3.3.1 反比例的意义教案

3.3.1 反比例的意义  教学内容： 教科书第 48 页例 1 以及例 1 后面的试一试、议一议、说一说，教科书第 49～50 页 课堂活动及教科书第 50 页练习十三 1～3 题。  教学提示： 教科书利用游客分组的事件设计了例 1，例 1 利用表格反映总人数一定，分的组数 随每组人数的变化而变化的规律。这一规律主要由学生自己去探索发现，教科书作了两 点提示：一是每组的人数扩大，组数反而缩小……二是每组人数和组数的乘积是一定的， 并且把这种乘积一定具体落实到问题中“游客总人数不变”上去。这两点提示，前者反 映了两种相关联的量的变化趋势（一种量扩大，另一种量反而缩小），后者则表达了两种 量变化的倍数相同。很明显，教科书的提示是针对反比例的本质属性而设计的。为了增 强学生对反比例中两种相关联的量之间变化规律的实际感受，同正比例的编排方式一样， 教科书在例 1 的后面也安排一个“试一试”的探索活动。让学生探索一篇稿子在总字数 不变的情况下，每分钟打字的字数与打字时间之间的变化规律。这一内容教科书未作任 何提示，完全由学生自己去探索发现，这主要是考虑到学生通过前面正比例和反比例例 1 的学习已基本具备这种探索能力，适当增强学习的挑战性，有利于学生学习能力的提高。 教科书还安排了概括反比例意义的讨论。与正比例一样，仍然用问题“从上面的两个例 子中，你发现了什么”引出讨论。教科书用两个人的对话概括出了反比例量和反比例关 系的概念及其本质属性：首先，教科书从两种相关联的量之间的变化规律揭示了反比例 的本质属性，即一种量扩大或缩小若干倍，另一种量反而缩小或扩大相同的倍数。然后， 在左边的对话框里又指出“相对应的两个数的乘积是一定的”，进一步完善反比例的本质 特征。最后，教科书指出像上面这样的两种量叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比 例关系。至此，教科书对反比例的意义作出了完整的概括。为了及时强化学生对反比例 意义的理解，教科书还安排了让学生说一说生活中成反比例的量，这对加深反比例意义 的理解，突出反比例与生活的联系都是有用的。  教学目标： 1.知识与技能：使学生认识反比例关系的意义，理解、掌握成反比例量的变规律及其特 征，能依据反比例的意义判断两种量成不成反比例关系。 2.过程与方法：在教学中培养学生观察、学析、综合和概括等能力，让学生掌握和判断两种相关联的量成不成反比例的方法，培养学生判断推理的能力。 3.情感、态度、价值观：使学生在自主探索合作交流中体验成功的愉悦，进一步树立学 习数学的自信心，同时在教学中渗透事物之间是相互联系和相互转化的辨证唯物主义的观点。  重点难点： 教学重点：引导学生正确理解反比例的意义。 教学难点：正确判断两种量是否成反比例。  教学准备: 教具准备：多媒体课件 学具准备：每个学生自己制作一个周长为 30 cm 的长方形。  教学过程： （一）新课导入 情景游戏：对口令 一共有 30 个苹果分给小朋友。老师说出小朋友的人数，学生回答分得的苹果个数。 师：1 生：30 师：2 生：15 …… 整理成下表： 从这个表中，你有什么发现？ 反馈：小朋友的人数与每个小朋友分的个数的乘积都是 30；它们是相关联的两种量； 小朋友的人数越多，每个小朋友分得的苹果个数就越少…… 提问：小朋友的人数与每个小朋友分得的苹果个数成正比例吗？为什么？ 教师：那么这两种量到底是一种什么关系呢？今天我们就一起来学习新的知识。 【设计意图：选取学生身边的生活实例引入新课，吸引学生的注意力，激发学生的探究 欲。】 （二）探究新知 1.感知不同的变化规律 （出示教课书书第 48 页例 1 情景图） （1）某旅游公司的导游带领 60 名游客来到井冈山游览，准备分组活动，提出的分组建 议如下表。 