2.3 长方形和正方形面积公式的推导与运用教案

2.3 长方形和正方形面积公式的推导与运用  教学内容 教材第 31-32 页例 1、例 2、“课堂活动”第 1 题以及练习六的第 1-5 题  教学提示 长方形、正方形面积计算公式的推导是学生认识了长方形、正方形的特征、 知道了面积单位、学会用面积单位直接量面积的基础上教学的，是学生第一次学 习平面图形的面积计算。学会长方形、正方形面积的计算，不仅是今后学习其它 图形面积的重要基础，而且有助于发展学生的思维，培养学生的学习能力和空间 观念。 学生最喜欢把自己当成探索者、研究者、发现者。本课时的教学要改变传统 的“传递——接受”式教学模式，尝试采用 "自主探究式"教学模式，贯穿“实 验-发现-验证”思路，整节课教学过程要注重学习方法、思维方法、探索方法的 获取，让学生主动获取知识，同时也让学生知道这些知识是如何被发现的，结论 是如何获得的，体现了“方法比知识更重要”这一新的教学价值观。  教学目标 知识与能力 1.理解长方形（正方形）面积与长和宽（边长）之间的密切关系，知道面积公式 的由来。 2.掌握长方形、正方形面积的计算方法。 3.通过面积公式的推导，培养动手操作实践、迁移、类推能力和抽象概括能力。 过程与方法 1.经历自己动手摆、动脑想和动口说长方形、正方形面积计算方法的发现过程。 2. 渗透“猜想—实验—发现—验证”的学习方法以及相关事物之间都是有内在 联系的辩证唯物主义思想。 情感、态度与价值观 1.让学生动手实验操作、大胆猜想以激发学习数学的兴趣； 2.通过比较正方形和长方形面积计算方法的异同，渗透事物间相互联系的辨证唯 物主义观念。  重点、难点 重点 通过动手操作、猜想、分析、验证得到长方形、正方形面积的计算方法。 难点 渗透“猜想—实验—发现—验证”的学习方法以及相关事物之间都是有内 在联系的辩证唯物主义思想。  教学准备 教师准备：例 1、例 2 教学课件、长是 4 厘米、宽是 3 厘米的长方形、边长是 1 厘米的小正方形 学生准备：长是 4 厘米、宽是 3 厘米的长方形，边长是 1 厘米的小正方形 20 个  教学过程 （一）新课导入： 师：同学们，上节课我们学习了有关面积的知识，还记得常用的面积单位有哪些 吗? 生：(平方厘米、平方分米、平方米) 师：（出示一个边长为 1 厘米的正方形）你知道这个图形的面积是多少吗？ 生：l 平方厘米。 师：下面这个长方形含有多少个1平方厘米的正方形，它的面积是多少平方厘米？师：刚才我们通过用数面积单位的方法，知道了长方形的面积。 （多媒体出示：姚明照片） 时：他是谁呀?再出示篮球场，如果想知道篮球场的面积是多少，也用数方格的 方法，你有什么感觉?(学生说太麻烦了) 师：有没有一种更好、更简便的方法计算长方形的面积呢?今天我们这节课就一 起来研究长方形和正方形的面积计算。(揭示课题) 设计意图：通过复习，联系学生熟悉的生活环境，以旧引新，激发认知冲突。同 时感受到数学源于现实生活，数学能解决实际问题，从而激发学生的求知欲望， 引出课题。 参考： 铺垫引入法 师：上节课我们学习了关于面积的知识，什么是面积？常用的面积单位有哪些呢？ （课件出示）一个长 5 厘米，宽 3 厘米的长方形和一个边长是 4 厘米的正方形。 师：这两个图形哪个面积比较大，大多少？你们会比较吗？ 师：今天我们就研究长方形、正方形面积的计算（板书课题），齐读课题。 师：读了这个课题，你想知道些什么？（问题：长方形的面积怎样计算？正方形 的面积又怎样计算？） 设计意图：学起于思，思起于疑，疑解于问。通过不断的问题冲突激活学生的思 维，唤醒学生的探究的欲望，带着问题与思考开始本节课的学习。 （二）探究新知： 知识点 1：长方形和正方形面积计算公式的推导 （教材第 31 页例 1） 一、读题找出已知和问题 师：生活中许多地方需要用到长方形或正方形的面积，你知道它们的面积怎样计 算吗？读教材 31 页例 1，说说你能找出哪些已知信息和所求的问题。 （预设） 生 1：长方形的长是 4 厘米，宽是 3 厘米 生 2：求这个长方形的面积是多少？ 二、探究长方形面积的计算方法 1.猜一猜，想一想 师：猜一猜，这个长方形面积的大小可能会与哪些因素有关系? 生：长方形的面积可能会与长和宽的大小有关。 师：长方形的面积是不是与长方形的长和宽有关呢?我们来做一个小小的实验。 设计意图：“猜一猜”有利于活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性。放手让学 生大胆地猜想，是培养创新意识的前提。 2.动手操作，验证猜想 师：请每小组拿出准备好的 1 平方厘米的正方形和长 4 厘米、宽 3 厘米的大长方 形，小组合作摆一摆，然后看一看摆好后长是多少厘米，宽是多少厘米，数 一数用了多少个 1 平方厘米的正方形，并把结果填在表格里。（由每组的小组长汇报结果） 生：用面积为 1 平方厘米的正方形将长方形摆满后，每行摆 4 个这样的小正方形， 共摆了 3 行，所以，这个长方形的面积是 l2 平方厘米。 （学生填表） 师：这种方法在数学上叫密铺法（如下图）。求长方形的面积就是求这个长方形 含有多少个这样的面积单位。 师：你还有其他不同的方法也能验证长方形的面积是 12 平方厘米吗？把结果填 在表中。 （由每组的小组长汇报结果） 生：沿长摆 4 个面积为 l 平方厘米的正方形，宽能摆这样的 3 行，一共摆 4×3=12 （个）面积是 1 平方厘米的正方形（如下表）。 师：上面的这种方法在数学上叫半铺法。（如下图） 师：上面的两种方法，哪种方法更简单些？ （小组讨论，全班交流） 生：虽然第二种方法没有用边长 1 厘米的正方形将整个长方形全部摆满，但是可 以清楚地看出一行摆了几个，摆了几行，第二种方法更为简单些。 设计意图：儿童天性好动，在活动中容易使他们集中注意力诱发学习兴趣。通过动手操作，使学生能真正参与知识的发生过程，能更深刻地理解长方形面积的计 算方法的由来。培养了学生的操作能力，促进学生动作思维的发展，同时渗透了 学习方法。 师：请同学们仔细地观察记录表中的数据，你发现了什么? 生：长方形的面积所含的平方厘米数就是它的长与宽所含的厘米数的乘积。 师：我们简单地记为(板书)：长方形面积=长×宽 师：这个发现是否准确无误呢?我们还要对这个发现进行验证。仍旧以小组为单 位，用若干个 1 平方厘米的小正方形拼成长方形，怎么想怎么拼，并填表。 设计意图：发现也有可能是错误或部分错误的，因此，发现后必须进行验证，这 是科学研究的重要环节。有拼面积相同的长方形到拼各种大小、形状各异的长方 形，渗透了从特殊到一般的推理方法。 3．归纳总结 师：在各小组的努力下，我们证实了你们的发现：长方形的面积=长×宽是正确 的，让我们用热烈的掌声对自己表示祝贺! 4.规范解答 4×3=12（平方厘米） 答：这个长方形的面积是 12 平方厘米。 设计意图： 对猜想进行验证后，得出的正确的结论，是需要师生共同归纳总结 的，并要写出规范的解答过程。 知识点 2：正方形面积计算方法的发现 （教材第 31 页试一试） 1.读题找出已知信息和问题 师：读“试一试”找出已知和问题 生：已知有 l6 个 lcm 的正方形 生 2：问题是用这些小正方形拼摆长方形，并填表。 二、操作探究 师：拼摆记录好以后想一想，并把你的拼摆结果用数学语言说一说。 （预设） 生 1：摆出的长是 16 厘米时，宽是 1 厘米； 生 2：摆出的长是 8 厘米时， 宽是 2 厘米； 生 3：摆出的长是 4 厘米时， 宽也是 4 厘米； 生 4：摆出的长是 2 厘米时，宽是 8 厘米； 生 5：摆出的长是 1 厘米时，宽是 16 厘米。 （记录结果如下表）（课件出示） 长(cm) 宽(cm) 面积(cm2) 长(cm) 16 8 4 2 1 2 三、议一议 师：观察上面的表格，看一看，想一想，你发现了什么？ 生 1：面积不变，都是 16 平方厘米，但是形状不同了。 生 2：当长和宽相等时，长方形就变为正方形。 生 3：正方形的面积=边长×边长 设计意图：正方形面积计算方法的的发现是通过操作活动摆一摆来实现的。教学 时学生拼一拼、摆一摆、看一看、想一想，议一议，最后发现当长方形的长和宽 相等时，长方形就变为正方形，这时正方形的面积就等于边长×边长。 知识点 3：长方形或正方形面积的计算 （教材第 32 页例 2） 一、读图找已知和所求问题 师：读例 2，你能找出哪些已知条件和所求的问题？ （预设） 生 1：已知电视机显示屏的长是 48 厘米，宽是 27 厘米。 生 2：遮盖电视机的方巾是边长 9 分米的正方形。 生 3：所求的问题（1）电视机显示屏的面积是多少？（2）方巾的面积是多少？ 二、探究计算 师：根据上面的已知信息，下面以小组为单位，先独自解答，然后小组讨论，最 后全班汇报交流。 （预设） 生 1：电视机的显示屏的形状是长方形，长是 48 厘米，宽是 27 厘米，求显示屏 的面积可以根据长方形的面积=长×宽来计算。 生 2：遮盖电视机的方巾是边长 9 分米的正方形，求方巾的面积可以根据:正方形 的面积=边长×边长来解答。 三、规范解答： （1）48×27=1296（平方厘米） 答：电视机显示屏的面积是 1296 平方厘米。 （2）9×9=81（平方分米） 答：方巾的面积是 81 平方分米。 设计意图： 运用课堂学习的方法，立即运用解决问题，既培养了学生运用数学 的意识和能力，又起到巩固知识、加深理解公式的作用，更有首尾呼应之妙! （三）巩固新知： 1.“课堂活动”第 1 题。 2.教材第 33-34 页练习六的第 1-5 题。 设计意图： 1.对周围观察到的长方形的物体的面进行长和宽的测量，并计算出面积。通过 观察、判断、测量、计算一系列活动，对长方形面积的计算方法进行练习，达 到学以致用的目的。 2.通过各种练习对新学的长方形和正方形的面积的计算方法进行运用练习。 （四）达标反馈 宽(cm) 1 2 4 8 16 面积(cm2) 16 16 16 16 161.填一填， （1）长方形的长 12 厘米，宽 8 厘米，它的面积是( )平方厘米。 （2）正方形的边长是 8 分米，它的面积是（ ）。 （3）小明用 1 平方分米的正方形纸板量课桌面的面积。沿着长摆 6 个，沿着宽 摆 4 个，课桌面的面积是( )平方分米。 （4）正方形的周长是 32 分米,面积是( )平方分米。 2.计算下面图形的面积。（单位：厘米） 3.一张长方形的餐桌，桌面的长是 14 分米，宽是 9 分米，要配上同样大小的玻 璃，这块玻璃的面积是多少平方米？ 4．计算下面草坪的面积。 答案： 1.（1）96（2）64 平方分米 （3）24 （4）64 2. 4×9=36（平方厘米） 5×5=25（平方厘米） 3.14×9=126（平方分米） 4.20×16-9×9=320-81=239（平方分米） （五）课堂小结 师：要想计算长方形的面积，必须知道什么条件？正方形呢？ 师：怎样计算长方形、正方形的面积？计算长方形、正方形面积应该注意什么问 题？（长和宽的单位名称要先统一） 设计意图：通过给出一系列问题，用这些问题将课堂上所学知识串联起来，形成 系统结构。这些问题串涉及的都是知识的重点、难点，学生学习过程出现的盲点、 弱点、易错点、易忽视点。这种方法充分体现了教学中教师的主导作用，学生的 主体地位。 （六）布置作业 1. 