四 总 复 习
1.数 与 代 数
一、数的认识(一)
1.整数
(1)整数的意义:像-3、-2、-1、0、1、2、3 这样的数称
为整数。整数的个数是无限的,没有最小的整数,也没有最大
的整数。
(2)整数的分类:
整数{正整数
0 }自然数
负整数
(3)自然数:
自然数的意义:在数物体时,用来表示物体的个数的 0、1、
2、3、4……叫作自然数。
自然数的特点:自然数的个数是无限的。最小的自然数是
0,没有最大的自然数。自然数是整数的一部分。
自然数的单位:任何非 0 自然数都是由若干个 1 组成的,
所以“1”是自然数的单位。
“0”的意义:一个物体也没有用“0”表示。“0”还有多方面的
意义,如在表示温度时,它是零上温度和零下温度的分界线;在
刻度尺上,它是起点;在数轴上,它是正数和负数的分界点;计数
时,“0”起占位作用。
基数和序数:表示物体有多少个的数叫作基数,表示物体
位于第几个的数叫作序数。如 7 个小朋友赛跑,小刚跑了第 7
按不同的标准划分,数的
分类也会不同。
自然数是整数的一部分。
0 既不是正数,也不是负
数。名。第一个 7 是基数,第二个 7 是序数。
正数和负数的意义:像 17、18、2000、
3
7……这样的数叫
作正数;像-18、-1、-0.9、-
3
7……这样的数叫作负数。0 既不
是正数,也不是负数。
2.小数
(1)小数的意义:把单位“1”平均分成 10 份、100 份、1000
份……这样的一份或几份可以用分母是 10、100、1000……
的分数表示,也可以用小数表示。
(2)小数的分类:
小数{按小数的整数
部分是否为 0{纯小数
带小数
按小数部分的
位数是否有限{有限小数
无限小数{无限不循环小数
循环小数{纯循环小数
混循环小数
纯小数和带小数:整数部分是 0 的小数叫作纯小数,纯小数小
于 1;整数部分不是 0 的小数叫作带小数,带小数大于 1。
有限小数和无限小数:小数部分的位数是有限的小数,叫
作有限小数;小数部分的位数是无限的小数,叫作无限小数。
例:4.287 是有限小数,π 是无限小数。
循环小数:一个小数,从小数部分的某一位起,一个数字或
者几个数字依次不断地重复出现,这样的小数叫作循环小数。
循环小数都是无限小数。
循环节:在一个循环小数的小数部分中,依次不断重复出
现的数字,叫作这个循环小数的循环节。
一个分数,如果分母中只有质
因数 2 或 5(2 和 5),这个分数
就能化成有限小数;如果分母
中含有 2 和 5 以外的其他质
因数,就不能化成有限小数。纯循环小数和混循环小数:循环节是从小数部分第一位
开始的,叫作纯循环小数;循环节不是从小数部分第一位开始
的 , 叫 作 混 循 环 小 数 。 例 :3.333 … … 是 纯 循 环 小
数;3.23333……是混循环小数。
(3)小数的计数单位:小数的计数单位是十分之一、百分
之一、千分之一……分别写作 0.1、0.01、0.001……
(4)小数的性质:在小数的末尾添上 0 或者去掉 0,小数的
大小不变。
(5)小数点位置移动引起小数大小变化的规律:小数点向
右移动一位、两位、三位……该数就扩大到原来的 10 倍、100
倍、1000 倍……小数点向左移动一位、两位、三位……该
数就缩小到原来的
1
10、
1
100、
1
1000……移动小数点的位置时,
如果位数不够,要用 0 补位。
3.计数单位和数位。
(1)计数单位:个(一)、十、百……及十分之一、百分之
一……都是计数单位。
(2)数位:各个计数单位所占的位置,叫作数位。数位是按
一定的顺序排列的。
(3)十进制计数法:它的特点是每相邻的两个计数单位之
间的进率都是“十”。
(4)数的分级。
整数部分,从个位起,每四个数位是一级。个位、十位、
小数的末尾添上 0 或者
去掉 0,小数的大小相等,计数
单位却不同。
