§2 实际问题的函数建模
教学分析
函数基本模型的应用是本章的重点内容之一．教科书用例题作示范，并配备了较多的实际问题让学生进行练习．在例题中，分别介绍了分段函数、对数函数、二次函数的应用．
教科书中还渗透了函数拟合的基本思想．通过本节学习让学生进一步熟练函数基本模型的应用，提高学生解决实际问题的能力．
三维目标
1．培养学生由实际问题转化为数学问题的建模能力，即根据实际问题进行信息综合列出函数解析式．
2．会利用函数图像性质对函数解析式进行处理得出数学结论，并根据数学结论解决实际问题．
3．通过学习函数基本模型的应用，体会实践与理论的关系，初步向学生渗透理论与实践的辩证关系．
重点难点
根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型，并根据数学模型解决实际问题．
课时安排
3课时
2．1 实际问题的函数刻画
导入新课
情境：有一大群兔子在喝水、嬉戏，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至20世纪50年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．
其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型．这一节我们将讨论不同函数模型的应用．
推进新课
①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.
设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x).
②A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月.把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域.
③分析以上实例属于哪种函数模型.
讨论结果：①f(x)＝5x(15≤x≤40)；
g(x)＝
②y＝5x2＋(100—x)2(10≤x≤90)．
③分别属于一次函数模型、分段函数模型、二次函数模型．
思路1
例1 当人的生活环境温度改变时，人体代谢率也有相应的变化，下表给出了实验的一组数据，这组数据能说明什么？
环境温度/(℃)
4
10
20
30
38
代谢率/4 185 J/(h·m2)
60
44
40
40.5
54
解：在这个实际问题中出现了两个变量：一个是环境温度；另一个是人体的代谢率．不难看出，对于每一个环境温度都有唯一的人体代谢率与之对应，这就决定了一个函数关系．实验数据已经给出了几个特殊环境温度时的人体代谢率，为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对实验值在直角坐标系中表示出来．在医学研究中，为了方便，常用折线把它们连接起来(如图1)．
图1
根据图像，可以看出下列性质：
(1)代谢率曲线在小于20 ℃的范围内是下降的，在大于30 ℃的范围内是上升的；
(2)环境温度在20 ℃～30 ℃时，代谢率较低，并且较稳定，即温度变化时，代谢率变化不大；
(3)环境温度太低或太高时，它对代谢率有较大影响．
所以，临床上做“基础代谢率”测定时，室温要保持在20 ℃～30 ℃之间，这样可以使环境温度的影响最小．
点评：在这个问题中，通过对实验数据的分析，可以确定由{4,10,20,30,38}到{60,44,40,40.5,54}的一个函数，通过描点，并且用折线将它们连接起来，使人们得到了一个新的函数，定义域扩大到了区间[4,38]．对于实际的环境温度与人体代谢率的关系来说，这是一个近似的函数关系，它的函数图像，可以帮助我们更好地把握环境温度与人体代谢率的关系.
变式训练
电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如图2所示(其中MN∥CD)．
(1)分别求出方案A，B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；
(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由．
图2
解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：
f(x)＝g(x)＝
(2)当f(x)＝g(x)时，x－10＝50，
∴x＝200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可；
当客户通话时间为0≤x＜200分钟，g(x)＞f(x)，故选择方案A；
当客户通话时间为x＞200分钟时，g(x)＜f(x)，故选择方案B.
例2 某厂生产一种畅销的新型工艺品，为此更新专用设备和制作模具花去了200 000元，生产每件工艺品的直接成本为300元，每件工艺品的售价为500元，产量x对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？
图3
解：总成本C与产量x的关系为C＝200 000＋300x；
单位成本P与产量x的关系为P＝＋300；
销售收入R与产量x的关系为R＝500x；
利润L与产量x的关系为L＝R－C＝200x－200 000.
