《换底公式》教学设计

教学设计 教学内容解析 本课是在学习了对数的概念和运算性质的基础上来研究换底公式，利用换底 公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法，一般利用它将对数转化为 常用对数或自然对数来计算；在具体解题过程中，不仅要能正用换底公式，还要 能熟练地逆用换底公式.另外还安排了两个对数的应用问题，使学生进一步认识 到数学在现实生活、生产中的重要作用. 教材通过实例研究引出换底公式，既明确学习换底公式的必要性，同时也在 公式推导中应用对数的概念和对数的运算性质，在教学中可以根据学生的不同基 础适当地增加具体实例，便于学生理解换底公式的本质，培养学生从具体的实例 中抽象出一般公式的能力. 教学目标设置 1.知识与技能 （1）掌握对数的换底公式，能推导和证明换底公式；（重点） （2）会用换底公式进行化简、求值.（难点、易混点） 2.过程与方法 学生通过问题的驱动自主学习、合作探究，经历推导换底公式的过程，提高学生 分析问题的能力，培养学生转化思想的能力. 3.情感态度与价值观 让学生探究对数的换底公式，培养学生的探究意识，培养学生严谨的思维品质， 感受对数的广泛应用，增强学习的积极性. 学生学情分析 对 数 是 一 个 全 新 的 概 念 ， 对 数 运 算 是 一 种 类 似 于 但 又 不 同 于 实 数 的 加 减 乘 除运算及指数运算的全新运算.要探究并证明对数换底公式，学生是有相当难度的，但是通过前两节的学习，学生能够利用对数定义 及对数的运算性质进行对数式与指数式的相互转化、对数计算，之前学生还 熟知指数的运算性质.有这些已有知识作为基础，教师再设计合理的导学案，是 能让学生主动参与课堂的，并能自主完成对数换底公式其性质的探究、发现、证 明、应用的全过程的. 教学策略分析 这节课安排了“温故知新”“新知探究”“典例讲解”“当堂检测”“课堂小结” “作业布置” 六个教学环节，它是在教师引导下，通过学生积极思考，主动探 求，从而实现教学目的要求，完成教学任务的一种教学方法。这种教学方法一般 适用于那些与前面知识联系紧密的教学内容。只要学生掌握好旧知识，再经过分 析、综合、归纳、推理就能导出所学内容。如许多定理、公式、性质、法则的教 学，采用这种教学方法，学生学习积极性高，因而教学效率高，效果好。同时对 完善学生的认知过程，提高他们分析解决问题的能力都大有裨益。在课堂上，由 于学生的大脑处于高度兴奋、积极思考、欲罢不能的状态下，因而有助于培养和 发展学生创造性思维的能力。当然“教学有法，教无定法。”在教学方法上不能 千篇一律，应根据不同教材，不同学生而定。 教学过程 4.2 换底公式 温故知新 一、对数的运算法则： 则有：如果 ,0,0,1,0 >>≠> NMaa NMMN aaa loglog)(log)1( +=二、对数的运算法则应用的前提是什么？ （教师：底数相同） 如果底数不同怎么办？ 新知探究 已知对数 。 1.你能计算出它们各自的值吗？ 2. 的值有什么关系吗？ 问题: 科学计算器通常只能对常用对数或自然对数进行计算， 怎么计算？ 设 ,有   两边取以 10 为底的对数,得 而 ，所以 所以 这样我们可以用科学计算器中“log” NMN M aaa loglog)(log)2( −= MnM a n a loglog)3( = 64log8log64log 228 ，， 664log38log264log 228 === ，， 64log8log64log 228 ，， 8log 64log64log 2 2 8 = 15log2 15log2=x 152 =x x2lg15lg = 2lg2lg xx = 15lg2lg =x 2lg 15lg=x计算出 如果对式两边同时取自然对数得 这样我们可以用科学计算器中“ln”计算出 因此 以及 我们能得到什么规律呢？ 对数换底公式 证明: 设 ,根据对数定义,有 . 两边取以 a 为底的对数,得 . 而 ,所以 . 由于 b≠1,则 ,解出 x 得 2ln 15ln 2lg 15lg15log2 == 8log 64log64log 2 2 8 = ( ).0,1,,0,log loglog >≠>= Nbabab NN a a b .9068906.32lg 15lg15log2 ≈= 2ln 15ln=x 9068906.32ln 15ln15log2 ≈= Nx blog= xbN = x aa bN loglog = bxb a x a loglog = bxN aa loglog = 0log ≠ba b Nx a a log log= b NN a a b log loglog =∴换底公式好神奇 换成新底可任意 原底加底变分母 真数加底变分子 典例讲解 1.