2.3 函数建模案例
导入新课
思路1.(事例导入)
一辆汽车在水平的公路上匀加速行驶，初速度为v0，加速度为a，那么经过t小时它的速度为多少？在这t小时中经过的位移是多少？试写出它们的函数解析式，它们分别属于哪种函数模型？v＝v0＋at，s＝v0t＋at2，它们分别属于一次函数模型和二次函数模型．
不仅在物理现象中用到函数模型，在其他现实生活中也经常用到函数模型，今天我们继续讨论函数模型的应用举例．
思路2.(直接导入)
前面我们学习了函数模型的应用，今天我们在巩固函数模型应用的基础上进一步讨论函数拟合问题．
推进新课
①我市某企业常年生产一种出口产品，根据需求预测：进入21世纪以来，前8年在正常情况下，该产品产量将平稳增长．已知2000年为第一年，头4年年产量f(x)(万件)如下表所示：
x
1
2
3
4
f(x)
4.00
5.58
7.00
8.44
1°画出2000—2003年该企业年产量的散点图；建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量发展变化的函数模型，并求之．
2°2006年(即x＝7)因受到某外国对我国该产品反倾销的影响，年产量应减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2006年的年产量应该约为多少？
②什么是函数拟合？
③阅读教材节约用气的案例，总结建立函数模型解决实际问题的基本过程．
讨论结果：①1°如图15，
设f(x)＝ax＋b，代入(1,4)，(3,7)，
得解得a＝，b＝.
∴f(x)＝x＋.
检验：f(2)＝5.5，|5.58－5.5|＝0.08＜0.1；
f(4)＝8.5，|8.44－8.5|＝0.06＜0.1.
∴模型f(x)＝x＋能基本反映产量变化．
2°f(7)＝13,13×70%＝9.1,2006年年产量应约为9.1万件．
图15
②
函数拟合：根据搜集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合比较选出最恰当函数模型的过程．
③建立函数模型解决实际问题的基本过程为：
图16
应用示例
思路1
例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶
480
440
400
360
320
280
240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
解：根据上表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶．设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为480－40(x－1)＝520－40x(桶)．
由于x＞0，且520－40x＞0，
即0＜x＜13，
于是可得
y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200,0＜x＜13.
易知，当x＝6.5时，y有最大值．
所以，只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润．
变式训练
某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；
(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
解：(1)设在原来基础上增加x台，则每台生产数量为384－4x件，机器台数为80＋x，由题意有y＝(80＋x)(384－4x)．
(2)整理得y＝－4x2＋64x＋30 720，
由y＝－4x2＋64x＋30 720，
得y＝－4(x－8)2＋30 976，
所以增加8台机器每天生产的总量最大，最大生产总量为30 976件．
点评：二次函数模型是现实生活中最常见的数学模型.
例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
6.13
7.90
9.99
体重/kg
12.15
15.02
17.50
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
(1)根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．
(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：
根据表中的数据画出散点图．观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线．根据这些点的分布情况，可以考虑用y＝a·bx这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系．
解：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图(图17)．根据点的分布特征，可以考虑用y＝a·bx作为刻画这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm关系的函数模型．
如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y＝a·bx，得
用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y＝2×1.02x.
将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图像(图18)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．
(2)将x＝175代入y＝2×1.02x，得y＝2×1.02175，
由计算器算得y≈63.98.
由于78÷63.98≈1.22＞1.2，
所以这个男生偏胖．
图17 图18
变式训练
九十年代，政府间气候变化专业委员会(IPCC)提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，1990年、1991年、1992年大气中的CO2浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位．若用一个函数模拟九十年代中每年CO2浓度增加的可比单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，且又知1994年大气中的CO2浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？
解：(1)若以f(x)＝px2＋qx＋r作模拟函数，
则依题意得
解得
所以f(x)＝x2＋x.
(2)若以g(x)＝a·bx＋c作模拟函数，
则解得
所以g(x)＝·x－3.
(3)利用f(x)、g(x)对1994年CO2浓度作估算，则其数值分别为：
f(5)＝15可比单位，g(5)＝17.25可比单位，
∵|f(5)－16|＜|g(5)－16|，故选f(x)＝x2＋x作为模拟函数与1994年的实际数据较为接近.
思路2
例1 某自来水厂的蓄水池有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t小时内供水总量为120吨，其中0≤t≤24.
(1)从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导．
思路分析：首先建立函数模型，利用函数模型解决实际问题．
解：设供水t小时，水池中存水y吨，则
(1)y＝400＋60t－120＝60(－)2＋40(1≤t≤24)，
当t＝6时，ymin＝40(吨)，
故从供水开始到第6小时，蓄水池中的存水量最少，最少存水为40吨．
(2)依条件知
解得＜t＜，－＝8.