移动小数点的位置时,如
果位数不够,要用 0 补位。
现在用的计数方法,9 再
多 1 个,就要向前一位进 1,记
作:10,就是“十进制计数法”。百位、千位是个级,表示多少个一;万位、十万位、百万位、
千万位是万级,表示多少个万;亿位、十亿位、百亿位、千亿
位是亿级,表示多少个亿……
(5)数位顺序表。
……亿 级 万 级 个 级
数
位……
千
亿
位
百
亿
位
十
亿
位
亿
位
千
万
位
百
万
位
十
万
位
万
位
千
位
百
位
十
位
个
位
计
数
单
位
……千
亿
百
亿
十
亿亿千
万
百
万
十
万万千百十 一
(个)
4.数的读法和写法
知识要
点 具体内容 举例
读
法
读数前通常先
把这个数分级,
再 从 高 位 起 ,
一级一级地读,
每级末尾的 0
都 不 读 , 每 一
级的中间有 1
个 0 或连续几
个 0,都只读一
个“零”
203003000 读作:二亿零
三百万三千
写
法
从 高 位 起 , 一
级 一 级 地 写 ,
哪个数位上一
个计数单位也
没 有 , 就 在 那
个数位上写 0
占位
五千零八十万写作:
50800000
读
法
读 小 数 时 , 按
从左往右的顺
序 读 , 整 数 部
分按照整数的
读法来读(整数
部分是 0 的读
作零),小数点
读 作 点 , 从 小
数部分高位起,
依次读出每一
个数位上的数
字 , 即 使 是 连
续的几个 0,也
12.073 读作:十二点零七
三。
数位是按一定的顺序排列的。
读数和写数都从高位起,
读数要写成文字形式,写数要
写成阿拉伯数字。
在读、写、改写数时,原
数如果有单位名称,读数、写要依次读出来。
写
法
写 小 数 时 , 按
从左往右的顺
序 写 , 整 数 部
分按照整数的
写法来写(整数
部分是零的写
作 0), 小 数 点
写在个位的右
下 角 , 小 数 部
分 从 高 位 起 ,
依次写出每一
个数位上的数
字
二 十 二 点 零 零 五 写
作:22.005
正
数
读
法
“+”读作:正,“+”
后面是几就读
作几
+13 读作:正十三
负
数
读
法
“-”读作:负,“-”
后面是几就读
作几
-20 读作:负二十
正
负
数
的
写
法
正、负数表示
两种具有相反
意 义 的 量 , 为
了区分正、负
数,写正数时,
可以在数的前
面加“+”,也可以
省略不写;写负
数 时 , 要 在 数
的前面加“-”,不
可以省略
正七写作:+7 或 7,负七写
作:-7
5.数的大小比较
知识要
点 具体内容 举例
整数大
小
的比较
比较整数的大小,先
看它的位数,如果位
数不同,那么位数多
的那个数就大;如果
位数相同,就从最高
位比起,最高位上的
数字大的那个数就
大,如果最高位上的
数字相同,就看下一
位上的数字……
7238>980
7240>7199
小数的
大
小比较
比较两个小数的大
小,先看它们的整数
部分,整数部分大的
那个数大;整数部分
0.341.647
数、改写的结果也要加上相应
的单位名称。
用数轴上的点可以比较数的
大小。数轴上表示数的点的位
置越往右,表示的数越大,点的
位置越往左,表示的数越小。相同,十分位上的数
字大的那个数大;十
分位上的数字相同,
百分位上的数字大
的那个数就大……
依次类推
正、负
数
的大小
比
较
1.正数大于负数
2.负数与负数比较,
负号后面的数越大,
这个负数反而越小
-0.1-3
6.数的改写
(1)把多位数改写成用“万”或“亿”作单位的数和求近似数
的方法。
多位数的改写 求近似数(省略尾
数)
方法
把多位数改写成
用“万”或“亿”作单
位的数。先把原数
的小数点向左移
动 4 位或 8 位(小
数部分末尾是 0
的要划掉),再在数
的后面写上“万”字
或“亿”字
先把原数的小
数点向左移动
4 位或 8 位,再
