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2018届高考数学大一轮复习--古典概型与几何概型(理科附解析)

时间:2017-08-25 08:49:49作者:佚名教案来源:网络
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第四节古典概型与几何概型
 

突破点(一) 古典概型
基础联通         抓主干知识的“源”与“流”        

1.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是互斥的;
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
2.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等.
3.古典概型的概率公式
P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数.
考点贯通         抓高考命题的“形”与“神”                 

 
古典概型的求法
古典概型的概率计算往往与实际问题结合紧密,解决问题的一般步骤如下:
第一步,阅读题目,判断试验是否为古典概型,若满足有限性和等可能性,则进行下一步.
第二步,通过列举或计算求出基本事件的总数n及题目要求的事件所包含的基本事件的个数m.
第三步,利用古典概型的概率公式求出事件的概率.
[典例] 为振兴旅游业,四川省面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜景区旅游,其中 34 是省外游客,其余是省内游客.在省外游客中有 13 持金卡,在省内游客中有 23 持银卡.
(1)在该团中随机采访2名游客,求恰有1人持银卡的概率;
(2)在该团中随机采访2名游客,求其中持金卡与持银卡人数相等的概率.
[解] (1)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡.
设事件A为“采访该团2人,恰有1人持银卡”,
则P(A)=C16C130C236=27,
所以采访该团2人,恰有1人持银卡的概率是27.
(2)设事件B为“采访该团2人,持金卡与持银卡人数相等”,可以分为事件B1为“采访该团2人,持金卡0人,持银卡0人”,或事件B2为“采访该团2人,持金卡1人,持银卡1人”两种情况.
则P(B)=P(B1)+P(B2)=C221C236+C19C16C236=44105,
所以采访该团2人,持金卡与持银卡人数相等的概率是44105.
能力练通          抓应用体验的“得”与“失”                 
1.在实验室进行的一项物理实验中,要先后实施6个程序A,B,C,D,E,F,则程序A在第一或最后一步,且程序B和C相邻的概率为(  )
A.15         B.115        C.415         D.215
解析:选D 程序A在第一或最后一步,且程序B和C相邻的概率为P=A12A22A44A66=215.
2.在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点,则构成的四边形是梯形的概率为(  )
A.15         B.25          C.16          D.18

解析:选B 如图,在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点,共有15种选法,其中构成的四边形是梯形的有ABEF,BCDE,ABCF,CDEF,ABCD,ADEF,共6种情况,故构成的四边形是梯形的概率P=615=25.
3.一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”(如213,312)等.若a,b,c∈{1,2,3,4},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率是(  )
A.16  B.524  C.13  D.724
解析:选C 由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321,共6个;由1,2,4组成的三位数有124,142,214,241,412,421,共6个;由1,3,4组成的三位数有134,143,314,341,413,431,共6个;由2,3,4组成的三位数有234,
243,324,342,423,432,共6个.所以共有6+6+6+6=24个三位数.当b=1时,有214,213,314,412,312,413,共6个“凹数”;当b=2时,有324,423,共2个“凹数”.故这个三位数为“凹数”的概率P=6+224=13.
4.将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率为________.
解析:依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6),共36个,其中满足直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点,即满足2aa2+b2≤ 2,即a2≤b2的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),…,(6,6),共6+5+4+3+2+1=21个,因此所求的概率等于2136=712.
答案:712
5.在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球,球上分别标有数字1,2,3,4,5.甲先从箱子中摸出一个小球,记下球上所标数字后,再将该小球放回箱子中摇匀后,乙从该箱子中摸出一个小球.
(1)若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),求甲获胜的概率;
(2)若规定:两人摸到的球上所标数字之和小于6,则甲获胜,否则乙获胜,这样规定公平吗?
解:用(x,y)(x表示甲摸到的数字,y表示乙摸到的数字)表示甲、乙各摸一球构成的基本事件,则基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25个.(1)设甲获胜的事件为A,则事件A包含的基本事件有:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共10个.
则P(A)=1025=25.
(2)设甲获胜的事件为B,乙获胜的事件为C.事件B所包含的基本事件有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10个.
则P(B)=1025=25,
所以P(C)=1-P(B)=35.
因为P(B)≠P(C),所以这样规定不公平.

