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第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
1.会用描点法画出y=a(x-h)2的图象.
2.掌握形如y=a(x-h)2的二次函数图象的性质,并会应用.
3.理解二次函数y=a(x-h)2与y=ax2之间的联系.
一、情境导入
涵洞是指在公路工程建设中,为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通,修筑于路面以下的排水孔道(过水通道),通过这种结构可以让水从公路的下面流过.从如图所示的直角坐标系中,你能得到函数图象解析式吗?
二、合作探究
探究点:二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
【类型一】y=a(x-h)2的图象与性质的识别
已知抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的顶点坐标是(-2,0),且图象经过点(-4,2),求a,h的值.
解:∵抛物线y=a(x-h)2(a≠0)的顶点坐标为(-2,0),∴h=-2.又∵抛物线y=a(x+2)2经过点(-4,2),∴(-4+2)2·a=2,∴a=.
方法总结:抛物线y=a(x-h)2的顶点坐标为(h,0),对称轴是直线x=h.
【类型二】二次函数y=a(x-h)2增减性的判断
对于二次函数y=9(x-1)2,下列结论正确的是( )
A.y随x的增大而增大
B.当x>0时,y随x的增大而增大
C.当x>-1时,y随x的增大而增大
D.当x>1时,y随x的增大而增大
解析:由于a=9>0,抛物线开口向上,而h=1,所以当x>1时,y随x的增大而增大.故选D.
【类型三】确定y=a(x-h)2与y=ax2的关系
能否向左或向右平移函数y=-x2的图象,使得到的新的图象过点(-9,-8)?若能,请求出平移的方向和距离;若不能,请说明理由.
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解:能,设平移后的函数为y=-(x-h)2,将x=-9,y=-8代入得-8=-(-9-h)2,所以h=-5或h=-13,所以平移后的函数为y=-(x+5)2或y=-(x+13)2.即抛物线的顶点为(-5,0)或(-13,0),所以向左平移5或13个单位.
方法总结:根据抛物线平移的规律,向右平移h个单位后,a不变,括号内变“减去h”;若向左平移h个单位,括号内应“加上h”,即“左加右减”.
【类型四】y=a(x-h)2的图象与几何图形的综合
把函数y=x2的图象向右平移4个单位后,其顶点为C,并与直线y=x分别相交于A、B两点(点A在点B的左边),求△ABC的面积.
解析:利用二次函数平移规律先确定平移后抛物线解析式,确定C点坐标,再解由得到的二次函数解析式与y=x组成的方程组,确定A、B两点的坐标,最后求△ABC的面积.
解:平移后的函数为y=(x-4)2,顶点C的坐标为(4,0),解方程组得或∵点A在点B的左边,∴A(2,2),B(8,8).∴S△ABC=S△OBC-S△OAC=OC×8-OC×2=12.
方法总结:两个函数交点的横纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的.
三、板书设计
教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=a(x-h)2的图象与性质,体会数学建模的数形结合思想方法.
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