选择 （1）长方形的面积计算公式是（ ）。 A、长×2＋宽×2 B、（长+宽）×2 C、长×宽 （2）正方形的边长是 4 米，它的面积是（ ） A、16 米 B、8 平方米 C、16 平方米 （3）周长相等的两个长方形，它们的面积是（ ） A、不相等 B、相等 C、不一定相等 （4）一个正方形的边长是 4 米，它的周长是（ ），面积是（ ）。 A 16 米 B 8 米 C 16 平方米 2.填表 3.先量一量，再求出面积。（单位：厘米） 长=（ ）厘米 边长=（ ）厘米 宽=（ ）厘米 面积=（ ）平方厘米 面积=（ ）平方厘米 4.计算下面稻田的面积。 5.小明画了一个长是 8 厘米，宽是 5 厘米的长方形，求出它的面积。如果把宽延 长 3 厘米，它的面积变成了多少平方厘米？ 6.在一张长是 6 米，宽是 4 米的长方形中剪下一个最大的正方形，剩下的图形的 面积是多少平方米？ 7.下图是一块打碎的玻璃，小明想求出这块玻璃原来的面积，你能帮帮他吗？把 你的想法说一说。 8.一个正方形的荷花池，周长是 36 米，它的面积是多少平方米? 答案：1.（1）C (2)C (3)C (4)A C 2.24 厘米 32 平方厘米 60 分米 225 平方分米 3.略 4.6×4=24（平方米） 5×5=25（平方米） 5.8×5=40（平方厘米） 5+3=8（厘米） 8×8=64（平方厘米） 6.6×4-4×4=8（平方米） 7.测量出长和宽，然后再根据长方形的面积=长×宽计算。 8.36÷4=9（米） 9×9=81（平方米）  板书设计 结果。”我在这堂课中，多次运用小组合作。第一次是在学生尝试求出长 4 厘米、宽 3 厘米的长方形的面积（有的学生独立尝试，有的学生同桌合作）。第 二次是在拼各种长方形来验证长方形的面积计算公式时，学生进行了小组合作。 第三次是在对实验形成的表格进行的小组讨论，讨论“长方形的面积=长×宽” 是不是正确时开展的…  教学资料包 教学精彩片段 正方形面积计算方法的发现： 师：同学们看，刚才三幅画的面积，有的大，有的小，凭你们的经验，请你大胆 地猜测一下，长方形的面积可能与它的什么有关系？ 生 1：我认为长方形的面积和它的周长有关系。 生 2：我认为长方形的面积和它长有关系。 生 3：我认为长方形的面积和它宽有关系。 （学生回答后，老师结合课件的动态演示，让学生确信长方形面积的大小与它 的长和宽有关系。） 教师结合课件演示，启发学生思考：长方形的宽不变，长发生变化，它的面 积怎么变化？长方形的长不变，宽发生变化，它的面积怎么变化？长方形的长和 宽都发生变化，它的面积怎么变化？ 长方形、正方形面积的计算 例 1： 4×3=12（平方厘米） 答：这个长方形的面积 长方形的面积=每行的个数×行数 是 12 平方厘米。 长方形的面积= 长 × 宽 正方形的面积= 边长 × 边长 例 2： （1）48×27=1296（平方厘米） 答：电视机显示屏的面积是 1296 平方厘米。 （2）9×9=81（平方分米） 答：方巾的面积是 81 平方分米。教师在大屏幕上出示：长方形的面积与它的长和宽有关系。 设计意图：苏霍姆林斯基说，“每个人的内心里有一种根深蒂固的需要——总想 感到自己是发现者、研究者、探索者。在儿童的精神世界中，这种需求特别强烈。 但如果不向这种需求提供养料，既不积极接触事实和现象，缺乏认识的乐趣，这 种需求就会逐渐消失，求知兴趣也与之一道熄灭。”长方形面积的大小可能与哪 些因数有关，是一个未知的挑战，教学时让学生大胆猜想，然后验证，最后得出 结论，充分体现了教师的主导学生的主体地位。 教学资源 “猜想——验证——归纳——运用”的小学数学教学模式 猜想验证是一种重要的数学思想方法，正如荷兰数学教育家弗赖登塔尔所 说“真正的数学家——常常凭借数学的直觉思维做出各种猜想，然后加以证实。” 