突破点(二) 几何概型

基础联通         抓主干知识的“源”与“流”             
1.几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型.
2.几何概型的两个基本特点
(1)无限性:在一次试验中可能出现的结果有无限多个;
(2)等可能性:每个试验结果的发生具有等可能性.
3.几何概型的概率公式
P(A)=构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.
考点贯通          抓高考命题的“形”与“神”                  

 
与长度、角度有关的几何概型
[例1] (1)在区间[0,2]上随机地取一个数x,则事件“-1≤log12x+12≤1”发生的概率为(  )
A.34   B.23 
C.13   D.14
(2)在长为12 cm的线段AB上任取一点C,现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形的面积大于20 cm2的概率为(  )
A.16   B.13 
C.23   D.45
(3)如图所示,在等腰直角三角形ABC中,过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM,与AB交于点M,则AM<AC的概率为________.
[解析] (1)不等式-1≤log12x+12≤1可化为log122≤log12x+12≤log1212,即12≤x+12≤2,解得0≤x≤32,故由几何概型的概率公式得P=32-02-0=34.
(2)设|AC|=x,则|BC|=12-x,所以x(12-x)>20,解得2<x<10,故所求概率P=10-212=23.
(3)过点C作CN交AB于点N,使AN=AC,如图所示.显然当射线CM处在∠ACN内时,AM<AC.
又∠A=45°,所以∠ACN=67.5°,故所求概率为P=67.5°90°=34.
[答案 (1)A (2)C (3)34
[方法技巧]
1.与长度有关的几何概型
如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,可直接用概率的计算公式求解.
2.与角度有关的几何概型
当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为区域度量来计算概率,且不可用线段的长度代替,这是两种不同的度量手段.如本例中的第(3)题极易求错. 

 
与面积有关的几何概型

[例2] (1)如图,矩形ABCD中,点A在x轴上,点B的坐标为(1,0),且点C与点D在函数f(x)=x+1,x≥0,-12x+1,x<0的图象上.若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于(  )
A.16   B.14 
C.38   D.12
(2)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答).
(3)在区间[-1,1]内随机取两个实数x,y,则满足y≥x2-1的概率是________.
[解析] (1)因为f(x)=x+1,x≥0,-12x+1,x<0,B点坐标为(1,0),所以C点坐标为(1,2),D点坐标为(-2,2),A点坐标为(-2,0),故矩形ABCD的面积为2×3=6,阴影部分的面积为12×3×1=32,故P=326=14.
(2)设小张与小王的到校时间分别为7:00后第x分钟,第y分钟.根据题意可画出图形,如图所示,则总事件所占的面积为(50-30)2=400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A={(x,y)|y-x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50},如图中阴影部分所示,阴影部分所占的面积为12×15×15=2252,所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P(A)=2252400=932.
(3)如图满足y≥x2-1的概率为阴影部分面积与大正方形面积的比,∵阴影部分面积S1=1-1 [1-(x2-1)]dx=1-1-12-x2dx=2x-13x31-1=103,大正方形面积S2=4,∴P=S1S2=1034=56.
[答案 (1)B (2)932 (3)56
[方法技巧]
求解与面积有关的几何概型的关键点
求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解.

 
与体积有关的几何概型

[例3] (1)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中心,在正方体ABCD­A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为________.
(2)(2017•黑龙江五校联考)在体积为V的三棱锥S­ABC的棱AB上任取一点P,则三棱锥S­APC的体积大于V3的概率是________.
[解析] (1)正方体的体积为:2×2×2=8,以O为球心,1为半径且在正方体内部的半球的体积为:12×43πr3=12×43π×13=23π,则点P到点O的距离大于1的概率为:1-23π8=1-π12.
(2)由题意可知VS­APCVS­ABC>13,三棱锥S­ABC的高与三棱锥S­APC的高相同.
如图所示,作PM⊥AC于M,BN⊥AC于N,
则PM,BN分别为△APC与△ABC的高,
所以VS­APCVS­ABC=S△APCS△ABC=PMBN>13,
又PMBN=APAB,
所以APAB>13,
故所求的概率为23(即为长度之比).
[答案] (1)1-π12 (2)23
[方法技巧]
求解与体积有关的几何概型的关键点
对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求.

