24.4.1 弧长和扇形面积（4）.doc

天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎24.4 弧长和扇形面积(第1课时)‎ ‎ ‎ 教学内容 ‎ 1．n°的圆心角所对的弧长L=‎ ‎ 2．扇形的概念；‎ ‎ 3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=；‎ ‎ 4．应用以上内容解决一些具体题目．‎ ‎ 教学目标 ‎ 了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．‎ ‎ 通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长L=和扇形面积S扇=的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．‎ ‎ 重难点、关键 ‎ 1．重点：n°的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=及其它们的应用．‎ ‎ 2．难点：两个公式的应用．‎ ‎ 3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程．‎ ‎ 教具、学具准备 ‎ 小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．‎ ‎ 教学过程 ‎ 一、复习引入 ‎ （老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．‎ ‎ 1．圆的周长公式是什么？‎ ‎ 2．圆的面积公式是什么？‎ ‎ 3．什么叫弧长？‎ ‎ 老师点评：（1）圆的周长C=2R ‎ （2）圆的面积S图=R2‎ ‎ （3）弧长就是圆的一部分．‎ ‎ 二、探索新知 ‎ （小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：‎ ‎ 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．‎ ‎ 2．1°的圆心角所对的弧长是_______．‎ ‎ 3．2°的圆心角所对的弧长是_______．‎ ‎ 4．4°的圆心角所对的弧长是_______．‎ ‎ ……‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ 5．n°的圆心角所对的弧长是_______．‎ ‎ （老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：‎ ‎ n°的圆心角所对的弧长为 例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即的长（结果精确到0.1mm）‎ ‎ 分析：要求的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．‎ ‎ 解：R=40mm，n=110‎ ‎ ∴的长==≈76.8（mm）‎ ‎ 因此，管道的展直长度约为76.8mm．‎ 问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:‎ ‎ （1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？‎ ‎ （2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？‎ ‎ 学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．‎ ‎（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:‎ ‎ 像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．‎ ‎ （小黑板），请同学们结合圆心面积S=R2的公式，独立完成下题：‎ ‎ 1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．‎ ‎ 2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．‎ ‎ 3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ 4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．‎ ‎ ……‎ ‎ 5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=_______．‎ ‎ 老师检察学生练习情况并点评 ‎ 1．360 2．S扇形=R2 3．S扇形=R2 4．S扇形= 5．S扇形=‎ ‎ 因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形 S扇形=‎ 例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求的长（结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）‎ ‎ 分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．‎ ‎ 解：的长=×10=≈10.5‎ ‎ S扇形=×102=≈52.3‎ ‎ 因此，的长为25.1cm，扇形AOB的面积为150.7cm2．‎ ‎ 三、巩固练习 ‎ 课本P122练习．‎ ‎ 四、应用拓展 例3．（1）操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．‎ ‎（2）尝试与思考：如图a、b所示，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a的正三角形或边长为a的正五边形的中心点处，并将纸板绕O旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ ‎ ‎ (a) (b)‎ ‎ （3）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处，若将纸板绕O点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a，这时正n边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n边形面积S之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．‎ 解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD分别交于点M、N，连结OA、OD．‎ ‎ ∵四边形ABCD是正方形 ‎ ∴OA=OD，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO，‎ ‎ 又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ‎ ∴△AMO≌△DNO ‎ ∴AM=DN ‎ ∴AM+AN=DN+AN=AD=a ‎ 特别地，当点M与点A（点B）重合时，点N必与点D（点A）重合，此时AM+AN仍为定值a．‎ ‎ 故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．‎ ‎ （2）120°；70°‎ ‎ （3）；正n边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是．‎ ‎ 五、归纳小结（学生小结，老师点评）‎ ‎ 本节课应掌握：‎ ‎ 1．n°的圆心角所对的弧长L=‎ ‎ 2．扇形的概念．‎ ‎ 3．圆心角为n°的扇形面积是S扇形=‎ ‎ 4．运用以上内容，解决具体问题．‎ ‎ 六、布置作业 ‎ 1．教材P124 复习巩固1、2、3 P125 综合运用5、6、7．‎ ‎2．选用课时作业设计．‎ 第一课时作业设计 一、 选择题 ‎1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．‎ ‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎ ‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ ‎ 2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎ (1) (2) (3)‎ ‎ 3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）‎ A．12m B．18m C．20m D．24m ‎ 二、填空题 ‎ 1．如果一条弧长等于R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______， 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．‎ ‎2．如图3所示，OA=30B，则的长是的长的_____倍．‎ ‎ 三、综合提高题 ‎1．已知如图所示，所在圆的半径为R，的长为R，⊙O′和OA、OB分别相切于点C、E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．‎ ‎2．如图，若⊙O的周长为20cm，⊙A、⊙B的周长都是4cm，⊙A在⊙O内沿⊙O滚动，⊙B在⊙O外沿⊙O滚动，⊙B转动6周回到原来的位置，而⊙A只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？‎ ‎ 3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD，AB=1，AD=，将画刷以B为中心，按顺时针转动A′B′C′D′位置（A′点转在对角线BD上），求屏幕被着色的面积．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎ 答案:‎ 一、1．B 2．D 3．D 二、1．45° R 2．3‎ 三、1．连结OD、O′C，则O′在OD上 由=R，解得：∠AOB=60°，‎ 由Rt△OO′C解得⊙O′的半径r=R，所以⊙O′的周长为2r=R．‎ ‎2．⊙O、⊙A、⊙B的周长分别为20cm，4cm，4cm，‎ 可求出它的半径分别为10cm、2cm、2cm，‎ 所以OA=8cm，OB=12cm，‎ 因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离，‎ 所以⊙A滚动回原位置经过距离为2×8=16=4×4，‎ 而⊙B滚动回原位置经过距离为2×12=24=4×6．‎ 因此，与原题意相符．‎ ‎3．设屏幕被着色面积为S，‎ 则S=S△ABD+S扇形BDD`+S△BC`D`=S矩形ABCD+S扇形BDD`，‎ 连结BD′，‎ 在Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′=AD=，‎ ‎∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°，‎ ‎∴S=·22+1·=+．‎ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/‎