＝a－x，y＝－2x(a＞0，a≠1)中是指数函数的有哪些？
答案：y＝23x＝(23)x，y＝a－x＝x，y＝－2x＝x都是指数函数.
例2 比较下列各题中的两个值的大小：
(1)1.72.5与1.73；(2)0.8－0.1与0.8－0.2；(3)1.70.3与0.93.1.
活动：学生自己思考或讨论，回忆比较数的大小的方法，结合题目实际，选择合理的，再写出(最好用实物投影仪展示写得正确的答案)，比较数的大小，一是作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大；二是作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小；三是计算出每个数的值，再比较大小；四是利用图像；五是利用函数的单调性．教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正并及时评价．
解法一：用数形结合的方法，如第(1)小题，用图形计算器或计算机画出y＝1.7x的图像，如图4.
图4
在图像上找出横坐标分别为2.5、3的点，显然，图像上横坐标为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以1.72.5＜1.73，同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.
解法二：用计算器直接计算：1.72.5≈3.77,1.73≈4.91，
所以1.72.5＜1.73.同理0.8－0.1＜0.8－0.2,1.70.3＞0.93.1.
解法三：利用函数单调性：
(1)1.72.5与1.73的底数是1.7，它们可以看成函数y＝1.7x，当x＝2.5和3时的函数值；因为1.7＞1，所以函数y＝1.7x在R上是增函数，而2.5＜3，所以1.72.5＜1.73；
(2)0.8－0.1与0.8－0.2的底数是0.8，它们可以看成函数y＝0.8x，当x＝－0.1和－0.2时的函数值；因为0＜0.8＜1，所以函数y＝0.8x在R上是减函数，而－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2；
(3)因为1.70.3＞1,0.93.1＜1，所以1.70.3＞0.93.1.
点评：在第(3)小题中，可以用解法一、解法二解决，但不适合．由于1.70.3与0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小，这里的1是中间值．
思考
在上面的解法中你认为哪种方法更实用？
活动：学生对上面的三种解法作比较，解题有法但无定法，我们要采取多种解法，在多种解法中选择最优解法，这要通过反复练习，强化来实现．
变式训练
1．已知a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，按大小顺序排列a，b，c.
答案：b＜a＜c(a，b可利用指数函数的性质比较，而c是大于1的)．
2．比较与的大小(a＞0且a≠0)．
答案：分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论．当0＜a＜1时，＞；当a＞1时，＜.
例3 求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝.
活动：学生先思考，再回答，由于指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的定义域是R，所以这类类似指数函数的函数的定义域要借助指数函数的定义域来求，教师适时点拨和提示，求定义域，只需使指数有意义即可，转化为解不等式．
解：(1)令x－4≠0，则x≠4，所以函数y＝的定义域是{x∈R|x≠4}，
又因为≠0，所以≠1，即函数y＝的值域是{y|y＞0且y≠1}．
(2)因为－|x|≥0，所以只有x＝0.
因此函数y＝的定义域是{x|x＝0}．
而y＝＝0＝1，即函数y＝的值域是{y|y＝1}．
(3)令－1≥0，得≥0，即≥0，解得x＜－1或x≥1，
因此函数y＝的定义域是{x|x＜－1或x≥1}．
由于－1≥0，且≠2，所以≥0且≠1.
故函数y＝的值域是{y|y≥1，y≠10}．
点评：求与指数函数有关的定义域和值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性，特别是第(1)题千万不能漏掉y＞0.
变式训练
求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝(a＞0，a≠1)．
答案：(1)函数y＝的定义域是R，值域是；(2)函数y＝的定义域是，值域是[0，＋∞)；(3)当a＞1时，定义域是{x|x≥0}，当0＜a＜1时，定义域是{x|x≤0}，值域是[0，＋∞).
例4 比较下列两个数的大小：
(1)30.8,30.7；(2)0.75－0.1,0.750.1；(3)1.80.6,0.81.6；(4)，.
活动：教师提示学生指数函数的性质，根据学生的解题情况及时评价学生．
解法一：直接用科学计算器计算各数的值，再对两个数进行大小的比较：
对(1)，因为30.8＝2.408 225,30.7＝2.157 669，所以30.8＞30.7；
对(2)，因为0.75－0.1＝1.029 186,0.750.1＝0.971 642，所以0.75－0.1＞0.750.1；
对(3)，因为1.80.6＝1.422 864,0.81.6＝0.699 752，所以1.80.6＞0.81.6；
对(4)，因为＝2.080 084,＝0.659 754，所以＞.