能力练通        抓应用体验的“得”与“失”                    

1.[考点二]如图,将半径为1的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在圆内(阴影部分).现在往圆内任投一点,此点落在星形区域内的概率为(  )
A.4π-1 B.1π
C.1-1π   D.2π
解析:选A 顺次连接星形的四个顶点,则星形区域的面积等于(2)2-414×π×12-12×12=4-π,又因为圆的面积等于π×12=π,因此所求的概率等于4-ππ=4π-1.
2.[考点一]如图所示,A是圆上一定点,在圆上其他位置任取一点A′,连接AA′,得到一条弦,则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为(  )
A.12   B.32
C.13   D.14
解析:选C 当AA′的长度等于半径长度时,∠AOA′=π3,A′点在A点左右都可取得,故由几何概型的概率计算公式得P=2π32π=13.
3.[考点一](2017•伊春模拟)在区间-π6,π2上随机取一个数x,则sin x+cos x∈[1,2 ]的概率是(  )
                

A.12   B.34 
C.38   D.58
解析:选B 因为sin x+cos x=2sinx+π4∈1,2,
所以22≤sinx+π4≤1,
所以x+π4∈2kπ+π4,2kπ+3π4(k∈Z),
即x∈2kπ,2kπ+π2(k∈Z),
又x∈-π6,π2,所以x∈0,π2,
故要求的概率为π2-0π2--π6=34.
4.[考点三]如图,长方体ABCD­A1B1C1D1中,有一动点在此长方体内随机运动,则此动点在三棱锥A­A1BD内的概率为________.
 
解析:设事件M为“动点在三棱锥A­A1BD内”,
则P(M)=V三棱锥A­A1BDV长方体ABCD­A1B1C1D1=V三棱锥A1­ABDV长方体ABCD­A1B1C1D1
=13AA1•S△ABDV长方体ABCD­A1B1C1D1=13AA1•12S矩形ABCDAA1•S矩形ABCD=16.
答案:16
5.[考点二]在区间[0,1]上任取两个数a,b,则函数f(x)=x2+ax+b2无零点的概率为________.
 
解析:要使该函数无零点,只需a2-4b2<0,
即(a+2b)(a-2b)<0.
∵a,b∈[0,1],a+2b>0,
∴a-2b<0.
作出0≤a≤1,0≤b≤1,a-2b<0的可行域(如阴影部分所示),易得该函数无零点的概率P=1-12×1×121×1=34.
答案:34
6.[考点二]欧阳修的《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦,置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为3 cm的圆,中间有边长为1 cm的正方形孔,若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计),则正好落入孔中的概率是________.
解析:依题意,所求概率为P=12π•322=49π.
答案:49π
突破点(三) 概率与统计的综合问题

概率的计算问题往往与抽样方法、频率分布直方图、频率分布表、茎叶图等知识点相结合进行考查,一般难度不大,考查基础知识点和基本方法.解决此类综合问题可遵循以下几个步骤进行:
第一步,根据所给的频率分布直方图、茎叶图等统计图表确定样本数据、平均数等统计量;
第二步,根据题意,一般由频率估计概率,确定相应的事件的概率;
第三步,利用互斥事件、对立事件、古典概型等概率计算公式计算概率.

考点贯通      抓高考命题的“形”与“神”                        
 
概率与统计图表的综合问题

[例1] (2017•郑州模拟)某园林基地培育了一种新观赏植物,经过一年的生长发育,技术人员从中抽取了部分植株的高度(单位:厘米)作为样本(样本容量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70,)[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本高度的茎叶图(图中仅列出了高度在[50,60),[90,100]的数据).
 
(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值;
(2)在选取的样本中,从高度在80厘米以上(含80厘米)的植株中随机抽取2株,求所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率.
[解] (1)由题意可知,样本容量n=80.016×10=50,y=250×10=0.004,
x=0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.
(2)由题意可知,高度在[80,90)内的株数为5,记这5株分别为a1,a2,a3,a4,a5,高度在[90,100]内的株数为2,记这2株分别为b1,b2.抽取2株的所有情况有21种,分别为:
(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2).
其中2株的高度都不在[90,100]内的情况有10种,分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5),(a4,a5).
所以所抽取的2株中至少有一株高度在[90,100]内的概率P=1-1021=1121.
[方法技巧] 破解概率与统计图表综合问题的“三步曲”
 