用“四舍五入”法
省略指定位数
后面的尾数,最
后在数的后面
写上“万”字或“亿”
字
结果 得到准确值 得到近似数
与原
数
的关
系
与原数相等,用“=”
连接
与原数近似相
等,用“≈”连接
相同
点
都是改变原数的计数单位,根据要求
用“万”或“亿”作单位
(2)求小数的近似数
要求把小数保留到哪一位,就看这一位后面一位上的数,
按照“四舍五入”法省略尾数,中间用“≈”连接。
二、数的认识(二)
1.因数和倍数
(1)因数、倍数的意义:已知 a、b、c 均为正整数(为了方
便,在研究因数和倍数时,所指的数不包括 0),如果 a÷b=c,那么 a 就是 b 和 c 的倍数,b 和 c 就是 a 的因数。倍数和因数是
相互依存的,不能单独说一个数是因数或倍数。
(2)因数和倍数的特征
一个数的因数的个数是有限的, 其中最小的因数是 1, 最
大的因数是它本身;
一个数的倍数的个数是无限的, 其中最小的倍数是它本
身,没有最大的倍数;
一个数既是它本身的倍数,也是它本身的因数。
易错提示:要区别“改写”与“省略”的含义。“改写”是求准确
值,“省略”是用“四舍五入”法取近似值。
2.2、3、5 的倍数的特征
(1)2 的倍数的特征:个位上的数字是 0、2、4、6、8。
(2)3 的倍数的特征:各个数位上的数字的和是 3 的倍数。
(3)5 的倍数的特征:个位上的数字是 0 或 5。
(4)2、5 的倍数的特征:个位上是 0。
(5)2、3、5 的倍数的特征:个位上是 0,且各个数位上的
数字的和是 3 的倍数。
3.奇数和偶数
(1)奇数:在自然数中,不是 2 的倍数的数叫作奇数。
(2)偶数:在自然数中,是 2 的倍数的数叫作偶数。
研究奇数、偶数时包括 0,因此一个自然数不是奇数就是
偶数。最小的奇数是 1,没有最大的奇数;最小的偶数是 0,没
一个自然数不是奇数, 就是
偶数。有最大的偶数。
4.质数和合数
(1)质数:一个数,如果只有 1 和它本身两个因数,这样的数
叫作质数(素数)。2 是最小的质数,也是唯一的偶质数,没有最
大的质数。
(2)合数:一个数除了 1 和它本身外还有别的因数,这样的
数叫作合数,最小的合数是 4,没有最大的合数。
5.最大公因数和最小公倍数
(1)最大公因数:几个数公有的因数,叫作这几个数的公因
数,其中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。
(2)最小公倍数:几个数公有的倍数,叫作这几个数的公倍
数,其中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。
(3)求两个数的最大公因数和最小公倍数的特殊情况。
如果较小数是较大数的因数, 那么较小数就是这两个数
的最大公因数,较大数就是这两个数的最小公倍数;如果两个
数只有公因数 1,那么它们的最大公因数是 1,最小公倍数就是
这两个数的积。例:12 和 4 的最大公因数是 4,最小公倍数是
12;8 和 9 的最大公因数是 1,最小公倍数是 8×9=72。
三、数的认识(三)
1.分数
(1)分数的意义:把单位“1”平均分成若干份,表示这样一份
或几份的数叫作分数。表示其中一份的数是这个分数的分数
1 既不是质数也不是合
数。单位。
(2)分数分为真分数、假分数、带分数。
真分数:分子比分母小的分数。真分数小于 1。
假分数:分子大于或等于分母的分数。假分数大于或等于
1。
带分数:是由一个整数(大于 0)和一个真分数组成,是大于
1 的假分数的另一种表现形式。
(3)分数的读法:先读分母,再读“分之”,最后读分子。例:
3
4读
作四分之三。
(4)分数的大小比较:分母相同,分子大的分数大;分子相同,
分母小的分数大;分子和分母不同,先通分再比较。
(5)分数的基本性质:分数的分子和分母同时乘或除以相同的
