教学设计
2.2.2 对数函数及其性质
教学分析
有了指数函数的图象和性质的学习经历，以及对数知识的知识准备，对数函数概念的引入、对数函数图象和性质的研究便水到渠成．
对数函数的概念是通过一个关于细胞分裂次数的确定的实际问题引入的，既说明对数函数的概念来自实践，又便于学生接受．在教学中，学生往往容易忽略对数函数的定义域，因此，在进行定义教学时，要结合指数式强调说明对数函数的定义域，加强对对数函数定义域为(0，＋∞)的理解．在理解对数函数概念的基础上掌握对数函数的图象和性质，是本节的教学重点，而理解底数a的值对于函数值变化的影响(即对对数函数单调性的影响)是教学的一个难点，教学时要充分利用图象，数形结合，帮助学生理解．
为了便于学生理解对数函数的性质，教学时可以先让学生在同一坐标系内画出函数y＝log2x和的图象，通过两个具体的例子，引导学生共同分析它们的性质．有条件的学校也可以利用《几何画板》软件，定义变量a，作出函数y＝logax的图象，通过改变a的值，在动态变化的过程中让学生认识对数函数的图象和性质．
研究了对数函数的图象和性质之后，可以将对数函数的图象和性质与指数函数的图象和性质进行比较，以便加深学生对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也可以为反函数的概念的引出做一些准备．
三维目标
1．理解对数函数的概念，掌握对数函数的性质，了解对数函数在生产实践中的简单应用，培养学生的数学交流能力和与人合作的精神，用联系的观点分析问题，通过对对数函数的学习，渗透数形结合、分类讨论等数学思想．
2．能根据对数函数的图象，画出含有对数式的函数的图象，并研究它们的有关性质，使学生用联系的观点分析、解决问题．认识事物之间的相互转化，通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法，培养学生的数学应用的意识．
3．掌握对数函数的单调性及其判定，会进行同底数的对数和不同底数的对数的大小比较，加深对对数函数和指数函数的性质的理解，深化学生对函数图象变化规律的理解，通过对数函数有关性质的研究，培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力，增强学习的积极性，同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质．
重点难点
重点：
对数函数的定义、图象和性质；对数函数性质的初步应用，利用对数函数单调性比较同底对数大小，对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．
难点：底数a对对数函数性质的影响，不同底数的对数比较大小，单调性和奇偶性的判断和证明．
课时安排
3课时
第1课时
导入新课
思路1．如课本2.2.1的例6，考古学家一般通过提取附着在出土文物、古遗址上死亡物体的残留物，利用估算出土文物或古遗址的年代．根据问题的实际意义可知，对于每一个碳14含量P，通过对应关系都有唯一确定的年代t与它对应，所以t是P的函数．同理，对于每一个对数式y＝logax中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以y是关于x的函数．这就是本节课的主要内容，教师点出课题：对数函数及其性质(1)．
思路2．我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y＝2x表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么，分裂次数x就是细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x＝log2y.如果用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y＝log2x.这一节，我们来研究与指数函数密切相关的函数——对数函数．教师点出课题：对数函数及其性质(1)．
推进新课
提出问题
(1)用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢x表示的漂洗次数y的关系式，请根据关系式计算若要使存留的污垢，不超过原有的，则至少要漂洗几次？
(2)你是否能根据上面的函数关系式，给出一个一般性的概念？
(3)为什么对数函数的概念中明确规定a＞0，a≠1?
(4)你能求出对数函数的定义域、值域吗？
(5)如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数？请你说出它的步骤．
活动：
先让学生仔细审题，交流讨论，然后回答，教师提示引导，及时鼓励表扬给出正确结论的学生，引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力，教师巡视，个别辅导，评价学生的结论．
讨论结果：(1)若每次能洗去污垢的，则每次剩余污垢的，漂洗1次存留污垢x＝，漂洗2次存留污垢x＝2，…，漂洗y次后存留污垢x＝y，因此y用x表示的关系式是对上式两边取对数得，当x＝时，y＝3，因此至少要漂洗3次．
(2)对于式子，如果用字母a替代，这就是一般性的结论，即对数函数的定义：
函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)．
(3)根据对数式与指数式的关系，知y＝logax可化为ay＝x，由指数的概念，要使ay＝x有意义，必须规定a＞0且a≠1.
