本章复习
教学分析
前面学习了函数与方程、函数模型及应用等内容，通过本节学习进一步巩固前面学习的内容，突出重点总结规律，使原来的知识更系统，使原来方法更清晰，形成完整的知识结构和方法体系．
我们小结的目的不仅要总结知识、归纳方法，还要让学生学会运用学过的知识方法解决现实问题，提高学生的素质．
三维目标
1．理解方程的根与函数零点的关系，会用二分法求函数零点．
2．巩固常见函数模型的应用．
3．通过本章学习逐步认识数学，学会用数学方法认识世界、改造世界．
重点难点
应用数学模型解决实际问题．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.(情境导入)
同样一张书桌有的整洁、有的凌乱，同样一支球队，在不同教练带领下战斗力会有很大不同，例如达拉斯小牛队在“小将军”约翰逊的带领下攻防具佳所向披靡，为什么呢？因为书桌需要不断整理，球队需要系统的训练、清晰的战术、完整的攻防体系．我们学习也是一样，需要不断归纳整理、系统总结，今天我们把第三章函数的应用进行归纳复习．
思路2.(直接事例导入)
大到天体运动小到细菌繁殖，无论政治现象还是经济现象，在这繁杂的世界上无不变化，怎样描述这些变化呢？我们知道可以通过函数模型来描述这些变化，本节我们来归纳复习一下函数的应用．
推进新课
讨论结果：
图1
例1 已知函数f(x)＝x－1＋x2－2，试利用基本初等函数的图像判断f(x)有几个零点；并利用零点存在性法则确定各零点所在的范围(各区间长度不超过1)．
图2
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：把一个不易作出的函数图像转化为两个容易作出的图像．
解：由f(x)＝0，得x－1＝－x2＋2，令y1＝x－1，y2＝－x2＋2，其中抛物线顶点为(0,2)，与x轴交于点(－2,0)、(2,0)．
如图2所示，y1与y2图像有3个交点，
从而函数f(x)有3个零点．
由f(x)知x≠0，f(x)图像在(－∞，0)、(0，＋∞)上分别是连续不断的，
且f(－3)＝＞0，f(－2)＝－＜0，f＝＞0，f(1)＝－＜0，f(2)＝＞0，
即f(－3)·f(－2)＜0，f·f(1)＜0，f(1)·f(2)＜0，
∴三个零点分别在区间(－3，－2)，，(1,2)内．
点评：本题考查数形结合思想和零点判断方法．
2设函数f(x)＝x3＋3x－5，其图像在(－∞，＋∞)上是连续不断的．
先求值：f(0)＝__________，f(1)＝__________，f(2)＝__________，f(3)＝__________.
所以f(x)在区间__________内存在零点x0，填下表，
区 间
中点m
f(m)符号
区间长度
下结论：____________________________________.
可参考条件：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(1.125)＜0，f(1.187 5)＞0.
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：
利用二分法求方程近似解一般步骤求函数的零点．
解：f(0)＝－5，f(1)＝－1，f(2)＝9，f(3)＝31，
∴初始区间为(1,2)．
区 间
中点m
f(m)符号
区间长度
(1,2)
1.5
＋
1
(1,1.5)
1.25
＋
0.5
(1,1.25)
1.125
－
0.25
(1.125,1.25)
1.187 5
＋
0.125
(1.125,1.187 5)
0.062 5
∵| 1.187 5－1.125|＝0.062 5＜0.1，
∴x0≈1.125(不唯一)．
点评：这种题型便于学生操作，是一种新考法，应特别重视．
复习题四A组1,2,3.
请同学们思考探究：函数模型的应用，并进行规律总结．
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导．
答案：(供参考)
数学模型及其应用
数学来源于实际又服务于实际，如何运用数学知识解决生活中的实际应用问题？这里的关键是“问题情境的数学化”，即从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．
1．数学应用题大致可以分为以下四种不同的类型：
(1)直接套用现成的公式；
(2)利用现成的数学模型对应用题进行定量分析；
(3)对于已经经过提炼加工后，各因素之间数量关系比较清楚的实际问题，建立数学模型；
(4)对原始的实际问题进行分析加工，建立数学模型．
2．解应用题的策略：
一般思路可表示如下：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．
规律总结
1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．
2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图、建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．
3．对于建立的各种数学模型，要能够进行模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．
1．复习巩固；2.规律总结；3.思想升华．
复习题四B组1，C组1.
本节通过一个学生感兴趣的话题使学生认识到小结的重要性，然后通过最新模拟题再现了本章重点题型．本节不仅总结了有关用数学模型解决实际问题的解题规律，而且给出了本章知识结构图，使本章的知识更加系统，脉络更加清晰，使学生的认识水平和解题能力进一步升华，决不是前面知识的简单重复，因此达到了小结的目的．
[备选例题]
对于函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－2(a≠0)，若存在实数x0，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．
(1)当a＝2，b＝－2时，求f(x)的不动点；
(2)若对于任何实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－2(a≠0)，当a＝2，b＝－2时，f(x)＝2x2－x－4，
设x为其不动点，即2x2－x－4＝x，则2x2－2x－4＝0，解得x1＝－1，x2＝2，
即f(x)的不动点为－1,2.
(2)由f(x)＝x，得ax2＋bx＋b－2＝0.关于x的方程有相异实根，则b2－4a(b－2)＞0，
即b2－4ab＋8a＞0.
又对所有的b∈R，b2－4ab＋8a＞0恒成立，
故有(4a)2－4·8a＜0，得0＜a＜2.
(设计者：张新军)
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