数(0 除外),分数的大小不变。
例:
3
4=
3 × 2
4 × 2=
6
8,
12
15=
12 ÷ 3
15 ÷ 3=
4
5。
(6)约分、通分、最简分数。
约分:把一个分数化成同它相等,但分子、分母都比较小
的分数,叫作约分。
通分: 把异分母分数分别化成和原分数相等的同分母分
数,叫作通分。
最简分数: 分子和分母只有公因数 1 的分数叫作最简分
数。
(7)把假分数化成带分数或整数时,用假分数的分子除以
带分数只有化成假分数
后,它的分子才能表示这个带
分数的分数单位的个数。
比较小数、分数和百分数
的大小时,通常把分数和百分
数化成小数进行比较,最后排
序的结果一定要用原数。分母,商是带分数的整数部分,余数作分数部分的分子,分母不
变;如果分子是分母的倍数,则化成整数。
(8)分数、小数、百分数之间的互化。
2.百分数
(1)百分数的意义:表示一个数是另一个数的百分之几的
数叫作百分数。百分数也叫作百分比或百分率。18%读作:百
分之十八;百分之三十写作:30%。
(2)分数和百分数的关系
分数可以表示一个数量,也可以表示两个数的比,当表示
具体数量时可以带单位名称;百分数只表示一个数占另一个
数的百分比,不能用来表示具体数量,后面不能带单位名称。
四、常见的量
人民币的单位:元、角、分;相邻两个人民币单位间的进
率是 10,即 1 元=10 角,1 角=10 分。
时间单位:1 世纪=100 年 1 年=12 个月
1 个季度=3 个月
1、3、5、7、8、10、12 月份有 31 天 4、6、9、11
月份有 30 天平年 2 月份 28 天 闰年 2 月份 29 天
1 日=24 时 1 时=60 分 1 分=60 秒
判定闰年的方法:公历年份数是 4 的倍数的是闰年;公历
年份数是整百数的,必须是 400 的倍数才是闰年。
普通计时法和 24 时计时法的换算: 时针走第二圈时,24
时计时法相当于钟面上的数加 12 。例:下午 3 时 40 分用 24
时计时法表示是 15 时 40 分。
质量单位:克、千克、吨。
1 吨=1000 千克 1 千克=1000 克
五、数的运算
1.(1)四则运算的意义。
整数 小数 分数
加法
的
意义
把 两 个 数
合 成 一 个
数的运算
与整数加法
的意义相同
与 整 数
加 法 的
意 义 相
同
减法
的
意义
已 知 两 个
数 的 和 与
其 中 的 一
个加数,求
另 一 个 加
数的运算
与整数减法
的意义相同
与 整 数
减 法 的
意 义 相
同
续表
乘法
的
意义
求几个相
同加数的
和的简便
运算
与 整 数 乘 法
的意义相同:
一 个 数 乘 小
数,就是求这
个 数 的 十 分
之几、百分之
几 … … 是 多
少
与 整 数
乘 法 的
意 义 相
同:一个
数 乘 分
数,就是
求 这 个
数 的 几
分 之 几
是多少
除法
的
意义
已知两个
数的积与
其中的一
个因数,求
与 整 数 除 法
的意义相同
与 整 数
除 法 的
意 义 相
同
提示:
(1) 高级单位换算成低级
单位要乘进率。
(2) 低级单位换算成高级
单位要除以进率。
加法和减法互为逆运算;
乘法和除法互为逆运算。
0 与 1 在四则运算中的特另一个因
数的运算
(2)四则运算中各部分间的关系
各部分之间的关系
加法 加数+加数=和 一个加数=和-另一
个加数
减法 被减数-减数=差 被减数=差+减数
减数=被减数-差
乘法因数×因数=积 一个因数=积÷另一
个因数
除法被除数=除数×商 被除数÷除数=商
被除数÷商=除数
2.运算定律
名
称 文字叙述 用字母表示
加
法
交
换
律
两个数相加,交
换加数的位置,
它们的和不变
a+b=b+a
加
法
结
合
律
三个数相加,先
把前两个数相
加,再加上第三
个数,或者先把
后两个数相加,