 
概率与抽样方法的综合问题

[例2] 某大型手机连锁店为了解销售价格在区间[5,30](单位:百元)内的手机的利润情况,从2016年度销售的一批手机中随机抽取75部,按其价格分成5组,频数分布表如下:
价格分组
(单位:百元) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30)
频数(单位:部) 5 10 20 15 25
(1)用分层抽样的方法从价格在区间[5,10),[10,15)和[20,25)内的手机中共抽取6部,其中价格在区间[20,25)内的有几部?
(2)从(1)中抽出的6部手机中任意抽取2部,求价格在区间[10,15)内的手机至少有1部的概率.
[解] (1)因为在区间[5,10),[10,15)和[20,25)内的手机的数量之比为5∶10∶15=1∶2∶3,所以抽取的6部手机中价格在区间[20,25)内的有6×36=3(部).
(2)这6部手机中价格在区间[5,10)内的有1部记为a,在区间[10,15)内的有2部,分别记为b1,b2,在区间[20,25)内的有3部,分别记为c1,c2,c3,从中任取2部,可能的情况有(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2)(c1,c3),(c2,c3),共15种;
设“价格在区间[10,15)内的手机至少有1部”为事件A,则事件A包含的情况有(a,b1),(a,b2),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),共9种.
故P(A)=915=35.
[方法技巧]
求解概率与分层抽样综合问题的步骤
(1)利用分层抽样的抽样比,求出各层的样本数或各层应抽取的样本数;
(2)计算样本空间所含的基本事件个数与所求事件含有的基本事件的个数;
(3)利用古典概型的概率计算公式得出结果.

 
概率与统计案例的综合问题

[例3] (2017•武汉模拟)某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据,结果统计如下:
AQI [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,300] >300
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
天数 6 14 18 27 20 15
(1)已知某企业每天的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x的关系式为y=0,0≤x≤100,4x-400,100<x≤300,2 000,x>300,若在本年内随机抽取一天,试估计这一天的经济损失超过400元的概率;
(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为严重污染.根据提供的统计数据,完成下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”?
 非严重污染 严重污染 总计
供暖季   
非供暖季   
总计   100
附:K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
解:(1)记“在本年内随机抽取一天,该天的经济损失超过400元”为事件A.
由y>400,得x>200.
由统计数据可知,空气质量指数大于200的频数为35,
所以P(A)=35100=720.
(2)根据题设中的数据得到如下2×2列联表:
 非严重污染 严重污染 总计
供暖季 22 8 30
非供暖季 63 7 70
总计 85 15 100

将2×2列联表中的数据代入公式计算,得
K2=100×22×7-63×8230×70×85×15≈4.575.
因为4.575>3.841,
所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”.
能力练通        抓应用体验的“得”与“失”                  
1.[考点一](2017•太原模拟)某工厂对一批共50件的机器零件进行分类检测,其重量(克)统计如下:
重量段 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100]
件数 5 m 12 n
规定重量在82克及以下的为甲型,重量在85克及以上的为乙型,已知该批零件有甲型2件.
(1)从该批零件中任选1件,若选出的零件重量在[95,100]内的概率为0.26,求m的值;
(2)从重量在[80,85)的5件零件中,任选2件,求其中恰有1件为甲型的概率.
解:(1)由题意可得n=0.26×50=13,则m=50-5-12-13=20.
(2)设“从重量在[80,85)的5件零件中,任选2件,其中恰有1件为甲型”为事件A,记这5件零件分别为a,b,c,d,e,其中甲型为a,b.
从这5件零件中任选2件,所有可能的情况为ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种.
其中恰有1件为甲型的情况有ac,ad,ae,bc,bd,be,共6种.
所以P(A)=610=35.
即从重量在[80,85)的5件零件中,任选2件,其中恰有1件为甲型的概率为35.
2.[考点一、二](2017•潍坊模拟)济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作,准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者,将这20名志愿者的身高(单位:cm)编成如图所示的茎叶图.若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高精灵”,身高在175 cm以下定义为“帅精灵”.已知A大学志愿者的身高的平均数为176,B大学志愿者的身高的中位数为168.
 
