西师大版数学六年级下册2.2.2 圆锥的体积(一)教案

2.2.2 圆锥的体积(一)  教学内容： 教科书第 32 页例 2、例 3，教材第 33 页课堂活动第 2 题及教材第 34 页练习九的第 2～ 5 题。  教学提示： 怎样计算圆锥的体积呢？ 教科书中的例 2 改变了过去用等底等高的圆柱、圆锥容器装沙（水）的办法，而采用如 下图所示的实验方法推导圆锥的体积计算公式：首先提出圆锥体积也等于底面积乘高的猜想， 接着进行实验：把等底等高的实心圆柱和实心圆锥分别没入同一个水槽的水中，再分别记录 下实心圆柱和实心圆锥没入水中后水位上升的厘米数。最后根据实验发现水槽中水上升部分 的体积与圆柱、圆锥体积的关系，让学生发现圆锥没入水中后，水位上升的高度只有圆柱没 入水中时水位上升高度的 。通过这一探索活动，引导学生由圆柱体积推导出圆锥体积公 式 V＝ Sh。 例 3 是对圆锥体积计算公式的直接应用，教学时，可先让学生自己说一说铅锤是什么形 状，怎样计算它的体积，然后独立地运用圆锥体积公式计算出铅锤的体积。  教学目标： 1.知识与技：通过学生参与实验，从而推导出圆锥体积的计算公式，并运用公式计算圆 锥的体积；解决一些有关圆锥体积的实际问题。 2.过程与方法：通过实验推导圆锥体积公式的过程，增强学生的实践操作能力，并培养 学生观察、比较、分析、总结归纳的学习方法。 3.情感、态度与价值观：通过实验，引导学生探索知识的内在联系，渗透转化思想，并 感受发现知识的快乐，激发学习的兴趣，感受数学与生活的密切联系，培养学数学、用数学 的乐趣。  重点难点： 教学重点：理解并掌握圆锥的体积计算公式，能利用圆锥的体积公式解决简单的问题。 教学难点：圆锥体积公式的推导。  教学准备: 教具准备：多媒体课件、等底等高的实心圆柱与圆锥、水槽。 学具准备：等底等高的实心圆柱与圆锥学具、水槽、直尺。 3 1 3 1 教学过程： （一）新课导入 如右图，一个圆柱形物体和一个圆 锥形物体，它们的底相等，圆柱的高是 10 厘米，圆锥的高是 15 厘米，这两个物体 哪一个的体积大呢？ 谁能解决这个问题？ 教师抽学生回答问题。 预设：可能会出现以下几种情形： 第一种学生会认圆柱的体积大。 第二种学生会认圆锥的体积大。 第三种学生会认为不能确定，理由是不知道谁的体积积大，无法比较。 提示：看来这不是一件容易的事情，解决这个问题的关键在哪里？ 预设：学生明白首先要求出圆锥形物体的体积。 怎样计算圆锥的体积？这节课我们一起研究圆锥体积的计算方法。 【设计意图：创设的情境，使枯燥的数学问题变为活生生的生活实际，让数学充满生命 力，提出有一个富有挑战性的数学问题，从而引发学生进一步探究的强烈欲望。】 （二）探究新知 1.提出猜想 谁来猜猜圆锥的体积怎么算？ 预设：圆柱和圆锥的底面都是圆的，它们之间可能有联系，可不可以把圆锥变成圆柱， 求出圆柱的体积，从而得出圆锥的体积…… 2.实验探究 圆锥的体积和圆柱的体积之间究竟有没有关系呢？如果有关系的话，它们之间又是一种 什么关系？通过什么办法才能找到它们之间的关系呢？带着这些问题，请同学们分组研究， 通过实验寻找答案。 布置任务并提出要求。 每个小组的桌上都有准备好的器材：等底等高的实心的圆柱和圆锥、水、水槽等器材。 四个人组成一个小组，每个小组的成员分工合作，利用提供的器材共同想办法解决问题，找 出圆锥体积的计算方法。根据小组研究方法写好记录。 学生小组合作探究，教师巡视指导，参与学生的活动。 3．小组交流汇报实验结论 各小组交流实验方法和结果。 你们采用了哪些方法研究等底等高的圆柱和圆锥之间的关系？ 通过实验，你们发现了什么？ 投影展示：××小组 把实心圆锥没入水中后，水面升高了 3 厘米。 把实心圆柱没入水中后，水面升高了 9 厘米。 结论：圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的 。 听取其他小组的汇报，得出相同的结论。 4．公式推导 圆柱的体积怎样计算？圆锥的体积又怎样计算？ 教师引导学生理解只要求出与这个圆锥等底等高的圆柱的体积，再乘以三分之一，就得 到圆锥的体积。 圆锥的体积= ×底面积×高 圆柱的体积用字母 V 表示，圆锥的体积也用字母 V 表示。 怎样用字母表示圆锥的体积公式？ V= ×S×h 【设计意图：大胆放手，让学生自主探索，经历“再创造”的过程。学生在教师的引导 下，通过观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，积极主动地发现了等底等高的 圆柱与圆锥体积间的关系，进而推导出圆锥体积的计算公式。】 5.巩固运用 教学例 3，出示例 3 的问题 一个铅锤高 6 cm，底面半径 4 cm。这个铅锤的体积是多少立方厘米？ 引导学生找出题中的条件和问题并引导学生弄清铅锤的形状是圆锥形。 学生独立解答。抽学生上台展示解答情况并说出思考过程。 【设计意图：推导出圆锥的体积计算公式之后，紧跟着教学例 3，及时运用公式计算， 使所学知识得到及时的巩固，有利于学生对知识的掌握。】 3 1 3 1 3 1（三）巩固新知 完成教科书第 34 页练习九第 2 题，第 2 题中的三个圆锥分别给出了底面直径和高，底 面半径和高，底面周长和高，可以引导学生先求出圆锥的底面积，再利用公式求解，提醒学 生在计算时不要漏乘 。 （四）达标反馈 1.判断题。 （1）圆锥的体积是圆柱体积的 。 （ ） （2）如果一个圆锥的体积是一个圆柱体积的 ，那么它们等底等高。 （ ） 2.填空题。 （1）一个圆柱体积是 18 立方厘米，与它等底等高的圆锥的体积是（ ）立方厘米。 （2）一个圆锥的体积是 18 立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积是（ ）立方厘米。 