再和第一个数
相加,它们的和
不变
(a+b)+c=a+(b+c)
乘
法
交
换
律
两个数相乘,交
换因数的位置,
它们的积不变
a×b=b×a
乘
法
结
合
律
三个数相乘,先
把前两个数相
乘,再乘第三个
数,或者先把后
两个数相乘,再
和第一个数相
乘,它们的积不
变
(a×b)×c=a×(b×c)
乘
法
分
配
律
两个数的和与
一个数相乘,等
于把这两个数
分别与这个数
相乘,再把两个
积相加
(a+b)×c=ac+bc
殊性质:
a±0=a a×0=0
0÷a=0(a≠0)
a×1=a a÷1=a
a÷a=1(a≠0)
1÷a=
1
푎(a≠0)
运用四则运算中各部分
之间的关系可以对四则运算
进行验算。 3.运算性质
减法的运算性质:a—(b+c)=a-b-c
除法的运算性质:a÷(b×c)=a÷b÷c
4.运算顺序:在没有括号的算式里,如果只含有同一级运算,要
从左往右依次计算;如果含有两级运算,要先算第二级运算,再
算第一级运算;在有括号的算式里,要先算小括号里面的,再算
中括号里面的,最后算中括号外面的。
5.方程
(1) 在含有字母的式子里, 字母与字母、字母与数之间的
乘号可以记作“·”或省略不写。在省略乘号时,要把数字写在字
母的前面。
(2)表示相等关系的式子叫作等式。
(3)含有未知数的等式叫作方程。
(4)方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值,叫作方
程的解。
(5)求方程解的过程叫作解方程。
(6)所有的方程都是等式,但等式不一定是方程。
(7)等式的性质:①等式的两边同时加上或减去同一个数,
等式仍然成立。
② 等式的左右两边同时乘或除以同一个不为 0 的数, 等
式仍然成立。
在运算中灵活地运用运
算定律和减法、除法的运算性
质,可以使运算更加简便。等
式的性质是解方程的方法与
依据。
有时应用题中的问题不(8)列方程解应用题的一般步骤:
①弄清题意,找出未知数并用 x 表示。
②找出题意中的等量关系,并根据等量关系列出方程。
③解方程,求出未知数的值。
④检验,写出答语。
6.比和比例
(1)比、分数、除法之间的关系
名
称 联系 区别
比 前项 ∶(比号) 后
项 比值
比表示两
个数之间
的倍比关
系
分
数 分子-(分数线)分
母
分数
值
分数是一
个数
除
法
被除
数 ÷(除号) 除
数 商 除法是一
种运算
(2)比和比例
比 比例
意
义 表示两个数相除 表示两个比相等
的式子
比的前项和后项
同时乘或除以相
同的数(0 除外),比
值不变
在比例里,两个
外项的积等于
两个内项的积
基
本
性
质 化简比的依据 解比例的依据
(3)正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也
随着变化,如果这两种量中相对应的比值(商)一定,这两种量
就叫作成正比例的量,它们的关系叫作正比例关系。
푦
푥=k(一
定)。
(4)反比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着
变化,如果这两种量中两个数的积一定,这两种量就叫作成反
能直接用方程解答,需要把一
个间接的量设成未知数,求出
解后,再进一步解答出应用题
的问题。
比和比例、比和分数和除
法都既有联系,又有区别,把握
好比和比例的关系,可以提高
我们分析、解决问题的能力。比例的量,它们的关系叫作反比例关系。xy=k(一定)。
(5) 灵活运用比和比例及比、分数和除法之间的关系, 可以
将分数应用题转化为按比分配的应用题或是用解比例的方
式解答,也可以将按比分配或需要列比例式解答的应用题转
化成分数应用题解答。
2.图形与几何
1.线和角
(1)线
名
称 意义 特点
直
线
把 线 段 两 端
无 限 延 长 就