(4)因为y＝logax可化为x＝ay，不管y取什么值，由指数函数的性质ay＞0，所以x∈(0，＋∞)，对数函数的值域为(－∞，＋∞)．
(5)只有形如y＝logax(a＞0且a≠1，x＞0)的函数才叫做对数函数，
即对数符号前面的系数为1，底数是不为1的正常数，真数是x的形式，否则就不是对数函数．像y＝loga(x＋1)，y＝2logax，y＝logax＋1等函数，它们是由对数函数变化而得到的，都不是对数函数．
提出问题
(1)前面我们学习指数函数的时候，根据什么思路研究指数函数的性质，对数函数呢？
(2)前面我们学习指数函数的时候，如何作指数函数的图象？说明它的步骤．
(3)利用上面的步骤，作下列函数的图象：y＝log2x，.
(4)观察上面两个函数的图象各有什么特点，再画几个类似的函数图象，看是否也有类似的特点？
(5)根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？
(6)把y＝log2x和的图象，放在同一坐标系中，你能发现这两个图象的关系吗？
(7)你能证明上述结论吗？
(8)能否利用y＝log2x的图象画出的图象？请说明画法的理由．
活动：
教师引导学生回顾需要研究的函数有哪些性质，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，投影展示画的好的部分学生的图象，同时投影展示课本表2-3，及图2.2-1,2.2-2及2.2-3，及时评价学生，补充学生回答中的不足．学生独立思考，提出研究对数函数性质的思路，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识，推荐代表发表本组的集体认识．
讨论结果：(1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质．
(2)一般是列表、描点、连线，借助多媒体手段画出图象，用计算机作函数的图象．
(3)列表(学生自己完成)：
x
0.25
0.5
1
2
4
8
16
32
…
y＝log2x
－2
－1
0
1
2
3
4
5
…
2
1
0
－1
－2
－3
－4
－5
…
作图1、图2：
图1
图2
(4)通过观察图1，可知y＝log2x的图象分布在y轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是上升的，说明是增函数，图象经过点(1,0)，当x＞1时y＞0，当0＜x＜1时y＜0，图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．
通过观察图2，可知的图象分布在y轴右边，说明定义域是正实数．图象上下延伸，无止境，说明值域是全体实数．图象自左至右是下降的，说明是减函数，图象经过点(1,0)，当x＞1时y＜0，当0＜x＜1时y＞0，图象不关于x轴对称，也不关于y轴对称．定义域不关于原点对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数．
可以再画下列函数的图象：y＝log6x，，以作比较，重新观察函数图象的特点，推广到一般的情形．
(5)通过以上观察我们得到对数函数图象的特点进而得出函数的性质．
图象的特征
函数的性质
(1)图象都在y轴的右边
(1)定义域是(0，＋∞)
(2)函数图象都经过(1,0)点
(2)1的对数是0
(3)从左往右看，当a＞1时，图象逐渐上升，当0＜a＜1时，图象逐渐下降
(3)当a＞1时，y＝logax是增函数，当0＜a＜1时，y＝logax是减函数
(4)当a＞1时，函数图象在(1,0)点右边的纵坐标都大于0，在(1,0)点左边的纵坐标都小于0；当0＜a＜1时，图象正好相反，在(1,0)点右边的纵坐标都小于0，在(1,0)点左边的纵坐标都大于0
(4)当a＞1时，
x＞1，则logax＞0，
0＜x＜1，则logax＜0；
当0＜a＜1时，
x＞1，则logax＜0，
0＜x＜1，则logax＞0
由上述表格可知，对数函数的性质如下：
a＞1
0＜a＜1
图
象
性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0
x∈(0,1)时，y＜0；
x∈(0,1)时，y＞0；
x∈(1，＋∞)时，y＞0
x∈(1，＋∞)时，y＜0
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数
(6)在同一坐标系中作出y＝log2x和 x两个函数的图象如图3.
经过仔细研究观察发现，它们的图象关于x轴对称．
图3
(7)证明：设点P(x1，y1)是y＝log2x上的任意一点，它关于x轴的对称点是P1(x1，－y1)，它满足方程y＝＝－log2x，即点P1(x1，－y1)在的图象上，反之亦然，所以y＝log2x和两个函数的图象关于x轴对称．
(8)因为y＝log2x和两个函数的图象关于x轴对称，所以，可以根据y＝log2x的图象，利用轴对称的性质画出的图象，同学们一定要掌握这种作图的方法，对以后的学习非常有好处．下面我们看它们的应用．
例1 求下列函数的定义域：
(1)y＝logax2；(2)y＝loga(4－x)．
活动：学生回忆，教师提示，师生共同完成解题过程．此题主要利用对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)求解．①若函数解析式中含有分母，分母不能为0；②若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负；③0的0次幂没有意义；④若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0，底数大于0而不等于1.