故一天24小时内有8小时出现供水紧张．
例2 某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个，为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本．若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0＜x＜1)，则每个蛋糕的出厂价相应提高的百分率为0.5x，同时预计日销售量增加的百分率为0.8x，已知日利润＝(出厂价－成本)×日销售量，且设增加成本后的日利润为y.
(1)写出y与x的关系式；
(2)为使日利润有所增加，求x的取值范围．
解：(1)由题意，得
y＝[60×(1＋0.5x)－40×(1＋x)]×1 000×(1＋0.8x)
＝2 000(－4x2＋3x＋10)(0＜x＜1)．
(2)要保证日利润有所增加，当且仅当
即
解得0＜x＜.
所以为保证日利润有所增加，x应满足0＜x＜.
点评：函数模型应用经常伴随方程和不等式的应用，它们是有机的整体．
某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．
(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；
(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠(即原价的85%)．问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
解：(1)设该厂应隔x(x∈N＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1，
∵饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)．
∴x天饲料的保管与其他费用共有
6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元)．
从而有y1＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋357，
可以证明y1＝＋3x＋357，在(0,10)上为减函数，在(10，＋∞)上为增函数．
∴当x＝10时，y1有最小值417，
即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小．
(2)若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则
y2＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝＋3x＋303(x≥25)．
∵函数y2在[25，＋∞)上是增函数，
∴当x＝25时，y2取得最小值为390.
而390＜417，
∴该厂应接受此优惠条件．
如何用函数模型解决物理问题？
例：在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…，an共n个数据，我们规定所测量的物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较a与各数据差的平方和最小，依此规定，从a1，a2，a3，…，an推出的a＝______________.
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：此题应排除物理因素的干扰，抓准题中的数量关系，将问题转化成函数求最值问题．
解：由题意可知，所求a应使y＝(a－a1)2＋…＋(a－an)2最小，
由于y＝na2－2(a1＋a2＋…＋an)2a＋(a＋a＋…＋a)．
若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值．
因为n＞0，二次函数f(a)的图像开口方向向上，
当a＝(a1＋a2＋…＋an)时，y有最小值，
所以a＝(a1＋a2＋…＋an)即为所求．
点评：此题在高考中是具有导向意义的试题，它以物理知识和简单数学知识为基础，并以物理学科中的统计问题为背景，给出一个新的定义，要求学生读懂题目，抽象其中的数量关系，将文字语言转化为符号语言，即y＝(a－a1)2＋(a－a2)2＋…＋(a－an)2，然后运用函数的思想方法去解决问题．解题关键是将函数式化成以a为自变量的二次函数形式，这是函数思想在解决实际问题中的应用．
1．巩固函数模型的应用．
2．初步掌握函数拟合思想，并会用函数拟合思想解决实际问题．
习题4—2 B组1,2.
本节通过事例引入课题，接着通过事例让学生感受什么是函数拟合；思路1例1是函数模型的应用，例2是函数拟合的应用，这都是本节的重点．因此本节选用了多个地市的模拟试题进行强化训练，其中开放性函数拟合问题更值得关注．本节素材鲜活丰富，结构合理有序，难度适中贴近高考．
[备选例题]
【例1】 某车间生产某种产品，固定成本为2万元，每生产一件产品成本增加100元，已知总收益R(总收益指工厂出售产品的全部收入，它是成本与总利润的和，单位：元)是年产量Q(单位：件)的函数，满足关系式：
R＝f(Q)＝
求每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少元？
解：y＝R－100Q－20 000＝(Q∈Z)．
(1)0≤Q≤400时，y＝－(Q－300)2＋25 000，
∴当Q＝300时，ymax＝25 000.
(2)Q＞400时，y＝60 000－100Q＜20 000，
∴综合(1)(2)，当每年生产300件时利润最大为25 000元．
【例2】 康成塑料制品厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为估测作依据，用一个函数模拟该产品的月产量y和月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数y＝ax2＋bx＋c或函数y＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数，a
≠0)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，问用上述哪个函数作为模拟函数好？请说明理由．
解：若模拟函数为y＝ax2＋bx＋c，
由已知得
解得
则有y＝－0.5x2＋0.35x＋0.7，
因此当x＝4时，y＝1.3.
若模拟函数为y＝a·bx＋c，
由已知得
解得
则有y＝－0.8×0.5x＋1.4，
因此当x＝4时，y＝1.35.
∵1.35比1.3更接近1.37，
∴应将y＝－0.8×0.5x＋1.4作为模拟函数．
(设计者：赵冠明)
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