第四节本节主要包括3个知识点：
1.古典概型； 2.几何概型；
3.概率与统计的综合问题.
古典概型与几何概型
突破点(一) 古典概型
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件都是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．
3．古典概型的概率公式
P(A)＝.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
古典概型的求法
古典概型的概率计算往往与实际问题结合紧密，解决问题的一般步骤如下：
第一步，阅读题目，判断试验是否为古典概型，若满足有限性和等可能性，则进行下一步．
第二步，通过列举或计算求出基本事件的总数n及题目要求的事件所包含的基本事件的个数m.
第三步，利用古典概型的概率公式求出事件的概率．
[典例] 为振兴旅游业，四川省面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜景区旅游，其中 是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡．
(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；
(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．
[解] (1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．
设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，
则P(A)＝＝，
所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是.
(2)设事件B为“采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等”，可以分为事件B1为“采访该团2人，持金卡0人，持银卡0人”，或事件B2为“采访该团2人，持金卡1人，持银卡1人”两种情况．
则P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝，
所以采访该团2人，持金卡与持银卡人数相等的概率是.
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序A，B，C，D，E，F，则程序A在第一或最后一步，且程序B和C相邻的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选D 程序A在第一或最后一步，且程序B和C相邻的概率为P＝＝.
2．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( )
A. B. C. D.
解析：选B 如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝＝.
3．一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b200.
由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，
所以P(A)＝＝.
(2)根据题设中的数据得到如下2×2列联表：
非严重污染
严重污染
总计
供暖季
22
8
30
非供暖季
63
7
70
总计
85
15
100
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得
K2＝≈4.575.
因为4.575>3.841，
所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一](2017·太原模拟)某工厂对一批共50件的机器零件进行分类检测，其重量(克)统计如下：
重量段
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100]
件数
5
m
12
n
规定重量在82克及以下的为甲型，重量在85克及以上的为乙型，已知该批零件有甲型2件．
(1)从该批零件中任选1件，若选出的零件重量在[95,100]内的概率为0.26，求m的值；
(2)从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，求其中恰有1件为甲型的概率．
解：(1)由题意可得n＝0.26×50＝13，则m＝50－5－12－13＝20.
(2)设“从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，其中恰有1件为甲型”为事件A，记这5件零件分别为a，b，c，d，e，其中甲型为a，b.
从这5件零件中任选2件，所有可能的情况为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种．
其中恰有1件为甲型的情况有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6种．
所以P(A)＝＝.
即从重量在[80,85)的5件零件中，任选2件，其中恰有1件为甲型的概率为.
2．[考点一、二](2017·潍坊模拟)济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A和B两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高(单位：cm)编成如图所示的茎叶图．若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高精灵”，身高在175 cm以下定义为“帅精灵”．已知A大学志愿者的身高的平均数为176，B大学志愿者的身高的中位数为168.
(1)求x，y的值；
(2)如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中随机抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有1人为“高精灵”的概率．
解：(1)由茎叶图得，
＝176，
＝168.
解得x＝5，y＝7.
(2)由题意可得，“高精灵”有8人，“帅精灵”有12人，如果从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则抽取的“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为8×＝2,12×＝3.
记抽取的“高精灵”分别为b1，b2，“帅精灵”分别为c1，c2，c3，
从这5人中任选2人的所有可能情况为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种，
记“从这5人中选2人，至少有1人为‘高精灵’”为事件A，则A包含的情况为(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共7种，所以P(A)＝.
故从这5人中选2人，至少有1人为“高精灵”的概率为.
3．[考点一、二]某iPhone手机专卖店对某市市民进行iPhone手机认可度的调查，在已购买iPhone手机的1 000名市民中，随机抽取100名，按年龄(单位：岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下：
分组(岁)
频数
[25,30)
5
[30,35)
x
[35,40)
35
[40,45)
y
[45,50)
10
合计
100
(1)求频数分布表中x，y的值，并补全频率分布直方图；
(2)在抽取的这100名市民中，从年龄在[25,30)、[30,35)内的市民中用分层抽样的方法抽取5人参加iPhone手机宣传活动，现从这5人中随机选取2人各赠送一部iPhone 7手机，求这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率．
解：(1)由频数分布表和频率分布直方图可知，
解得
频率分布直方图中年龄在[40,45)内的人数为30，对应的为＝0.06，所以补全的频率分布直方图如下：
(2)由频数分布表知，在抽取的5人中，
年龄在[25,30)内的市民的人数为5×＝1，记为A1，年龄在[30,35)内的市民的人数为5×＝4，分别记为B1，B2，B3，B4.
从这5人中任选2人的所有基本事件为：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，B4}，{B2，B3}，{B2，B4}，{B3，B4}，共10个．
记“恰有1人的年龄在[30,35)内”为事件M，则M所包含的基本事件有4个：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，B4}．
所以这2人中恰有1人的年龄在[30,35)内的概率为P(M)＝＝.
4．[考点二、三](2017·贵阳模拟)为了增强消防安全意识，某中学做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取了50人，从女生中随机抽取了70人参加消防知识测试，统计数据得到如下的列联表：
优秀
非优秀
总计
男生
15
35
50
女生
30
40
70
总计
45
75
120
(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；
附：K2＝
P(K2≥k0)
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
k0
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
(2)为了宣传消防安全知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率．
解：(1)因为K2＝≈2.057，且2.057的概率是________．
解析：由e＝ >，得b>2a.当a＝1时，有b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，有b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种情况．则所求事件的概率P＝＝.
答案：
8．已知函数f(x)＝x2－x－2，x∈[－5,5]，若从区间[－5,5]内随机抽取一个实数x0，则所取的x0满足f(x0)≤0的概率为________．
解析：令x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2，由几何概型的概率计算公式得P＝＝.
答案：
9．已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点．在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|
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