计算： （1） ；（2） ；（3） 解: (1) 当堂检测 1.利用换底公式计算下列各式: ； 。 解： 公式推论： 9log 27 2 3log 3 log 2⋅ 8 27log 9 log 32⋅ 3 9 2 lg 27 lg3 3log 27 lg9 lg3 2 = = = 13lg 2lg 2lg 3lg2log3log)2( 32 =⋅=⋅ 9 10 3lg3 2lg5 2lg3 3lg2 3lg 2lg 2lg 3lg32log9log)3( 3 5 3 2 278 =⋅=⋅=⋅ 3log5log4log)1( 543 ⋅⋅ 9log4log25log)2( 532 ⋅⋅ 15lg 3lg 4lg 5lg 3lg 4lg1 =××=）原式（ 85lg 3lg 3lg 2lg 2lg 5lg 5lg 9lg 3lg 4lg 2lg 25lg2 222 =××=××=）原式（推论 1： 证明：由 ，令 即可得到 推论 2： 证明： 典例讲解 2.计算： （1） ；（2） ；（3） (2) 当堂检测 2.计算（课本第 86 页 练习 2） 1)1( ab b a log 1log = b NN a a b log loglog = aN = ab b a log 1log = bm nb a n am loglog = bm n m bn a bb a a m a n an am loglog log loglog === 2 3log 3 log 2⋅ 9log 27 8 27log 9 log 32⋅ 2 3 9 33 3 3log 27 log 3 log 32 2 = = = 3 3 2 5 8 27 2 3 2 3 (3)log 9 log 32 log 3 log 2 2 5 10log 3 log 23 3 9 ⋅ = ⋅ = ⋅ = ( ) ( ) 9 3 2 2 3 5 1 lo g 8 lo g 2 7 ; 1 1 12 lo g lo g lo g .1 2 5 3 2 3    典例讲解 解： 当堂检测 解 10 9 2lg5 3lg3 3lg2 2lg3 32lg 27lg 9lg 8lg27log8log1 329 =⋅=⋅=⋅）解：（ b ba +=+== 3lg 3lg2lg 3lg 6lg6log(1) 3 b a−=−=== 1 3lg 2lg1 3lg 2 10lg 3lg 5lg5log(2) 3 ba ba + +=+ + +== 2 )(2 3lg2lg2 )3lg2(lg2 3lg4lg 6lg2 12lg 36lg36log(3) 12 15 5lg 3lg 3lg 2lg5 2lg 5lg3 5lg 3 1lg 3lg 32 1lg 2lg 125 1lg 3 1log32 1log125 1log)2( 532 −= −⋅−⋅−= ⋅⋅= ⋅⋅ 3 3 1 2 3 . lg 2 , lg 3 , , lo g 6; ( 2 )lo g 5; (3)lo g 3 6 . a b a b= =若 请 用 表 示 下 列 各 式 的 值 。 （ 1） 7 7 4 83 . lo g 3 , lo g 2 , , lo g 4 9 .a b a b= =已 知 试 用 表 示课堂小结 本节课我们学到了哪些知识？ 有什么收获？ 1.对数换底公式： 2.两个重要结论： ； 3.转化思想： （1）“对数式”与“指数式”的互化 （2）“不同底”化“同底”。 作业布置： 必做题： 1.课本第 88 页 习题 B 组 第四题 2. 选做题 3.已知 ，求 的值 63log,7log,2log 2133 表示、用若 baba == ba 4 2 3log2log4 2 3log2log 2 )32(log 2 48log 49log49log 777 4 7 4 77 7 48 +=+=+=×== ( ).0,1,,0,log loglog >≠>= Nbabab NN a a b bm nbba a n aab m loglog)2(1loglog)1( ==⋅ )2lg(2lglg yxyx −=+ y x 2log