解：(1)由x2＞0得x≠0，所以函数y＝logax2的定义域是{x|x≠0}；
(2)由4－x＞0得x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}．
点评：该题主要考查对数函数y＝logax的定义域为(0，＋∞)这一限制条件，根据函数的
解析式，列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可.
变式训练
1．课本本节练习2.
2．求下列函数的定义域：
(1)y＝log3(1－x)； (2)y＝；
(3)y＝log7； (4)y＝.
解：(1)由1－x＞0得x＜1，所以所求函数定义域为{x|x＜1}．
(2)由log2x≠0，得x≠1，又x＞0，所以所求函数定义域为{x|x＞0且x≠1}．
(3)由得x＜，所以所求函数定义域为{x|x＜}．
(4)由得所以x≥1.
所以所求函数定义域为{x|x≥1}.
例2 溶液酸碱度的测量．
溶液酸碱度是通过pH刻画的．pH的计算公式为pH＝－lg [H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH.
活动：学生审题，教师巡视，学生展示思维过程．此题主要利用对数及对数函数的性质求解．首先利用对数的运算性质把pH＝－lg [H＋]化为pH＝lg，再利用对数函数的性质来说明．
解：(1)根据对数的运算性质，有pH＝－lg [H＋]＝lg [H＋]－1＝lg.在(0，＋∞)上，随着[H＋]的增大，减小，相应地，lg也减小，即pH减小．所以，随着[H＋]的增大，pH减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸度就越大．
(2)当[H＋]＝10－7时，pH＝－lg 10－7＝7，所以纯净水的pH是7.
点评：注意数学在实际问题中的应用．
课本本节练习1.
在同一坐标系中，画出函数y＝log3x，，y＝log2x，的图象，比一比，看它们之间有何区别与联系．
活动：教师引导学生回顾作函数图象的方法与步骤，共同讨论研究对数函数的性质的方法，强调数形结合，强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用，渗透概括能力的培养，进行课堂巡视，个别辅导，及时评价学生，学生独立思考，独立画图，观察图象及表格，表述自己的发现，同学们相互交流，形成对对数函数性质的认识．计算机画出如下图象(如图4)．
图4
可以看到：所有图象都跨越一、四象限，任何两个图象都是交叉出现的，交叉点是(1,0)；
当a＞1时，图象向下与y轴的负半轴无限靠拢，在点(1,0)的右侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小；在点(1,0)的左侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大．
当0＜a＜1时，图象向上与y轴的正半轴无限靠拢，在点(1,0)的左侧，函数值恒大于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越大；在点(1,0)的右侧，函数值恒小于0，对同一自变量x而言，底数越大，函数值越小．
以此为依据，可定性地分析在同一坐标系中，底数不同的若干个对数函数的底数的大小关系．
怎样定量分析同一坐标系中，底数不同的对数函数的底数的大小呢？我们知道，对于对数函数y＝logax，当y＝1时，x＝a，而a恰好又是对数函数的底数，这就启发我们，不妨作直线y＝1，它同各个图象相交，交点的横坐标恰好就是对数函数的底数，以此可比较底数的大小．
同时，根据不同图象间的关系，也可比较真数相同，底数不同的对数函数值的大小，如log23
＜log1.53，log20.5＜log30.5，log0.52＞log0.62等．
除了上述两种情况外，对于底数和真数都不同的函数值也可通过媒介值“0”或“1”去比较大小．
如log1.50.5与log0.50.3，因为log1.50.5＜0，log0.50.3＞0，
所以log1.50.5＜log0.50.3；
又如log21.5与log0.50.4，因为log21＜log21.5＜log22，
所以0＜log21.5＜1.又因为log0.50.4＞log0.50.5＝1，所以log0.50.4＞log21.5.
1．对数函数的概念．
2．对数函数的图象与性质．
3．函数定义域的求法及函数奇偶性的判定方法．
4．数形结合与转化的数学思想．
课本习题2.2A组 7,8,9,10.