得 到 一 条 直
线
直线没有端点,它
是可以无限延长
的,不能度量其长
度
射
线
把 线 段 的 一
端无限延长,
就 得 到 一 条
射线
射线只有一个端
点,可以无限延长,
不能度量其长度
线
段
直 线 上 两 点
间 的 一 段 叫
作线段
线段有两个端点,
可以度量它的长
度
(2)角的意义:从一点引出两条射线,就组成一个角。
(3)角的分类
锐角 直角 钝角 平角 周角
大于
0°小
于90°
等于
90°
大于 90°小
于 180°
等于
180° 等于360°
(4)垂直与平行
垂直: 两条直线相交成直角时, 这两条直线互相垂直。其
中一条叫作另一条的垂线。这两条直线的交点叫作垂足。由
射线和线段都是直线的
一部分。
平角的两条边在一条直
线上,但平角不是直线,它有顶一点向一条直线所引的线段中,垂直线段最短。
平行: 在同一平面内, 不相交的两条直线叫作平行线。两
条平行线之间的距离处处相等。
2.平面图形
(1) 三角形: 由三条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫
作三角形。
①按角分类
名
称
锐角三角
形
直角三角
形 钝角三角形
图
形
特
征
三个角都
是锐角
有一个角
是直角
有一个角是
钝角
②按边分类
名
称
不等边三角
形 等腰三角形
图
形
特
征
三条边都不
相等
有两条边相
等
三条边都
相等
(2)四边形
①四边形的分类
点,它是一个角。
在同一平面内的两条直
线不是相交就是平行。垂直是
相交的特例。
三角形任意两条边的和
大于第三边的长度。运用三角
形三边之间的关系,可以判断
三条线段或三根小棒能否组
成三角形。
三角形具有稳定性。
三 角 形 的 内 角 和 等 于
180°。②特殊四边形的特点
名称 图形 特点
长方形
两组对边分别平
行且相等,四个角
都是直角
正方形
两组对边分别平
行,四条边都相等,
四个角都是直角
平行四
边形
两组对边分别平
行且相等,对角相
等
梯形 只有一组对边平
行
(3)圆
① 圆心: 圆中心的一点。圆心确定圆的位置。用字母 O
表示。
②半径:圆心到圆上任意一点的线段。半径决定圆的大小。
用字母 r 表示。
③直径:通过圆心且两端都在圆上的线段。用字母d 表示。
d=2r。
④圆的周长:C=πd 或 C=2πr;圆的面积 S=πr2。
(4)
周长、面积计算公式名
称 图形 文字公式 字母公式
平
行
四
边
形
平行四边形
的面积=底×
高
S=ah
长
方
形
长方形的周
长 =( 长 +
宽)×2
长方形的面
积=长×宽
C=2(a+b)
S=ab
长方形和正方形是特殊
的平行四边形,正方形是特殊
的长方形。
梯形中还有两种比较特
殊的情况:等腰梯形和直角梯
形。等腰梯形是两个腰相等的
梯形;直角梯形是有两个直角
的梯形。正
方
形
正方形的周
长=边长×4
正方形的面
积=边长×边
长
C=4a
S=a2
续表
三
角
形
三 角 形 的
面 积 = 底 ×
高÷2
S=ah÷2
梯
形
梯 形 的 面
积=(上底+
下底)×高÷2
S=(a+b)h÷2
圆
圆的周长=
圆周率×直
径
或 圆 的 周
长=圆周率
×半径×2
圆的面积=
圆周率×半
径的平方
C=πd 或
C=2πr
S=πr2
(5)平面图形面积计算公式的推导过程
名
称
面积公
式推导
过程
图例
长
方
形
用 数 方
格 的 方
法 来 推
导
正
方
形
把 正 方
形 看 作
长 和 宽
相 等 的
长方形
平
行
四
边
形
通 过 割
补、平移
转 化 成
长方形
梯
形
把 两 个
完 全 相
同 的 梯
形 通 过
旋转、平
移 化 成
平 行 四
边形。这
个 平 行
我们经常会遇到求不规则图
形的周长或面积的情况,可以
运用转化和迁移的数学思想,
把不规则图形转化成我们学