解法二：利用指数函数的性质对两个数进行大小的比较：
对(1)，因为函数y＝3x在R上是增函数，0.8＞0.7，所以30.8＞30.7；
对(2)，因为函数y＝0.75x在R上是减函数，0.1＞－0.1，所以0.75－0.1＞0.750.1；
对(3)，由指数函数的性质知1.80.6＞1.80＝1＝0.80＞0.81.6，所以1.80.6＞0.81.6；
对(4)，由指数函数的性质知＞0＝1＝20＞，所以＞.
解法三：利用图像法来解，具体解法略．
点评：在利用指数函数的性质对两个数进行大小比较时，首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较．若两个数不是同一函数的两个函数值，则寻求一个中间量，两个数都与这个中间量进行比较，这是常用的比较数的大小的方法，然后得两个数的大小，数学上称这种方法为“中间量法”．
变式训练
比较与(a＞0，a≠1，n∈N＋，n＞2)的大小关系．
解：因为＝，＝，而n∈N＋，n＞2，
所以－＝＞0，即＞.
因此：当a＞1时，＞，即＞；
当0＜a＜1时，＜，即＜.
1．下列关系中正确的是( )．
A.＜＜ B.＜＜
C.＜＜ D.＜＜
答案：D
2．函数y＝ax(a＞0，a≠1)对任意的实数x，y都有( )．
A．f(xy)＝f(x)·f(y) B．f(xy)＝f(x)＋f(y)
C．f(x＋y)＝f(x)·f(y) D．f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
答案：C
3．函数y＝ax＋5＋1(a＞0，a≠1)恒过定点__________．
答案：(－5,2)
探究一：
在同一坐标系中作出函数y＝2x，y＝3x，y＝10x的图像，比较这三个函数增长的快慢．
活动：学生深刻回顾作函数图像的方法，交流作图的体会．列表、描点、连线，作出函数y＝2x，y＝3x，y＝10x的图像，如图5.
x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
10
…
y＝2x
…
0.25
0.5
1
2
4
8
…
1 024
…
y＝3x
…
0.11
0.33
1
3
9
27
…
59 049
…
y＝10x
…
0.01
0.1
1
10
100
1 000
…
1010
…
图5
从表格或图像可以看出：
(1)x＜0时，有2x＞3x＞10x；
(2)x＞0时，有2x＜3x＜10x；
(3)当x从0增长到10，函数y＝2x的值从1增加到1 024，而函数y＝3x的值从1增加到59 049.这说明x＞0时y＝3x比y＝2x的函数值增长得快．同理y＝10x比y＝3x的函数值增长得快．
因此得：一般地，a＞b＞1时，(1)x＜0时，有ax＜bx＜1；
(2)x＝0时，有ax＝bx＝1；
(3)x＞0时，有ax＞bx＞1；
(4)指数函数的底数越大，x＞0时其函数值增长就越快．
探究二：
分别画出底数为0.2、0.3、0.5的指数函数的图像(图6)，对照底数为2、3、10的指数函数的图像，研究指数函数y＝ax(0＜a＜1)中a对函数的图像变化的影响．
图6
由此得：一般地，0＜a＜b＜1时，(1)x＞0时，有ax＜bx＜1；(2)x＝0时，有ax＝bx＝1；(3)x＜0时，有ax＞bx＞1；(4)指数函数的底数越小，x＞0时，其函数值减少就越快．
1．指数函数的定义．
2．指数函数的图像和性质．
3．利用函数的图像说出函数的性质，即数形结合的思想(方法)，它是一种非常重要的数学思想和研究方法．
4．利用指数函数的单调性比较几个数的大小，特别是中间变量法．
习题3—3 A组 1、2.
本节课是在前面研究了函数性质的基础上，研究具体的初等函数，它是重要的初等函数，它有着丰富的内涵，且和我们的实际生活联系密切，也是以后学习对数函数的基础，在指数函数的概念讲解过程中，既要向学生说明定义域是什么，又要向学生交代，为什么规定底数a是大于0而不等于1的，本节内容课堂容量大，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．
(设计者：韩双影)
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