本节课是在前面研究了对数及常用对数、指数函数的基础上，研究的第二类具体初等函数，它有着丰富的内涵，和我们的实际生活联系密切，也是以后学习的基础，鉴于这种情况，安排教学时，要充分利用函数图象，数形结合，无论是导入还是概念得出的过程，都比较详细，因此课堂容量大，要提高学生互动的积极性，特别是归纳出对数函数的图象和性质后，要与指数函数的图象和性质进行比较，加深对数函数的概念、图象和性质的理解，要提高课堂的效率和节奏，多运用信息化的教学手段，顺利完成本堂课的任务．
第2课时
作者：路致芳
导入新课
思路1．复习以下内容：(1)对数函数的定义；(2)对数函数的图象与性质．
这些定义与性质有什么作用呢？这就是我们本堂课的主讲内容，教师点出课题：对数函数及其性质(2)(在黑板上板书)．
思路2．上一节，大家学习了对数函数y＝logax的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即当a＞1时，在(0，＋∞)上是增函数；当0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是减函数．这一节，我们主要通过对数函数的单调性解决有关问题．教师板书课题：对数函数及其性质(2)．
推进新课
提出问题
(1)根据你掌握的知识，目前比较数的大小有什么方法？
(2)判断函数的单调性有哪些方法和步骤？
(3)判断函数的奇偶性有哪些方法和步骤？
活动：学生回忆，教师引导，教师提问，学生回答，学生之间可以相互交流讨论，学生有困难教师点拨．
问题(1)学生回顾数的大小的比较方法，有些数一眼就能看出大小，有些数比较抽象，又用到某些函数的图象和性质，要分别对待，具体问题具体分析．
问题(2)学生回顾判断函数的单调性的方法和步骤，严格按步骤与规定．
问题(3)学生回顾判断函数的奇偶性的方法和步骤，严格按步骤与规定．
讨论结果：(1)比较数的大小：
①作差，看两个数差的符号，若为正，则前面的数大．
②作商，但必须是同号数，看商与1的大小，再决定两个数的大小．
③计算出每个数的值，再比较大小．
④是两个以上的数，有时采用中间量比较．
⑤利用图象法．
⑥利用函数的单调性．
(2)常用的方法有定义法、图象法、复合函数的单调性的判断．
利用定义证明单调性的步骤：
①在给定的区间上任取两个自变量的值x1，x2，且x1＜x2.
②作差或作商(同号数)，注意变形．
③判断差的符号，商与1的大小．
④确定增减性．
对于复合函数y＝f[g(x)]的单调性的判断步骤可以总结为：
当函数f(x)和g(x)的单调性相同时，复合函数y＝f[g(x)]是增函数；
当函数f(x)和g(x)的单调性相异即不同时，复合函数y＝f[g(x)]是减函数．
又简称为口诀“同增异减”．
(3)有两种方法：定义法和图象法．
利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定f(－x)与f(x)的关系；
③作出相应结论：
若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；
若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．
图象法：
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．这也可以作为判断函数奇偶性的依据．下面看它们的应用．
例 比较下列各组数中两个值的大小：
(1)log23.4；log28.5；(2)log0.31.8，log0.32.7；
(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)；(4)log75，log67.
活动：学生思考、交流，教师要求学生展示自己的思维过程，并及时评价．对(1)与(2)由数形结合的方法或直接利用对数函数的单调性来完成；作出图象，利用图象法比较；计算出结果；作差利用对数函数的性质．对(3)因为底数的大小不确定，因此要分类讨论，再利用对数函数的单调性；作差利用对数函数的性质；转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．对(4)所给的对数式的底数和真数都不相同，可以找一个中间量作为桥梁，通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小，一般选择“0”或“1”作为中间量进行比较．
解：(1)解法一：用图形计算器或多媒体画出对数函数y＝log2x的图象，如图5.
图5
在图象上，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，
所以log23.4＜log28.5.
解法二：由函数y＝log2x在(0，＋∞)上是单调增函数，且3.4＜8.5，
所以log23.4＜log28.5.
解法三：直接用计算器计算，得log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4＜log28.5.
解法四：作差log23.4－log28.5＝log2，因为2＞1，＜1，根据对数函数的性质，
所以log2＜0，即log23.4＜log28.5.
(2)log0.31.8＞log0.32.7.
(3)解法一：当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9.
当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，且5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9.
解法二：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小．
令b1＝loga5.1，则，令b2＝loga5.9，则.