因此，小学数学教学中教师要重视猜想验证思想方法的渗透，以增强学生主动探 索、获取数学知识的能力，促进学生创新能力的发展，流程如下： （一）知识迁移——有“理”猜想，激活思维 （二）自主探究——验证猜想，加深理解。 （三）完善发现——归纳整理，内化知识。 （四）应用猜想——用之生活，培养思维。 总之，“猜想——验证——归纳——运用”的小学数学教学模式的运用与 新课程倡导自主探究学习的精神相吻合，这样能给多的时空让学生自主探索索， 动手操作与合作交流，使学生思维更主动、更灵活、更广阔、更深刻、更有利于 良好的思维品质的培养，更有利于学生思维的系统性和深刻性，更有利于学生的 未来发展。 类比的数学思想 所谓类比推理是根据两个( 或两类) 不同的对象在某些方面( 属性、关系、 特征、形式等) 有相同或相似性, 猜测它们在其他方面也可能相同或相似, 即把 信息从一个对象转移到另一个对象, 并作出某种判断的推理方法. 类比的实质 就是信息从模型向原型的转移, 恰当地运用类比可以有效地培养学生发现问题、 提出问题、解决问题的能力。 波利亚关于为何要学习数学的精彩阐述 一个重大的发现可以解决一道重大的题目，但是在解答任何一道题目的过 程中都会有点滴的发现。你要解答的题目可能很平常，但是如果它激起你的好奇 心，并使你的创造力发挥出来，而且如果你用自己的方法解决了它，那么你就能 经历那种紧张状态，而且享受那种发现的喜悦。在一个易受外界影响的年龄段， 这样的经历可能会培养出对智力思考的爱好，并对思想和性格留下终生的影响。 因此，一位数学教师就有着很大的机会。如果他所分配给他的时间都用来让学生 操练一些常规运算，那么他就会扼杀他们的兴趣，阻碍他们的智力发展，从而错 失他的良机。相反地，一些激励性的问题去帮助他们解答题目，那么他就能培养 学生对独立思考的兴趣，并教给他们某些方法。 如果一个学生的大学课程中包含了某些数学科目，那么他也就有了一个有 独特的机会。当然，如果他把数学看成是一门这样的课程，他必须从中得到多少 多少学分，而在期末考试后则应尽可能快地把它遗忘掉，那么他就失掉了这个机会。即使这个学生数学上有些天赋，他也有可能会失掉这一机会，因为和任何其 他人一样，他必须去发现他自己的天赋和兴趣。要是他从未尝过树莓馅饼，他也 就不可能知道自己会喜欢树莓馅饼。然而，他却有可能发现一道数学题目会如同 一个纵横字谜游戏一样有趣，或者发现充满活力的思维练习就像一场激烈的网球 比赛一样令人神往。在尝到了数学带来的乐趣以后，他就不会轻易地忘记，于是 数学就很有机会成为他生活中的一部分：一种爱好，或者他专业工作中的一种工 具，或者是他的职业，或者是一种崇高的抱负。 －－－涂泓 冯承天 译 波利亚简介 波利亚（George Polya，1887－1985），美国著名数学家和数学教育家。出 生于匈牙利，1940 年移居美国，历任布朗大学和斯坦福大学的教授。美国国家 科学院院士、美国艺术和科学院院士。其数学研究涉及复变函数、概率论、数论、 数学分析、组合数学等众多领域。 数学浅谈 张五常 数学是一门很特殊的学问。怕数学的学生数之不尽。对一门学问产生了畏惧 之心，要学得好就困难之极。是的，在学校的众多科目中，怕数学的人远比任何 其它科目多。另一方面，一些学生——小部分的学生——似乎天生下来就不怕数 学，考试时易如反掌似的。在这些喜欢数学的学生中，有一部分根本不用做什么 功课。平常只听听课，翻翻书，就名列前茅。 善数的人显然有点天分，有点不容易理解的天分。我曾经提及，数学天才与 下棋天才有一点共同之处：他们的「奇异功能」来得很早。但除此之外，数学与 下棋的天分似乎没有一定的关联。很多人认为这二者息息相关，但我知道的反证 例子不胜枚举。