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1.3.2函数的奇偶性
福建省永安十二中 林永山
一．教学背景分析
1 . 教材的地位与作用
(1)本节课内容选自（人教A版）普通高中课程标准实验教科书《数学必修Ⅰ》第一章第三节第二课；
(2)函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,是函数的重要性质之一,对它的研究也为今后幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入学习起着重要的铺垫作用；
（3）奇偶性的教学无论是在知识还是在能力方面对学生的教育起着非常重要的作用,因此本节课充满着数学方法论的渗透教育,同时又是数学美的集中体现。
2 . 学情分析
（1）已经学习了函数的单调性，对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解。尽管他们尚不知函数奇偶性,但学生在初中已经学习过图形的轴对称与中心对称，对图象的特殊对称性早已有一定的感性认识；
（2）在研究函数的单调性方面，学生懂得了由形象到具体,然后再由具体到一般的科学处理方法,具备一定数学研究方法的感性认识；
（3）所任教班级的学生虽然基础比较弱，但也具备一定的观察能力，只是观察的深刻性及稳定性还有待进一步提高；他们有明确的学习动机，能主动自觉配合教师完成教学内容。
二、教学目标
1、知识与技能：
（1）通过观察一些函数图象的对称性，形成奇偶性的直观认识。然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立奇偶函数的概念。
（2）通过对典型例子的探讨，加深对奇偶性实质的理解，形成判断奇偶性的步骤，从而能应用到简单的数学问题中去。
（3）经历从直观到抽象，从图形语言到数学语言积累，理解奇函数、偶函数概念的本质特征。在这个过程中，通过师生共同探究活动，体验数学概念的形成过程；通过积极的数学思考，培养和提升数学思维能力。
2、过程与方法
通过“观察” “思考” “探究”与“合作交流”等一系列教学活动，利用多媒体辅助教学，培养学生的类比，观察,归纳能力；渗透数形结合的思想方法；感悟由形象到具体,再从具体到一般的研究方法。
3、情感态度与价值观
培养合作、交流的能力；培养学生善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；同时通过欣赏生活中一些对称的图形，感受数学美，陶冶情操。
三、教学重点与难点
重点：①形成奇偶性的形式化定义。
②掌握函数奇偶性的判别方法。
难点：在形成奇偶性定义的过程中，如何从图象的直观认识过渡到函数奇偶性的数学符号语言表述。
四、教学过程
教学基本流程：
图片赏析
课题引入
共同探究
概念形成
应用训练
课堂小结
布置作业
教学环节
教学内容
师 生 活 动
设计意图
情境导航引入新课
请同学们欣赏图片，观察它们有什么共同特征？
我们的校名里有对称的字吗？
生活中的有对称，那么函数图象，是否也具有对称的特性呢？
生：前四幅轴对称图形，后三幅中心对称图形。
生：十、二、中（轴对称）
生：有（二次函数、反比例函数）
感受身边的对称美，诱发思考，引出函数的对称美。
探索研究
1、请同学们阅读书本第33页，结合ppt，将下列各点描在函数图像上。
(1)
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
9
4
1
0
1
4
9
(2)
1、学生动手描点，找规律。
(1)
(2)
通过描点作图,让学生获取函数性质的直观认识；
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
3
2
1
0
1
2
3
2、观察ppt上函数与的图象，它们有什么共同特征？
图象的这一特征能从表格里的函数值的变化中体现出来吗？
师：引导学生把图象特征跟函数值的变化联系起来。（借助ppt演示图像的对称性）
2、生：独立思考完成解答，观察、思考、总结、概括得出结论，并进行交流：
图像都关于y轴对称。
从函数对应表可以看到，当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值相同．
生：尝试把几何特征跟代数特征联系起来。
启发学生由图象的对称性,联系到函数值的变化,为进一步学习定义奠定基础.
ppt的使用，使数与形的结合表现得更加自然。
发现规律
学生经过思考后，回答：对于函数，
学生1：有f（－3）＝9＝f（3），
学生2：f（－2）＝4＝f（2），
学生3：f（－1）＝1＝f（1）．
师生共同：对于R内任意的一个x，都有f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x）．
结论：此时，称函数y＝x2为偶函数．
引导学生从特殊到一般发现规律。
从直观认识过渡到数学符号表述.
课后探究
类比函数f（x）＝x2，请同学们课后自己再继续深入探究的图像规律，依然会有f(-x)=|-x|=|x|,有f(-x)=f(x)。
师：象f（x）＝x2与 f(x)=|x|这样的函数，我们称为偶函数。
在前面的基础上进一步探讨f(x)=|x|
的特征.