当a＞1时，y＝ax在R上是增函数，且5.1＜5.9，所以b1＜b2，即loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，y＝ax在R上是减函数，且5.1＜5.9，所以b1＞b2，即loga5.1＞loga5.9.
解法三：作差loga5.1－loga5.9＝loga，＜1，由对数函数的性质，
当a＞1时，loga＜0，因此loga5.1＜loga5.9；
当0＜a＜1时，loga＞0，因此loga5.1＞loga5.9.
(4)解法一：因为函数y＝log7x和函数y＝log6x都是定义域上的增函数，
所以log75＜log77＝1＝log66＜log67.
所以log75＜log67.
解法二：直接利用对数的性质，log75＜1，而log67＞1，因此log75＜log67.
点评：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时，需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．同时本题采用了多种解法，从中还体现了数形结合的思想方法，要注意体会和运用.
变式训练
比较log20.7与两值的大小．
解：考查函数y＝log2x.
因为2＞1，所以函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数．
又0.7＜1，所以log20.7＜log21＝0.再考查函数y＝logx，
因为0＜＜1，所以函数在(0，＋∞)上是减函数．
又1＞0.8，所以.
所以log20.7＜.
课本本节练习3.
【补充练习】
函数y＝的定义域是( )
A．(3，＋∞) B．[3，＋∞)
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
答案：要使函数有意义，需log2x－2≥0，log2x≥2，x≥4，因此函数的定义域是[4，＋
∞)，选D.
探究y＝logax的图象随a的变化而变化的情况．
用计算机先画出y＝log2x，y＝log3x，y＝log5x，，的图象，如图6.
图6
通过观察图象可总结如下规律：当a＞1时，a值越大，y＝logax的图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，a值越大，y＝logax的图象越远离x轴．
本节课复习了对数函数及其性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的内容进行了学习，要高度重视，特别是要和高考接轨，注意题目的形式和难度．
课本习题2.2B组 2,3.
【补充作业】
1．求函数y＝＋lg (5－2x)的定义域．
解：要使函数有意义，只需
即解得1≤x＜.所以函数的定义域是.
2．已知y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，求a的取值范围．
解：因为a＞0且a≠1，
(1)当a＞1时，函数t＝2－ax是减函数；
由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是增函数，所以a＞1；
由x∈[0,1]时，2－ax≥2－a＞0，得a＜2，所以1＜a＜2.
(2)当0＜a＜1时，函数t＝2－ax是增函数；
由y＝loga(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，知y＝logat是减函数，
所以0＜a＜1.由x∈[0,1]时，2－ax≥2－1＞0，所以0＜a＜1.
综上所述，0＜a＜1或1＜a＜2.
本堂课主要是复习对数函数及其性质，是在以前基础上的提高与深化，它起着承上启下的作用，侧重于对数函数的单调性和奇偶性，同时又兼顾了高考常考的内容．对于对数函数的单调性需严格按定义来加以论证，对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证，这类问题不但技巧性较强，而且涉及面广、容量大，因此要集中精力，提高学生兴趣，加快速度，高质量完成教学任务．
第3课时
作者：高建勇
导入新课
思路1．复习指数函数与对数函数的关系，那么函数y＝ax与函数y＝logax到底还有什么关系呢？这就是本堂课的新内容——反函数，教师板书课题：对数函数及其性质(3)．
思路2．在比较系统地学习对数函数的定义、图象和性质的基础上，利用对数函数的图象和性质研究一些含有对数式的、形式上比较复杂的函数的图象和性质，特别明确了对数函数的单调性，并且我们通过对数函数的单调性解决了有关问题．因此，应搞清y＝ax与函数y＝logax的关系，培养学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力．教师点出课题：对数函数及其性质(3)．
推进新课
提出问题
(1)用列表描点法在同一个直角坐标系中画出x＝log2y、y＝2x与y＝log2x的函数图象．
(2)通过图象探索在指数函数y＝2x中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？
(3)如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由．
(4)探索y＝2x与x＝log2y的图象间的关系．
(5)探索y＝2x与y＝log2x的图象间的关系．
(6)结合(2)与(5)推测函数y＝ax与函数y＝logax的关系．
讨论结果：(1)y＝2x与x＝log2y.
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
1
2
4
8
…
y＝log2x.
y
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
x
…
1
2
4
8
…
图象如图7.