3.一个圆锥的底面半径是 6 厘米，高是 4 厘米，求它的体积。 答案： 1.（1）× （2）× 2.（1）6 （2）54 3. ×3.14×6²×4=150.72（立方厘米） （五）课堂小结 在这节课的学习中，你都有哪些收获？有关圆锥体积的知识还有哪些不清楚的？ 【设计意图：通过让学生谈收获，总结本节课所学知识，找出本节课所学知识的重点， 加深学生对知识的记忆和理解，同时可以发现学生哪些知识还没掌握，及时采取补救措施。】 （六）布置作业 1.填一填。 （1）圆柱的体积字母表达式是（ ），圆锥的体积字母表达式是（ ）。 （2）等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的（ ）倍。 2.求下列圆锥体的体积。 （1）底面半径 4 厘米，高 6 厘米。 3 1 3 1 3 1 3 1（2）底面直径 6 分米，高 8 厘米。 （3）底面周长 31.4 厘米，高 12 厘米。 答案： 1.（1） V=Sh V= Sh （2）3 2.（1） ×3.14 ×4 ²×6 = 100.48（立方厘米） （2） ×3.14×（60÷2）²×8 = 7536（立方厘米） （3） ×3.14×（31.4÷3.14÷2）²×12 = 314（立方厘米）  板书设计 圆锥的体积（一） 圆柱的体积＝底面积×高 Ｖ＝Ｓh 圆锥的体积＝ ×底面积×高 Ｖ＝ Ｓh ×3.14×42×6 =3.14×42×2 =100.48（立方厘米）  教学资料包 （一） 教学精彩片段 《圆锥的体积》教学片断 创设情境导入新课 1.投影呈现出情境 小白兔去买了一个圆柱形的雪糕，狐狸看见了，它也去买了一个圆锥形的雪糕，小白兔 刚想吃，狐狸拿着一个圆锥形的雪糕跑过来。 2.引导学生围绕问题展开讨论 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 问题一：狐狸狡猾的问：“小白兔，用我手中的雪糕跟你换，怎么样？”（如果这时小 白兔和狐狸换了雪糕，你觉得小白兔有没有上当？） 问题二：狐狸手上又多出了一个同样大小的圆锥形的雪糕。（小白兔这时和狐狸换雪糕， 你觉得公平吗？） 问题三：如果你是小白兔，狐狸手中的圆锥形雪糕有几个，你才肯交换？（小组讨论汇 报） 师：小白兔究竟跟狐狸怎样交换才公平呢？学习了圆锥的体积后，你就会明白。 【设计意图：创设的情境，使枯燥的数学问题变为活生生的生活实际，让数学充满生命 力，提出有一个富有挑战性的数学问题，从而引发学生进一步探究的强烈欲望。】 （二） 数学资源 1.求等底等高圆锥(圆柱)的体积 （1）圆柱的体积是 15 立方米，圆锥的体积是( )立方米。 （2）圆锥的体积是 75 立方厘米，圆柱的体积是( ) 立方厘米。 （3）圆柱的体积是 159 立方厘米，圆锥的体积是( ) 立方厘米。 2.判断对错： （1）圆柱体积是圆锥体积的 3 倍．（ ） （2）圆柱的体积大于与它等底等高的圆锥的体积。（ ） （3）圆锥的高是圆柱高的 3 倍，它们的体积一定相等。（ ） 答案：1.（1）5 （2）225 （3）53 2.（1）×（2）√ （3）× 资料链接 中国古代数学在几何学中的贡献 中国是世界文明发达最早的国家之一，与古代埃及、印度、巴比伦并称为四大文明古国。 在绵延不断的五千年文明史中，中华民族集累了极其丰富的文化遗产。 在这个多姿多彩的历史文化宝库中，数学无疑是其中一颗特别璀璨的明珠。它在世界数 学史上，乃至在整个人类文明发展史上都光彩夺目，具有极其重要的地位和价值。中国古代 的数学成就如同造纸、火药、指南针、印刷术这四大发明一样，是中华民族对世界文明的一 项重大贡献，是值得炎黄子孙珍视的一份骄傲。 几何是一门古老的学科，它是在人们的生产和生活等实践活动中逐步形成和发展起来的。 “几何”是一个翻译名词，由我国明代科学家徐光启首先使用．但是我国古代劳动人民在长 期的生产劳动和社会生活中早已积累了大量的几何知识，其成就是十分突出的，如流传至今的《墨经》、《周髀算经》、《九章算术》等自然科学和数学著作，都记载下了很多几何方 面的知识。 《九章算术》 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中 最重要的一种。魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九 章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残， 各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”。根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经 做过增补。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。《汉书艺 文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种， 并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。《后汉书马援传》载其侄孙马 续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元 1 世纪最后二、三十年时人。再根据《九章算 术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元 1 世纪的下半叶。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。