过的图形,再计算它们的周长
或面积。四 边 形
的 底 等
于 梯 形
上 底 与
下 底 的
和 , 高 与
梯 形 的
高相等。
梯 形 的
面 积 是
拼 成 的
平 行 四
边 形 面
积 的 一
半
三
角
形
把 两 个
完 全 相
同 的 三
角 形 通
过旋转、
平 移 化
成 与 它
等 底 等
高 的 平
行 四 边
形。三角
形 的 面
积 是 拼
成 的 平
行 四 边
形 面 积
的一半
圆
把 一 个
圆 平 均
分 成 若
干 份 ( 偶
数份)后,
拼 成 一
个 近 似
的 长 方
形 , 长 方
形 的 长
相 当 于
周 长 的
一 半 , 宽
相 当 于
圆 的 半
径
3.立体图形(1)长方体和正方体的特征的异同点
相同点 不同点
面 棱 顶
点
面的
特点
面的
大小 棱长
6
个
12
条
8
个
6 个
面
一
般
都
是
长
方
形 ,
也
可
能
有
两
个
相
对
的
面
是
正
方
形
相
对
的
面
的
面
积
相
等
每一组互
相平行的
4 条棱的
长度相等
6
个
12
条
8
个
6 个
面
都
是
相
等
的
正
方
形
6
个
面
的
面
积
都
相
等
12 条棱的
长度都相
等
(2)长方体和正方体之间的关系
(3)圆柱和圆锥的特征
名
称 图形 特征 从不同方向
看到的形状
体积是指物体所占空间
的大小,求物体的体积是从物
体外部测量长、宽、高;容积
是指一个容器所能容纳的物
体的体积,求物体的容积要从
物体的内部测量长、宽、高。圆
柱
面:圆柱有 3 个
面,上、下两个
底面是相同的
圆 , 侧 面 是 曲
面
高 : 圆 柱 两 底
面之间的距离
叫作高。它有
无数条高
侧 面 展 开 图 :
圆柱的侧面沿
高展开后是长
方 形 ( 或 正 方
形)
从上面或下面
看,会看到一个
圆
从侧面看,会看
到一个长方形
(或正方形)
圆
锥
面:圆锥有 2 个
面 , 它 的 底 面
是 圆 , 侧 面 是
曲面
高 : 从 圆 锥 的
顶点到底面圆
心的距离叫作
圆 锥 的 高 , 圆
锥只有一条高
从上面看,会看
到中间带点的
圆
从下面看,会看
到一个圆
从侧面看,会看
到一个等腰三
角形(或等边三
角形)
(4)立体图形的表面积和体积的计算公式
图形 表面积 体积
长
方
体
S=(ab+ah+bh)×2 V=abh
正
方
体
S=6a2 V=a3
续表
圆
柱 S=2πr2+2πrh V=πr2h
圆
锥 — V=πr2h÷3
(5)圆柱和圆锥体积公式的推导
名
称 推导过程 图例圆
柱
把 圆 柱 平 均
分 成 若 干 份
(偶数份)后,
拼 成 一 个 近
似的长方体,
长 方 体 的 长
是 圆 柱 底 面
周长的一半,
宽 是 圆 柱 的
底面半径,高
是圆柱的高,
即
长 方 体 的 体
积=底面积×
高
↓
↓ ↓
圆 柱 的 体 积
=底面积×高
圆
锥
用实验法,在
圆 锥 形 容 器
里装满沙子,
然 后 倒 进 与
它 等 底 等 高
的 圆 柱 形 容
器内,正好三
次倒满,即圆
锥 的 体 积 是
与 它 等 底 等
高 的 圆 柱 形
容器体积的
1
3
(6)长度单位、面积单位、体积单位、容积单位之间
的进率名称 单位 进率
长度
单位
毫米、厘米、分
米、米、千米
1 千米=1000 米
1 米=10 分米
1 分米=10 厘米
1 厘米=10 毫米
面积
单位
平方毫米、平方
厘米、平方分米、
平方米、平方千
米、公顷
1 平方千米=100 公顷
1 公顷=10000 平方米
1 平方米=100 平方分米
1 平方分米=100 平方厘米
1 平方厘米=100 平方毫米
体积
单位
立方米、立方分
米、立方厘米、
立方毫米
1 立方米=1000 立方分米
1 立方分米=1000 立方厘
米
