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24．1.3 弧、弦、圆心角
1．在实际操作中发现圆的旋转不变性．
2．结合图形了解圆心角的概念，学会辨别圆心角．
3．能发现圆心角、弦、弧之间的关系，并会初步运用这些关系解决有关的问题．
一、情境导入
人类为了获得健康和长寿，经过不断的实践探索，到十九世纪末才提出“生命在于运动”的口号．要健康长寿，更重要的是每天要摄取均衡的营养包括蛋白质、糖类、脂肪、维生素、矿物质、纤维和水．根据中国营养学会公布的“中国居民平衡膳食指南”，每人每日摄取量如图．你能求出各扇形的圆心角吗？
二、合作探究
探究点一：圆心角
【类型一】圆心角的识别
如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( )
A．∠ABC
B．∠AOB
C．∠OAB
D．∠OCB
解析：根据圆心角的概念，∠ABC、∠OAB、∠OCB的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的∠AOB的顶点在圆心，是圆心角．故选B.
方法总结：确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是．
探究点二：圆心角的性质
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【类型一】利用圆心角的性质求角
如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE的大小是( )
A．40°
B．60°
C．80°
D．120°
解析：∵C、D是的三等分点，∴＝＝，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE.∵∠AOE＝60°，∴∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝×(180°－60°)＝40°，∴∠COE＝80°.故选C.
方法总结：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
探究点三：圆心角、弦、弧之间的关系
【类型一】结合三角形内角和求角
如图所示，在⊙O中，＝，∠B＝70°，则∠A＝________．
解析：由＝，得这两条弧所对的弦AB＝AC，所以∠B＝∠C.因为∠B＝70°，所以∠C＝70°.由三角形的内角和定理可得∠A的度数为40°.故答案为40°.
方法总结：在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得到两弦相等就可以了．
【类型二】弧相等的简单证明
如图所示，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是OA，OB的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N.求证：＝.
解析：根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，
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可先证明它们所对的圆心角相等或它们所对的弦相等．
证法1：如图所示，连接OC，OD，则OC＝OD.∵OA＝OB.又M，N分别是OA，OB的中点，∴OM＝ON.又∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°.∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴∠1＝∠2.∴＝.
证法2：如图①所示，分别延长CM，DN交⊙O于点E，F.∵OM＝OA，ON＝OB，OA＝OB，∴OM＝ON.又∵OM⊥CE，ON⊥DF，∴CE＝DF，∴＝.又∵＝，＝.∴＝.
图①
图②
证法3：如图②所示，连接AC，BD.由证法1，知
CM＝DN.又∵AM＝BN，∠AMC＝∠BND＝90°，∴△AMC≌△BND.∴AC＝BD，∴＝.
方法归纳：在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三组量中的某一组量相等．
三、板书设计
教学过程中，强调弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系，只要确定一组等量关系，其他三组也随之确定了.
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