图7
(2)在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数(x∈R，y∈R＋)，而且其在R上是单调递增函数．过y轴的正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y＝2x的图象有且只有一个交点，即对任意的y都有唯一的x相对应，可以把y作为自变量，x作为y的函数．
(3)由指数式与对数式的关系，y＝2x得x＝log2y，即对于每一个y，在关系式x＝log2y的作用之下，都有唯一确定的值x和它对应，所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，即x＝log2y.这时我们把函数x＝log2y〔y∈(0，＋∞)〕叫做函数y＝2x(x∈R)的反函数，但习惯上，通常以x表示自变量，y表示函数，对调x＝log2y中的x，y写成y＝log2x，这样y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数．由上述讨论可知，对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕是指数函数y＝2x(x∈R)的反函数；同时，指数函数y＝2x(x∈R)也是对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕的反函数．因此，指数函数y＝2x(x∈R)与对数函数y＝log2x〔x∈(0，＋∞)〕互为反函数．
以后，我们所说的反函数是x，y对调后的函数．如y＝log3x，x∈(0，＋∞)与y＝3x(x∈R)互为反函数，y＝log0.5x与y＝0.5x(x∈R)互为反函数．
(4)从我们的列表中知道，y＝2x与x＝log2y的函数图象相同．
(5)通过观察图象可知，y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称．
(6)通过(2)与(5)类比归纳知道，y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是y＝logax(a＞0且a≠1)，且它们的图象关于直线y＝x对称．
由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
提出问题
(1)用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y＝log3x；②y＝log3(x＋1)；③y＝log3(x－1).
(2)从图象上观察它们之间有什么样的关系？
(3)用计算机在同一坐标系中作出下列函数的图象：①y＝log3x；②y＝log3x＋1；③y＝log3x－1.
(4)从图象上观察它们之间有什么样的关系？
(5)你能推广到一般的情形吗？
活动：学生动手画出函数图象，教师点拨，学生没有思路教师可以提示．
学生回忆函数作图的方法与步骤，按规定作出图象，特别是关键点．
讨论结果：(1)如图8.
图8
(2)观察图8可以看出，y＝log3x，y＝log3(x＋1)，y＝log3(x－1)的图象间有如下关系：
y＝log3(x＋1)的图象由y＝log3x的图象向左移动1个单位得到；
y＝log3(x－1)的图象由y＝log3x的图象向右移动1个单位得到；
y＝log3(x－1)的图象由y＝log3(x＋1)的图象向右移动2个单位得到；
y＝log3(x＋1)的图象由y＝log3(x－1)的图象向左移动2个单位得到．
(3)如图9.
图9
(4)观察图9可以看出，y＝log3x，y＝log3x＋1，y＝log3x－1的图象间有如下关系：
y＝log3x＋1的图象由y＝log3x的图象向上平移1个单位得到；
y＝log3x－1的图象由y＝log3x的图象向下平移1个单位得到；
y＝log3x－1的图象由y＝log3x＋1的图象向下平移2个单位得到；
y＝log3x＋1的图象由y＝log3x－1的图象向上平移2个单位得到．
(5)由上面的观察讨论可知，一般情况如下：
①由函数y＝logax的图象得到函数y＝loga(x＋h)的图象的变化规律为：
当h＞0时，只需将函数y＝logax的图象向左平移h个单位就可得到函数y＝loga(x＋h)的图象；
当h＜0时，只需将函数y＝logax的图象向右平移|h|个单位就可得到函数y＝loga(x＋h)的图象．
②由函数y＝logax的图象得到函数y＝logax＋b的图象的变化规律为：
当b＞0时，只需将函数y＝logax的图象向上平移b个单位就可得到函数y＝logax＋b的图象；
当b＜0时，只需将函数y＝logax的图象向下平移|b|个单位就可得到函数y＝logax＋b的图象．
③由函数y＝logax的图象得到函数y＝loga(x＋h)＋b的图象的变化规律为：
画出函数y＝logax的图象，先将函数y＝logax的图象向左(当h＞0时)或向右(当h＜0时)平移|h|个单位，可得到函数y＝loga(x＋h)的图象，再将函数y＝loga(x＋h)的图象向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平移|b|个单位就可得到函数y＝loga(x＋h)＋b的图象．
这样我们就可以很方便地将函数y＝logax的图象进行平移得到与函数y＝logax有关的函数图象．那么，你能很方便地由函数y＝logax的图象得到函数y＝loga|x|的图象吗？留作思考练习，同学们课下完成．
例1 已知a＞0，a≠1，f(logax)＝(x＞0)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)求证：函数f(x)在R上是增函数．
活动：学生审题，教师指导，学生有困难，教师提示，并及时评价．(1)把logax看成一个整体，利用换元法处理．利用指数与对数的关系，求出logax中的x，然后代入求解．(2)证明函数的增减性要用函数单调性的定义．学生回顾单调性的证明方法与步骤，要按规定的格式书写．
(1)解：设t＝logax，则x＝at，f(t)＝.