1 立方厘米=1000 立方毫
米
容积
单位 升、毫升
1 升=1000 毫升
1 立方分米=1 升
1 立方厘米=1 毫升
3.图形的运动
1. 轴对称图形: 如果一个图形沿着一条直线对折, 折痕两
侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形,折痕所在
的这条直线叫作对称轴。对称点到对称轴的距离相等。
2.平移:物体沿着直线运动,这样的运动方式称为平移。平
移时,物体或图形的大小、形状都不改变,只是位置发生了变
化。
3.旋转:物体绕着一个固定的点(或轴)转动,这样的运动方
式称为旋转。旋转时物体或图形的大小、形状都不变,方向和
位置发生了变化。
4. 图形的放大与缩小: 把一个图形的各边按一定的比进
行放大或缩小,从而得到该图形的放大图或缩小图。一个图形
的放大或缩小前后,形状相同,大小不同。
4.图形与位置
不同类别的单位名数不
能在一起比较,例如长度单位
不能与面积单位比较大小。
在比较单位名数的大小
时,只有相同的单位才能在一
起比较,单位不同时要化成相
同单位,再进行比较。
判断一个图形是不是轴对称
图形的方法:把这个图形沿着1.辨认方向:在地图或平面图上通常都是按“上北、下南、
左西、右东”来确定方位的,还有东北、西南、东南、西北四
个方向。
2.用数对表示位置:竖排叫作列,横排叫作行,确定第几列
一般从左往右数,确定第几行一般从前往后数。用数对表示物
体的位置时,一般先表示第几列,再表示第几行。要用小括号
把列数与行数括起来,并在列数和行数之间用逗号隔开。
3. 比例尺: 图上距离和实际距离的比, 叫作这幅图的比例
尺。图上距离∶实际距离=比例尺;比例尺可以分为数值比例尺
和线段比例尺。
5.统计与可能性
1. 单式统计表: 只有一组统计项目的统计表叫作单式统
计表。
2. 复式统计表: 有两组或两组以上统计项目的统计表叫
作复式统计表。
3.统计图
条形统计图 折线统计图 扇形统计图
用一个单位长度表示
一定的数量
特
点
用直条的
长度表示
数量的多
少
用 折 线 的
起 伏 表 示
数 量 的 增
减变化
用整个圆的面积表
示总数量,用圆内的
扇形面积表示各部
分数量占总数量的
百分比
作
用
从图中能
清楚地看
出各种数
量的多少,
便于比较
从 图 中 能
清 楚 地 看
出 数 量 增
减 变 化 的
情况,也能
看 出 数 量
的多少
扇形统计图便于直
观了解各部分数量
与总数量的百分比,
以及部分数量与部
分数量之间的大小
关系
一条直线对折,如果折痕两侧
的图形能完全重合,这个图形
就是轴对称图形。
无论是把图形放大还是
缩小,图形各边的比应保持不
变。
确定物体的位置时要找
好参照物,如甲在乙的东北方
向,那么乙在甲的西南方向。
第 3 列第 2 行用数对表
示就是(3,2)。(4,3)这个数对
表示的位置就是第 4 列第 3
行。种
类
单式条形
统计图和
复式条形
统计图
单 式 折 线
统 计 图 和
复 式 折 线
统计图
平均数:总数量÷总份数=平均数。
4.可能性
不确定现象:生活中,有些事件的发生是不确定的,一般用
“可能”来描述。
确定现象:生活中,有些事件的发生是确定的,一般用“一定”
或“不可能”来描述。
可能性的大小: 在总数中占的数量比较多, 事件发生的可
能性就大,否则就小。
游戏的公平性: 在游戏规则里, 如果每种现象发生的可能
性都相等,这个游戏规则就是公平的;如果每种现象发生的可
能性不相等,这个游戏规则就是不公平的。
统计在现实生活中有着重要
的作用,利用统计结果可以作
出一些预测,帮助决策。
每种统计图的表现形式不同,
特点也不同,应用时要根据数
据的特点和需要选择合适的
统计图。
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