(1)求x,y的值;
(2)如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中随机抽取5人,再从这5人中选2人,求至少有1人为“高精灵”的概率.
解:(1)由茎叶图得,
159+168+170+170+x+176+182+187+1918=176,
160+y+1692=168.
解得x=5,y=7.
(2)由题意可得,“高精灵”有8人,“帅精灵”有12人,如果从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人,则抽取的“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为8×520=2,12×520=3.
记抽取的“高精灵”分别为b1,b2,“帅精灵”分别为c1,c2,c3,
从这5人中任选2人的所有可能情况为(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共10种,
记“从这5人中选2人,至少有1人为‘高精灵’”为事件A,则A包含的情况为(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),共7种,所以P(A)=710.
故从这5人中选2人,至少有1人为“高精灵”的概率为710.
3.[考点一、二]某iPhone手机专卖店对某市市民进行iPhone手机认可度的调查,在已购买iPhone手机的1 000名市民中,随机抽取100名,按年龄(单位:岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下:

分组(岁) 频数
[25,30) 5
[30,35) x
[35,40) 35
[40,45) y
[45,50) 10
合计 100
   
 
(1)求频数分布表中x,y的值,并补全频率分布直方图;
(2)在抽取的这100名市民中,从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iPhone手机宣传活动,现从这5人中随机选取2人各赠送一部iPhone 7手机,求这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率.
解:(1)由频数分布表和频率分布直方图可知,
5+x+35+y+10=100,0.04×5×100=x,解得x=20,y=30.
频率分布直方图中年龄在[40,45)内的人数为30,对应的频率组距为30100×5=0.06,所以补全的频率分布直方图如下:
 
(2)由频数分布表知,在抽取的5人中,
年龄在[25,30)内的市民的人数为5×525=1,记为A1,年龄在[30,35)内的市民的人数为5×2025=4,分别记为B1,B2,B3,B4.
从这5人中任选2人的所有基本事件为:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A1,B4},{B1,B2},{B1,B3},{B1,B4},{B2,B3},{B2,B4},{B3,B4},共10个.
记“恰有1人的年龄在[30,35)内”为事件M,则M所包含的基本事件有4个:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A1,B4}.
所以这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率为P(M)=410=25.
4.[考点二、三](2017•贵阳模拟)为了增强消防安全意识,某中学做了一次消防知识讲座,从男生中随机抽取了50人,从女生中随机抽取了70人参加消防知识测试,统计数据得到如下的列联表:
 优秀 非优秀 总计
男生 15 35 50
女生 30 40 70
总计 45 75 120
(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关;
附:K2=nad-bc2a+bc+da+cb+d
P(K2≥k0) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
(2)为了宣传消防安全知识,从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法,随机选出6名组成宣传小组.现从这6人中随机抽取2名到校外宣传,求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率.
解:(1)因为K2=120×15×40-35×30250×70×45×75≈2.057,且2.057<2.706,
所以没有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关.
(2)用分层抽样的方法抽取时,抽取比例是645=215,则抽取女生30×215=4(人),抽取男生15×215=2(人),抽取的同学分别记为B1,B2,B3,B4,C1,C2(其中C1,C2为男生),从中随机抽取2名同学共有15种情况:(C1,B1),(C1,B2),(C1,B3),(C1,B4),(C2,B1),(C2,B2),(C2,B3),(C2,B4),(C1,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4).其中至少有一名是男生的事件为:(C1,B1),(C1,B2),(C1,B3),(C1,B4),(C2,B1),(C2,B2),(C2,B3),(C2,B4),(C1,C2),有9种情况.记“到校外宣传的同学中至少有1名是男生”为事件M,则P(M)=915=35.

 
[全国卷5年真题集中演练——明规律]                                       
1.(2016•全国乙卷)某公司的班车在7:30 ,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(  )
A.13        B.12        C.23          D.34
解析:选B 如图,7:50至8:30之间的时间长度为40 分钟,而小明等车时间不超过10 分钟是指小明在7:50至8:00之间或8:20至8:30之间到达发车站,此两种情况下的时间长度之和为20 分钟,由几何概型概率公式知所求概率为P=2040=12.故选B.
2.(2016•全国乙卷)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则 红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(  )
A.13        B.12         C.23         D.56
解析:选C 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中,余下2种颜色的花种在另一个花坛的情况有:红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛的情况有:红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄,共4种,故所求概率为P=46=23,故选C.
3.(2016•全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为(  )
A.710         B.58            C.38         D.310
解析:选B 如图,若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口,则该行人至少等待15秒才出现绿灯.AB长度为40-15=25,由几何概型的概率公式知,至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为2540=58,故选B.
4.(2016•全国甲卷)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(  )
A.4nm          B.2nm          C.4mn        D.2mn


