二 比 和 比 例
一、比的意义
1.比的认识。
比的意义:两个数相除,又叫作两个数的比。
认识比的符号:比用符号“∶”表示,读作:比。
比的写法:21 比 14 记作 21∶14 或
21
14。
比的读法:21∶14 读作:二十一比十四。
比的各部分的名称:
21 ∶ 14=21÷14=
21
14=
3
2
↓ ↓ ↓ ↓
前 比 后 比值
2.求比值的方法。
用比的前项除以比的后项。
例:
3
2∶4=
3
2×
1
4=
3
8
比与分数、除法之间的联系用字母表示为 a∶b=a÷b=
푎
푏(b
≠0)。
3.比与分数、除法之间的区别。
意义不同:比表示两个量(或数)之间的一种关系;除法是一
种运算;分数是一个数。
表示方法不同:作为一种运算,除法算式不能用分数表示;
比可以用分数表示;分数不一定表示两个量的比。
结果表达不同:除法一般要求出商;比只有求比值时才通
过计算求出商;分数本身就是一个数值,无需计算。
4.比的基本性质。
比的前项和比的后项同时乘或除以相同的数(0 除外),比
值 不 变 , 这 叫 作 比 的 基 本 性 质 。 用 字 母 表 示 为
a∶b=(a×c)∶(b×c)=(a÷c)∶(b÷c)(c≠0)。
5.最简整数比。
指比的前项和后项都是整数,并且是一对互质数,即比的
前项和比的后项的最大公因数是 1。
6.化简比的方法。
易错题:
选择。
求 3 km∶4 km 的比值,正
确的是(A)。
A.3 km∶4 km=3∶4
B.3 km∶4 km=
3
4
错解分析:此题错在没有
掌握比值和比的区别。比值是
一个数,不能写成比的形式。
正确答案:B
温馨提示:
比值是一个数,可以用分
数、小数或整数表示。
方法提示:
判断一个比是不是最简
单的整数比的方法:看这个比
的前项和后项是不是只有公
因数 1。
重点提示:
对于不同单位的两个量化简整数比:把比的前项和后项同时除以它们的最大公
因数。
化简小数比:先移动小数点,化成整数比,再化成最简单的
整数比。
化简分数比:先用比的前项除以比的后项,求出商,再化成
最简单的整数比。
二、比的应用
按一定的比进行分配的问题的解题方法:
可以先求出总量一共被平均分成了几份,然后采用平均
分的方法求出每份的具体数量,最后求出各部分量对应的具
体数量。
也可以先求出总量一共被平均分成了几份,再用相应的
分数来表示各部分量,最后用分数乘总量求出各部分量对应
的具体数量。
三、比例的意义
表 示 两 个 比 相 等 的 式 子 叫 作 比 例 。 用 字 母 表 示 为
a∶b=c∶d(b、d 均不为 0)。
组成比例的四个数,叫作比例的项。两端的两项叫作比例
的外项,中间的两项叫作比例的内项。
例:
判断两个比能否组成比例,关键要看它们的比值是否相
的比,进行化简时,应先统一单
位,再化简。化简的结果必须
是比,即使后项是 1 也不能省
略。
重点提示:
解答按一定的比进行分
配的问题时,不但要找准分配
的比,还要找准被分配的量。
知识巧记:
比例组成有条件,
两比相等不能变。
外项内项积相等,
性质应用很广泛。
易错题:
5x=6y(x、y 均不为 0)则
x∶y=5∶6 ()
错解分析:此题错在对比
例的基本性质理解不透彻。根
据外项的积等于内项的积,若
x 作外项,则和 x 相乘的 5 也要
作外项。
正确答案:✕
知识巧记:等。若比值相等,则能组成比例;若比值不相等,则不能组成比
例。
比例的基本性质:在比例中,两个外项的积等于两个内项
的积。用字母表示比例的基本性质:a∶b=c∶d(b、d 均不为 0),
那么 ad=bc。
在每个分数形式的比例中,等号两边的分子和分母分别
交叉相乘,它们的积都相等。
解比例:求比例中的未知项,叫作解比例。
解比例的方法:根据比例的基本性质解比例,先把比例转
化成外项乘积与内项乘积相等的形式(即方程),再解方程求出
未知项的值。
注意:计算完后要检验,检验时把 x 的值代入到原比例式,
看比例的左边的比值是否等于右边的比值,比值相等则解正
确,不相等则解错误。
四、比例尺
一幅图的图上距离和实际距离的比,叫作这幅图的比例
尺。
求比例尺的方法:
图上距离∶实际距离=比例尺或图上距离
实际距离=比例尺。
比例尺的类型:
数值比例尺:用数字形式表示的比例尺,就是数值比例尺。
例:1∶70000 或
1
70000。
解比例,并不难,
基本性质记心间;
外项内项分别乘,
比例转为方程算;
解出方程需检验,
比值相等是关键。
重点提示:
实际距离=图上距离÷比
例尺;
图上距离=实际距离×比
例尺。
灵活应用:
(1)为了计算方便,通常把
缩小比例尺写成带比号的形
式时,前项一般为 1。若写成分
数形式,分子一般为 1。
(2)为了计算方便,通常把
放大比例尺的后项写成 1。
知识巧记:线段比例尺:在图上附有一条注有数量的线段来表示和
地面上相对应的实际距离,这样的比例尺叫作线段比例尺。
例: 。
文字比例尺:用文字直接写出图上 1 厘米代表的实际距
离是多少,这样的比例尺叫作文字比例尺。例:图上 1 厘米相
当于实际距离 60 千米。
缩小比例尺:在绘图时,有时需要把实际距离按一定的比
缩小后在纸上画出来,用这种方法得到的比例尺就是缩小比
例尺。例:1∶20。
放大比例尺:在绘图时,有时需要把实际尺寸按一定的比
放大后画在纸上, 这样得到的比例尺就是放大比例尺。
例:20∶1。
五、正比例和反比例
正比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变
化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(商)一定,这两种
量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作正比例关系。如果用
字母 x、y 分别表示这两种相关联的量,用 k 表示它们的比值,
上面的数量关系可以用式子表示为
푦
푥=k(一定)。
判断两种量是否成正比例的方法:先找变量(一种量是否
随着另一种量的变化而变化),再找定量(两种量中相对应的两
个数的比值是否一定),如果两个相关联的量的比值一定,则成
正比例,如果比值不一定,则不成正比例。
正比例,好脾气,
两量相关要谨记;
同扩同缩好兄弟,
比值永远不变异。
图上距离一般用厘米作
单位,实际距离一般用米和千
米作单位,在进行有关比例尺
的计算时要先统一单位。
重点提示:
在
푦
푥=k( 一定) 和 xy=k( 一
定)中,k 表示固定不变的量,也
叫常量,只有 k 保持不变,变量
x 和 y 才成正比例或反比例。
重点提示:成比例的两种
量必须是相关联的量,而两种
相关联的量却不一定成比例。
如两种量的和或差一定时,这
两种量虽然相关联,但不成比
例。正比例关系图像的特征: 正比例关系的图像是一条经过
原点的直线。从图像上可以直观地看到两种量的变化情况,不
用计算,由一个量的值可以直接找到对应的另一个量的值。
反比例:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变
化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫
作成反比例的量,它们的关系叫作反比例关系。
如果用字母 x、y 分别表示这两种相关联的量,用 k 表示
它们的积,上面的数量关系可以用式子表示为 xy=k(一定)。
判断两种量是否成反比例的方法: 先判断这两种量是不
是相关联的量,再根据数量关系式判断这两种量中相对应的
两个数的积是否一定,若积一定,则这两种量就成反比例,否则
不成反比例。
判断两种量成正比例还是成反比例的方法:
(1)判断这两种量是否相关联,即一种量是否随另一种量
的变化而变化。
(2) 看这两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定
还是积一定,如果比值一定,就成正比例;如果积一定,就成反
比例。
六、解决问题
用比例知识解决实际问题的方法: 根据问题中的不变量
找出两种相关联的量,并判断这两种量成什么比例,根据正、
反比例关系式列出相应的比例,求解即可。
重点提示:
判断两种相关联的量成
什么比例,是解决问题的关键。
重点提示:
把一个图形放大或缩小
后得到的图形与原图形相比,
形状相同,大小不同。保持物体的图像或图形的形状不变而使物体的图像或
图形变大,叫作放大。
保持物体的图像或图形的形状不变而使物体的图像或
图形变小,叫作缩小。
在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步:
(1)看图形各边分别占几个格;
(2) 计算按给定的比将图形的各边放大或缩小后得到的
图形的各边分别占几个格;
(3)按计算出的各边的长画出放大或缩小后的图形。
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