概念形成
引导学生归纳总结，教师补充，并根据学生回答进行板书。
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数；
偶函数图象关于y轴对称。
从具体到一般引出偶函数的定义. 让学生参与到知识的形成过程中，获得数学学习的成就感。
偶函数的理解
偶函数的定义，由两名话组成，一句描述自变量，一句描述函数值。各用了一个关键的字眼：“任意”（一个x）、“都有”（一个恒等式）。
x
y
判断：下列函数是否为偶函数，为什么？
(A)
(B)
(C)
（学生先思考后同桌交流，得出结论）
学生4：A错，右边有一个点空心；
学生5：B错，定义域不对称；
推论：偶函数的定义域在x轴上对应的点集关于原点对称。
全体学生：C错，因为f(-x)=-f(x)
不符合偶函数定义。
思考：如果满足C的这种特征的函数该如何定义？
引导学生把握定义里的关键词，提高学生概括能力，学会抓重点。
这个例子强调定义中的“定义域”关于原点对称，引出奇函数概念的思考
以学生为主，通过学生的合作交流，及时点拔，加深对定义的理解。
探究奇函数
观察函数f（x）＝x和f（x）＝的图像，并完成书本的两个函数值对应表，然后说出这两个函数有什么共同特征．
此时，称函数y＝f（x）为奇函数．
学生完成课本的填表，并描点找规律。
可以看到两个函数的图像都关于原点对称．函数图像的这个特征，反映在解析式上就是：当自变量ｘ取一对相反数时，相应的函数值f（x）也是一对相反数，即对任一x∈R都有f（－x）＝－f（x）．
类比偶函数的发现过程让学生自行探究发现和归纳奇函数的特征，形成对奇函数的初步认识。
奇函数的概念
引导学生归纳奇函数的概念，教师补充，并进行板书。
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）＝－f（x），那么函数f（x）就叫作奇函数．
奇函数的图像关于原点对称。
培养类比意识和归纳能力。
小结提高
师：从上面学习，可以概括出两点：
（1）奇偶函数的定义域必须关于原点对称；
（2）函数的奇偶性，可以通过定义或图像特征进行判断。
在这一教学过程中，教师通过设问、启发，引导学生把握了概念的实质。
应用巩固1
例1、
2）
明确利用图像特征判定奇偶性的方法。
明确定义域关于原点对称是判定函数奇偶性的前提。
合作探究
对于定义在R上的函数f（x），下列判断是否正确？
①若f（x）是偶函数，则f（－2）＝f（2）；
②若f （－2）＝f（2），则f（x）是偶函数；
③若f（－2）≠f（2），则f（x）不是偶函数；
④若f（－2）＝f（2），则f（x）不是奇函数。
学生根据学案，按小组进行合作探究，判断正误，最后派代表回答。
①③学生都比较快可以判断出来，
②学生有可能理解不到位，
④特殊的例子，学生不容易想到。
培养学生合作探究的意识，提升学生的表达能力。
函数的
分类
由上面的讨论得知，函数按奇偶性可以分为四类：
偶函数、奇函数、非奇非偶函数、既是奇函数又是偶函数。
明确函数的类型。
应用巩固2
例2、判断下列函数的奇偶性．
教师讲解（1）和（3）【规范解题格式】；
两位学生板书（2）和（4）
根据学生的解答，教师进行点评。
教师首先作出书写格式的示范，让学生有本可依。然后看看学生的板演，有针对性地作出修订与讲评。
我们一起归纳一下判断函数奇偶性的步骤。
概括出三个步骤：
（1）求函数的定义域。判断定义域是否关于原点对称，若是，则进行后面步骤；若不对称，则可判定为“既不是奇函数也不是偶函数”
（2）计算f(-x)
（3）判断f(-x)=±f(x)是否成立，可按上述4种结论选择其一。
在对实质认识的基础上，进一步提炼出程序性、操作性的方法。学生认识水平获得了提高。
变式2、判断下列函数的奇偶性
学生独立完成后，
（1）齐答（2）（3）（4）分别叫一位同学板书；
根据学生完成情况教师进行点评。
第（5）题涉及分段函数奇偶性的讨论，比较难，不在课堂上完成让学生课后先进行探究，下节课进行重点讲解。
进一步提升学生的解题能力和强化格式的规范性；涉及的不等式解法恰好是对前期初高中衔接内容的检测。
课堂练习
（1）已知f(x)=x5+bx3+cx且f(-2)=10，那么f (2)等于（ ）。
A、-10 ， B、10 ， C、20 ， D、与b、c有关
（2）下面四个命题中，正确的个数是（ ）
①奇函数的图像关于原点对称。 ②偶函数的图像关于y轴对称。 ③奇函数的图像一定过原点。 ④偶函数的图像一定与y轴相交。
A、4 ，B、3 ，C、2 ，D、1
（3）如果定义在上的函数f(x)为奇函数，那么 a=___
（4）判断下列函数的奇偶性
①，②，③，④
巩固课堂所学知识。
课堂小结
教师提出下列问题让学生思考：
①通过奇偶函数概念的形成过程，你学习到了什么？
②奇偶函数的图象有什么特点？如何根据图象画出另一半的图象？
③怎样判别函数的奇偶性？
④本课涉及的数学思想方法有哪些？
师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结，让学生充分发表自已的意见。
学生自己小结，使学生对自己所学知识有更深刻的认识。
作业布置
课后作业：
（一）P36 练习1（作业本）
P36 练习2（书上）
《优化设计》 P32 例1、变1
（二）学案的课后检测
作业是课堂的延续，除了检验学生对本节课知识的理解程度，还在于引导学生对本课知识的进一步探究，让学生在更大的深度与广度之间进行思考。
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