一 圆柱和圆锥
一、圆柱的认识和表面积
1.认识圆柱。
圆柱是由两个大小相等的圆和一个侧面组成的。
(1)圆柱的底面:圆柱的上、下两个面,叫作圆柱的
底面。圆柱的上、下两个面是大小相等的圆。
(2)圆柱的侧面:围成圆柱的曲面叫作圆柱的侧面。
圆柱的侧面是曲面。
(3)圆柱的高:圆柱两底面之间的距离,叫作圆柱
的高。圆柱有无数条高。
(4)把圆柱的侧面沿高剪开,展开后是长方形(或
正方形)。
2.圆柱的表面积。
(1)圆柱的侧面积。
图中圆柱的侧面展开图是长方形,长方形的长等
于圆柱的底面周长,宽等于圆柱的高。
长方形的面积= 长 × 宽
知识巧记:
认识圆柱并不难,
上下两个圆底面;
圆柱侧面是曲面,
两底之间高无数。
重点提示:
当圆柱的底面周长与高相等时,
将圆柱的侧面沿高剪开,展开后是正
方形。
易错题:
把一根半径是 4 分米、长 2 分米
的实心圆柱形钢材截成两个小圆柱,
表面积与原来相比(A)。
A.保持不变
B.增加了 50.24 平方分米
C.增加了 100.48 平方分米
错解分析:将一根实心圆柱形钢
材截成两个小圆柱后,在截口处增加
了两个底面,所以表面积比原来增加
了 3.14×42×2=100.48(平方分米)
正确答案:C。
重点提示: ↓ ↓ ↓
圆柱的侧面积=底面周长×高
如果用 C 表示圆柱的底面周长,用 d 表示圆柱的
底面直径,用 r 表示圆柱的底面半径,用 h 表示圆柱的
高,用 S 表示圆柱的侧面积,那么 S=Ch 或 S=πdh 或
S=2πrh。
(2)圆柱的表面积。
圆柱的表面积是指圆柱的侧面积与两个底面的
面积之和,即圆柱的表面积=圆柱的侧面积+两个底面
的面积。
如果用 S 侧表示圆柱的侧面积,用 S 表表示圆柱
的表面积,用 S 底表示圆柱的底面积,那么 S 表=S 侧
+2S 底。
(3)特殊圆柱表面积的计算方法。
在实际生活中会遇到特殊的圆柱形物体,如:
①圆柱形烟囱(通风管),两头都没有底面,所以烟
囱(通风管)的表面积就是烟囱(通风管)的侧面积,等于
底面周长×高;
②无盖的圆柱形水桶(鱼缸),只有一个底面,因此
它的表面积包括两部分,即侧面积和一个底面积,S 表
=S 侧+S 底。
二、圆柱的体积
把圆柱平均分成的份数越多,所
拼成的形状就越近似于长方体。
知识巧记:
圆柱体积并不难,
底面积和高很关键;1.圆柱体积的意义。
一个圆柱所占空间的大小,叫作这个圆柱的体积。
2.圆柱体积公式的推导。
由上图可知拼成的长方体和圆柱相比,形状变了,
体积没变,长方体的体积等于圆柱的体积。
长方体的长等于圆柱底面周长的一半,长方体的
宽等于圆柱的底面半径。圆柱的底面积=πr2,长方体
的底面积=
퐶
2×r=πr2,圆柱的底面积=长方体的底面积。
长方体的高等于圆柱的高。
长方体的体积=底面积×高
↓ ↓ ↓
圆柱的体积= 底面积×高
如果用 V 表示圆柱的体积,用 S 表示圆柱的底面
积,用 h 表示圆柱的高,那么圆柱的体积计算公式为
V=Sh。
3.圆柱形容器容积的计算方法。
圆柱形容器容积的计算方法与体积的计算方法
相同,圆柱形容器容积=底面积×高,用字母表示为
V=Sh。
三、圆锥的认识和体积
单位一致记心间,
计算准确体积现。
重点提示:
圆柱体积的计算公式:
V=Sh V=πr2h
V=π(
푑
2)2h V=π(C÷π÷2)2h
重点提示:计算容积时,从容器的
里面量需要的相关数据;计算容积时
一般用毫升和升作单位,也可以用体
积单位。
知识巧记:
圆锥体积并不难,1.圆锥的认识。
圆锥是由一个底面(圆形)和一个侧面(曲面)两部
分组成的。
(1)圆锥的顶点:圆锥只有一个顶点。
(2)圆锥的底面:圆锥中圆形的面就是它的底面,
它只有一个底面。
(3)圆锥的侧面:圆锥周围的面就是它的侧面,圆
锥的侧面是一个曲面,展开后是一个扇形。
(4)圆锥的高:从圆锥的顶点到底面圆心的距离叫
作圆锥的高,圆锥只有一条高。
2.测量圆锥高的方法:
(1)先把圆锥的底面放平;
(2)把一块平板水平放在圆锥的顶点上面;
(3) 竖直测量出平板和底面之间的距离, 这个距
离就是圆锥的高。
3.直角三角形以任意一条直角边所在的直线为
轴,快速旋转一周,它扫过的空间是圆锥形状。
4.圆锥的体积。
它与圆柱有关联,
等底等高不能忘,
三分之一记心间,
题中条件要看清,
单位一致再计算。
易错题:
判断:圆锥有无数条高。 (×)
错解分析: 圆锥的高是从圆锥的
顶点到底面圆心的距离,从圆锥的顶
点到底面圆心只有一条线段,所以圆
锥的高只有一条。
正确答案:✕
4.钢管体积的计算方法。
用钢管底面的外圆面积减去内圆
面积再乘钢管的长度,即用钢管底面
的环形面积×钢管的长=钢管的体积,
用字母表示为:V=
π(R2-r2)×h。
重点提示: 把一个圆柱削成一个
最大的圆锥,这个圆锥与圆柱等底等
高。
圆锥体积公式的灵活应用:先准备好等底等高的圆柱和圆锥形容器,把圆柱
形容器装满水,倒入圆锥形容器中,正好倒满 3 次。由
此发现:等底等高的圆柱和圆锥,圆柱的体积是圆锥的
3 倍,也可以说圆锥的体积是圆柱的
1
3。
圆锥的体积公式=底面积×高×
1
3,如果用 V 表示圆
锥的体积,用S表示圆锥的底面积,用h表示圆锥的高,
那么 V=
1
3Sh。
V=
1
3Sh
h=V÷
1
3÷S
S=V÷
1
3÷h
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