解析:选C 因为x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn都在区间[0,1]内随机抽取,所以构成的n个数对(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)都在边长为1的正方形OABC内(包括边界),如图所示.若两数的平方和小于1,则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对),故在扇形OAC内的数对有m个.用随机模拟的方法可得S扇形S正方形=mn,即π4=mn,所以π=4mn.
5.(2016•全国丙卷)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(  )
A.815  B.18  C.115  D.130
解析:选C ∵Ω={(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5)},∴事件总数有15种.∵正确的开机密码只有1种,∴P=115.
6.(2015•新课标全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为(  )
A.310  B.15  C.110  D.120
解析:选C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中勾股数只有(3,4,5),所以概率为110.故选C.
7.(2014•新课标全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(  )
A.18  B.38  C.58  D.78
解析:选D 由题知所求概率P=24-224=78,选D.
8.(2013•新课标全国卷Ⅰ)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(  )
A.12  B.13  C.14  D.16
解析:选B 从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4),共两种情况.故所求概率是26=13.
[课时达标检测]        重点保分课时——一练小题夯双基,二练题点过高考       
[练基础小题——强化运算能力]
1.(2017•武汉模拟)在区间[0,1]上随机取一个数x,则事件“log0.5(4x-3)≥0”发生的概率为(  )
                
A.34          B.23        C.13          D.14
解析:选D 因为log0.5(4x-3)≥0,所以0<4x-3≤1,即34<x≤1,所以所求概率P=1-341-0=14,故选D.
2.一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字,若连续两次抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是(  )
A.12       B.13        C.23         D.34
解析:选D 抛掷两次该玩具共有16种情况:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),…,(4,4).其中乘积是偶数的有12种情况:(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).所以两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是P=1216=34.
3.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个学习小组各4名同学在某次考试中的数学成绩,乙组记录中有一个数字模糊,无法确认,在图中用m表示,假设数字具有随机性,则乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率为________.
甲组  乙组
7 9 8 5  
3 1 9 1 0 m
解析:由14(87+89+91+93)=14(85+90+91+90+m),得m=4,即m=4时,甲、乙两个小组的平均成绩相等.设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A,m的取值有0,1,2,…,9,共10种可能,其中,当m=5,6,…,9时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,故所求概率为510=12.
答案:12
4.(2017•郑州模拟)若不等式x2+y2≤2所表示的平面区域为M,不等式组x-y≥0,x+y≥0,y≥2x-6表示的平面区域为N,现随机向区域N内抛一粒豆子,则豆子落在区域M内的概率为________.
 
解析:作出不等式组与不等式表示的可行域如图所示,平面区域N的面积为12×3×(6+2)=12,区域M在区域N内的面积为14π(2)2=π2,故所求概率P=π212=π24.
答案:π24
[练常考题点——检验高考能力]
一、选择题
1.为了测量某阴影部分的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷600个点,已知恰有200个点落在阴影部分内,据此可以估计阴影部分的面积是(  )
A.4        B.3           C.2   D.1
解析:选B 由投掷的点落在阴影部分的个数与投掷的点的个数比得到阴影部分的面积与正方形的面积比为13,所以阴影部分的面积约为9×13=3.
2.从集合A={-3,-2,-1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不经过第四象限的概率为(  )
A.112       B.16        C.14       D.12
解析:选B 根据题意可知,总的基本事件(k,b)共有4×3=12个,直线y=kx+b不经过第四象限,则k>0,b>0,包含的基本事件有(2,1),(2,2),共2个,根据古典概型的概率计算公式可知直线y=kx+b不经过第四象限的概率P=212=16,故选B.
3.如图,长方形的四个顶点为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线y=x经过点B.小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC中,则该电子元件落在图中阴影区域的概率是(  )
A.512        B.12        C.23       D.34
解析:选C 由题意可知S阴=04xdx=23x3240=163,S长方形=4×2=8,则所求概率P=S阴S长方形=1638=23.
4.(2017•商丘模拟)已知P是△ABC所在平面内一点, + +2 =0,现将一粒豆随机撒在△ABC内,则黄豆落在△PBC内的概率是(  )
A.14         B.13       C.12         D.23
解析:选C 如图所示,设点M是BC边的中点,因为 + +2 =0,所以点P是中线AM的中点,所以黄豆落在△PBC内的概率P=S△PBCS△ABC=12,故选C.
5.设集合A={1,2},B={1,2,3},分别从集合A和B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件Cn发生的概率最大,则n的所有可能值为(  )
A.3      B.4         C.2和5   D.3和4
解析:选D 分别从集合A和B中随机取出一个数,确定平面上的一个点P(a,b),则有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),共6种情况,a+b=2的有1种情况,a+b=3的有2种情况,a+b=4的有2种情况,a+b=5的有1种情况,所以可知若事件Cn发生的概率最大,则n的所有可能值为3和4.
6.某公司有一批专业技术人员,其中年龄在35~50岁的本科生和研究生分别有30人和20人,现用分层抽样法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任意抽取3人,则至少有1人为研究生的概率为(  )
A.110      B.12        C.710     D.910
解析:选D 设容量为5的样本中研究生的人数为m,由题意可得2030+20=m5,解得m=2,则样本中有研究生2人,分别记为A,B,本科生3人,分别记为a,b,c,所以从中任意抽取3人的所有情况有(A,B,a),(A,B,b),(A,B,c),(A,a,b),(A,a,c),(A,b,c),(B,a,b),(B,a,c),(B,b,c),(a,b,c),共10种,3人均为本科生的情况只有(a,b,c)1种,故至少有1人为研究生的概率为1-110=910.