所以f(x)＝.
(2)证明：设x1，x2∈R，x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝，
当a＞1时，ax1－ax2＜0，a2－1＞0，
当0＜a＜1时，ax1－ax2＞0，a2－1＜0，
而ax1ax2及a·ax1·ax2＋1均为正，
所以对一切a＞0，a≠1，总有f(x1)＜f(x2)．
所以f(x)在R上是增函数．
点评：换元法是解题常用的数学方法，要注意体会．
例2 已知F(x)＝f(x)－g(x)，其中f(x)＝loga(x－1)，并当且仅当(x0，y0)在f(x)的图象上时，点(2x0,2y0)在y＝g(x)的图象上．求y＝g(x)的解析式．
活动：学生仔细审题，积极思考，探讨解题方法，教师及时提示引导．由已知函数的解析式利用代入法求函数的解析式．由于P0(x0，y0)与P1(2x0,2y0)是相关的，如果我们能把y＝g(x)上的点P1(2x0,2y0)的坐标通过变换，表示为P0(x0，y0)的坐标的相关形式，代入即可，也称相关点法．
解：由点(x0，y0)在y＝loga(x－1)的图象上，
得y0＝loga(x0－1)．
令2x0＝u,2y0＝v，则x0＝，y0＝，
所以＝loga，即v＝2loga.
由(2x0,2y0)在y＝g(x)的图象上，即(u，v)在y＝g(x)的图象上，
故y＝g(x)＝2loga.
已知集合M＝{x|x＜3}，N＝{x|log2x＞1}，则M∩N等于( )
A．∅ B．{x|0＜x＜3}
C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}
答案：D
对于区间[m，n]上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的x∈[m，n]，均有|f(x)－g(x)|≤1，则称f(x)与g(x)在[m，n]上是接近的，否则称f(x)与g(x)在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f1(x)＝loga(x－3a)与f2(x)＝loga(a＞0，a≠1)，给定区间[a＋2，a＋3]．
(1)若f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上都有意义，求a的取值范围；
(2)讨论f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是否是接近的．
活动：学生读题，理解题目的含义，教师引导学生，及时提示，严格把握新信息f(x)与g(x)
在[m，n]上是接近的定义解题．
解：(1)依题意a＞0，a≠1，a＋2－3a＞0，a＋2－a＞0，
所以0＜a＜1.
(2)|f1(x)－f2(x)|＝|loga(x2－4ax＋3a2)|.
令|f1(x)－f2(x)|≤1，得－1≤loga(x2－4ax＋3a2)≤1.①
因为0＜a＜1，又[a＋2，a＋3]在x＝2a的右侧，
所以g(x)＝loga(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上为减函数．
从而g(x)max＝g(a＋2)＝loga(4－4a)，g(x)min＝g(a＋3)＝loga(9－6a)，
于是①成立，当且仅当解此不等式组得0＜a≤.
故当0＜a≤时，f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是接近的；
当a＞且a≠1时，f1(x)与f2(x)在给定区间[a＋2，a＋3]上是非接近的．
1．互为反函数的概念及其图象间的关系．
2．对数函数图象的平移变换规律．
3．本节课又复习了对数函数的图象与性质，借助对数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，对常考的函数图象的变换进行了学习，要高度重视，在不断学习中总结规律．
4．指数、对数函数图象性质对比．
课本习题2.2B组 1,4,5.
学生已经比较系统地掌握了对数函数的定义、图象和性质，因此本堂课首先组织学生回顾函数的通性，以及有关指数型函数的图象的变化规律以及与指数式有关的复合函数的奇偶性、单调性的讨论方法与步骤，为学生用类比法学习作好方法上的准备．由于本节课是本单元的最后一节，内容比较综合，量也较大，所以应响应高考要求，抓住关键，强化细节，努力使学生掌握与高考相适应的知识与能力，做到与高考接轨．
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