我在这个有趣的问题上想了很久，其答案是：下棋的本领是对未 来变化的推断，数学的本领是左右相等变化的推理，二者截然不同。下棋没有 （量），没有相等这回事，而（相等）却是数学的灵魂。 假若我们一定要找一种与数学有关的天才，那么绝大部分的读者做梦也想不 到是什么。我的答案是：数学天分与音乐天分有一定的关系！这个关系可不是我 发现的。几年前我读过一篇关于这（关系）的报道，后来偶有机会，就在自己所 知的例子中加以引证，其结果差不多十无一失。当然，懂音乐的人可能完全不懂 数学，懂数学的可能不是知音人，但一个善（数）或善（音）的人，懂其一不懂 其二，若要二者兼得，会是(顺理成章)的容易事。 对数学与音乐相关这一怪现象，我也想了很久。我的答案是，撇开对耳朵有 毛病的例外者不说，音乐与数学有一个重要的共同处：二者都是以符号代替某种 量；而(量)的相等（或不相等），于数学与音乐都同样重要。是的，音律的高低、 强弱、快慢、长短，都是量，都是以符号代表的。这些，在概念上，数学与音乐 相同。下棋既没有量，也没有符号，所以与数学的天分就没有什么牵连。 数学与音乐还有一个共同处：这二者的天才往往在很年轻时表现出来。这一 点，下棋的天才也类似。可能因为下棋与数学的天才都有早发的现象，而二者的 逐步推理也有相同之处，所以就使人认为这二者有一定的关联了。我个人的观点 是：推理的能力在任何学问上都重要，所以我们难以「推理」的理由来判断某两 项造诣所独有的关联；但（量）与（符号）是很特别的因素，而这二者似乎只有 数学与音乐是不可或缺而（并重）的。 我可以把自己作为一个例子，将以上的有趣问题分析一下。在经济学者中， 我的数学水平实在平平无奇。史德拉曾经对人说：（当世运用数学的经济学者只 有三人：艾智仁、高斯、张五常。）这显然是夸张一点。艾智仁的数学本领不俗。 我不怕数，在大学时学数学很快上手。问题是，学懂了的数，我过不了多时就忘 记了。在统计学上我的经验也是如此。 奇怪的是，我对数学的记忆力差，但在其它科目上我的记忆力很强。抽象推 理的能力，我也是可以的。我的数学本领平平，不是因为我不明白，也不是因为 我推理上有困难，而是因为容易忘记。（符号）与（量）相连的记忆，我有所不 逮。于是，在左调右调的相等（符号）与（量）的数学中，我很容易一下子把方 程式忘掉了。 假若我对自己上述的分析是正确的话，那么不善于数学的人是有一个颇为特 别的弱点。我学数学学得快，是因为推理推得快。不幸的是，我忘记得也快。我 不怕数学，是因为在学问上我是个天不怕、地不怕的人。在经济学上我少用数学， 不是因为我怕用，而是因为既然在推理上可以层次井然，就认为无须刻意地把数 学强记而用之。 后学的人也许从我的经验中能得到一些启发。怕数学，既不治标，也不治本。 若对数学胆怯，敬而远之，怎可以学到？数学的天分，像音乐一样，很奇特。不 放胆尝试就不能发掘自己那方面的才能。就算没有天分、不善数的人的弱点也很 奇特，有这弱点的人应该不多。就算有弱点吧，只要不胆怯，勇往直前，还是大 有可为的。 我认为怕学数学，是因为数学是另一种语言。任何人初学一种语言，都会因 陌生而产生某程度的恐惧感。文字（语言）也是一种符号，而数学是符号加「量」 及相等的推理。这是说，数学是一种特殊的语言了。于是，初学的人就会一怕再 怕，怕得心惊胆战，不敢问津。 要学数学，首先要理解数学是什么的一回事。我不明白为什么中、小学的数 学老师们，从来不在这方面详加说明。学生对一种学问不知大概，会避之惟恐不 及，而彷佛只有生来有天分的才可窥其门径。这也许解释了为什么善「数」与不 善「数」的学生有那样大的差别。 张五常简介 张五常，男，1935 年出生于香港。国际知名经济学家，新制度经济学和现 代产权经济学的创始人之一。他以《佃农理论》和《蜜蜂的神话》两篇文章享誉 学界。