以上各式建立的是函数关系．
(1)从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量．若x＜1 000，则要亏损；若x＝1 000，则利润为零；若x＞1 000，则可盈利．这也可从图3看出，R和C的图像是两条直线，在它们的交点处利润为零．
(2)从单位成本与产量的关系P＝＋300可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效益．
例3 如图4，在一条弯曲的河道上，设置了六个水文监测站．现在需要在河边建一个情报中心，从各监测站沿河边分别向情报中心铺设专用通信电缆，怎样刻画专用通信电缆的总长度？
解：情报中心在河边的位置一旦确定，每一个水文监测站到情报中心的通信电缆长度(曲线段长度)就唯一确定了，因此，表示情报中心位置的数值与专用通信电缆的总长度就构成一个函数关系．
图4
现在将弯曲的河道“拉直”，使刻画曲线段长度的问题变成了刻画直线段长度的问题．
将“变直了”的河道当作一个数轴，不妨设A为原点，AB＝b，AC＝c，AD＝d，AE＝e，AF＝f.
于是，水文监测站A，B，C，D，E和F的坐标就可以用0，b，c，d，e，f表示出来．表示情报中心位置的数值可以看作一个变量，用x表示，这样，对于给定的x的值，就能计算出情报中心到每一个水文监测站的长度，从而可以得出所需电缆的总长度为f(x)＝|x|＋|x－b|＋|x－c|＋|x－d|＋|x－e|＋|x－f|.
变式训练
一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(剩留量为原来的一半所需的时间叫作半衰期)．(精确到0.1.已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)
解：(1)最初的质量为500 g.
经过1年后，ω＝500(1－10%)＝500×0.91；
经过2年后，ω＝500×0.9(1－10%)＝500×0.92；
由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.
(2)解方程500×0.9t＝250，则0.9t＝0.5，
所以t＝＝≈6.6(年)，
即这种放射性元素的半衰期约为6.6年.
某电器公司生产A型电脑.1993年这种电脑每台平均生产成本为5 000元，并以纯利润20%确定出厂价．从1994年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低．到1997年，尽管A型电脑出厂价仅是1993年出厂价的80%，但却实现了50%纯利润的高效益．
(1)求1997年每台A型电脑的生产成本；
(2)以1993年的生产成本为基数，求1993年至1997年生产成本平均每年降低的百分数．(精确到0.01，以下数据可供参考：＝2.236，＝2.449)
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导．
出厂价＝单位商品的成本＋单位商品的利润．
解：(1)设1997年每台电脑的生产成本为x元，依题意，得
x(1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，解得x＝3 200(元)．
(2)设1993年至1997年间每年平均生产成本降低的百分率为y，则依题意，得5 000(1－y)4＝3 200，
解得y1＝1－，y2＝1＋(舍去)．
所以y＝1－≈0.11＝11%，
即1997年每台电脑的生产成本为3 200元，1993年至1997年生产成本平均每年降低11%.
某家电企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称
空调
彩电
冰箱
每台所需工时
每台产值(千元)
4
3
2
问每周应生产空调、彩电、冰箱各多少台，才能使周产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)
解：设每周生产空调、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，每周产值为f千元，
则f＝4x＋3y＋2z，其中
由①②可得y＝360－3x，z＝2x，
代入③得则有30≤x≤120.
故f＝4x＋3(360－3x)＋2·2x＝1 080－x，
当x＝30时，fmax＝1 080－30＝1 050.
此时y＝360－3x＝270，z＝2x＝60.
答：每周应生产空调30台，彩电270台，冰箱60台，才能使每周产值最高，最高产值为1 050千元．
点评：函数方程不等式有着密切的关系，它们相互转化组成一个有机的整体，要细心体会．
本节重点学习了函数模型的实例应用，包括一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型等；另外还应关注函数方程不等式之间的相互关系．
活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．
引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．
习题4—2 A组1.
本节设计从有趣的故事开始，让学生从故事中体会函数模型的选择，然后通过几个实例介绍常用函数模型．接着通过最新题型训练学生由图表转化为函数解析式的能力，从而解决实际问题，本节的每个例题的素材都是贴近现代生活，学生非常感兴趣的问题，很容易引起学生的共鸣．
(设计者：林大华)
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