 

二、填空题
7.某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为a,b,则双曲线x2a2-y2b2=1的离心率e>5的概率是________.
解析:由e= 1+b2a2>5,得b>2a.当a=1时,有b=3,4,5,6四种情况;当a=2时,有b=5,6两种情况,总共有6种情况.又同时掷两颗骰子,得到的点数(a,b)共有36种情况.则所求事件的概率P=636=16.
答案:16
8.已知函数f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],若从区间[-5,5]内随机抽取一个实数x0,则所取的x0满足f(x0)≤0的概率为________.
解析:令x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2,由几何概型的概率计算公式得P=2--15--5=310.
答案:310
9.已知正方形ABCD的边长为2,H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P,则满足|PH|<2的概率为________.
解析:如图,设E,F分别为边AB,CD的中点,则满足|PH|<2的点P在△AEH,扇形HEF及△DFH内,由几何概型的概率计算公式知,所求概率为14π22+12×1×1×22×2=π8+14.
答案:π8+14
10.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为________.
解析:设2名男生记为A1,A2,2名女生记为B1,B2,任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,共有A1A2,A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,B1B2,A2A1,B1A1,B2A1,B1A2,B2A2,B2B1 12种情况,而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1,A1B2,A2B1,A2B2 4种情况,则所求概率为P=412=13.
答案:13

三、解答题
11.从某市主办的科技知识竞赛的学生成绩中随机选取了40名学生的成绩作为样本,已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间,现将成绩按如下方式分成6组:第一组[40,50);第二组[50,60);……;第六组[90,100],并据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
 
(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数;
(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名,求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率.
解:(1)因为各组的频率之和为1,所以成绩在区间[80,90)内的频率为1-(0.005×2+0.015+0.020+0.045)×10
=0.1,所以选取的40名学生中成绩在区间[80,90)内的学生人数为40×0.1=4.
(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名,至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”,由(1)可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人,记这4名学生分别为a,b,c,d,成绩在区间[90,100]内的学生有0.005×10×40=2(人),记这2名学生分别为e,f,则选取2名学生的所有可能结果为(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共15种,事件“至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内”的可能结果为(a,e),(a,f),(b,e),(b,f),(c,e),(c,f),(d,e),(d,f),(e,f),共9种,所以P(A)=915=35.
12.现有8个质量和外形一样的球,其中A1,A2,A3为红球的编号,B1,B2,B3为黄球的编号,C1,C2为蓝球的编号,从三种颜色的球中分别选出一个球,放到一个盒子内.
(1)求红球A1被选中的概率;
(2)求黄球B1和蓝球C1不全被选中的概率.
解:从三种不同颜色的球中分别选出一球,其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},共18个基本事件.由于每一个基本事件被抽取的机会均等,因此这些事件的发生是等可能的.
(1)用M表示“红球A1被选中”这一事件,则M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)},事件M由6个基本事件组成,因而P(M)=618=13.
(2)用N表示“黄球B1和蓝球C1不全被选中”这一事件,则其对立事件N-表示“B1,C1全被选中”这一事件,由于N-={(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)},事件N-由3个基本事件组成,所以P(N-)=318=16,由对立事件的概率计算公式得P(N)=1-P(N-)=1-16=56.

 

 


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