谁来说说，你是怎样算每组人数和组数的？ 抽几名学生说出自己的计算方法。 从这个表中你发现了什么规律？ 反馈：总人数 60 人没变，每组人数和组数的乘积是一定的；每组的人数在扩大，组数 反而缩小…… （2）游览的第一天晚上，导游写了一篇情况总结，要把它存入电脑。 必须先算出哪个量？为什么？ 学生独立计算，然后集体订正。 2.概括意义 请同学们分组讨论。教师巡视，听取各小组意见，加强指导。 汇报交流 学生 1：每个表中的两种量都相关联。（板书：相关联） 学生 2：一种量变化另一种量也随着变化。 学生 3：从变化规律上看，（1）表中，人数越多，每人分得的个数越少，人数越少，每 人分得的个数越多。 学生 4：（2）表中，每分打字的个数越少，所需要的时间反而越多…… 教师简单概括：一种量扩大或缩小若干倍，另一种量反而缩小或扩大相同的倍数。两种 量的变化方向正好相反。（板书：反） 学生 5：表中两种量相对应的两个数的乘积是一定的。（板书：积） 3.概括得出反比例的意义 教师根据学生的回答，引导学生概括得出： ①两种相关联的量。 ②一种量扩大或缩小若干倍，另一种量反而缩小或扩大相同的倍数。 ③两种量相对应的两个数的乘积是一定的。 这是你们自己总结概括出来的结论，那么，你能给它们取个名字吗？ 像这样的两种量，叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 【设计意图：成功的概念教学要在得出概念之前下功夫，要设计多种教学环节，利用各 种教学手段使学生充分体验得出概念的思维过程。】 4.举例 抽生说一说生活中还有哪些成反比例的量。 学生 1：路程一定，所行的时间与速度成反比例。 学生 2：砖的总块数一定，每次搬的块数与搬的次数。 学生 3：大米的总质量一定，平均分的份数与每份的质量。 …… 【设计意图：通过找一找环节，学生说出生活中成反比例的例子，让学生感受到了反比 例关系在生活中的广泛应用。】 5.直观操作，加深理解 （1）完成第 49 页课堂活动 1 题 教师：请同学们看第 1 题的要求。哪位同学愿意说说你看了题目后的想法？ 反馈：用 24 个边长为 1 cm 的正方形拼一个长方形应该有很多种拼法；拼出来的长方形 可能会有不同的形状；长和宽是否成反比例必须要填表后观察才能得出。 教师：看来这是一个开放性的问题，下面我把拼和填表的任务交给同学们，大家亲自动 手试一试，看到底有什么结果？ 学生独立活动，教师参与其中，然后教师再展示出学生所填表格，面向全体学生进行评 价。 教师：认真观察上表，你有什么发现？表中的长和宽成反比例吗？ 学生独立思考后，反馈：长和宽是两种相关联的量，当宽扩大几倍时，长反而缩小相同 的倍数，长×宽=长方形的面积（24 cm2 一定），所以在上表中，长和宽成反比例。 （2）完成第 49 页课堂活动 2 题 放手让学生独立操作，独立思考当宽一定时，长方形的面积和长成什么比例？展示所填 表格，然后抽生说出自己的判断及其理由。 （3）完成第 50 页课堂活动 3 题 分组合作：要求将小组内每人制作的一个周长为 30 cm 的长方形的长和宽的数据填入表 中，再观察讨论，你认为在上表中，长和宽成比例吗？为什么？ 小组讨论后，再汇报交流：长方形周长一定时，长和宽不成比例。 【设计意图：让学生联系已有的知识，使新旧知识有机结合，帮助学生建立起良好的认 知结构，同时也是对数量关系一次很好的整理复习机会。】 （三）巩固新知 完成练习十三 1～3 题，主要抓住正比例的本质属性“商一定”，反比例的本质属性“积 一定”，要求学生独立完成，再集体订正。 （四）达标反馈 1.填一填。 （1）比的前项一定，比的后项和比值成（ ）比例。 （2）平行四边形的面积一定，它的底和高成（ ）比例。 （3）烧煤的天数一定，每天的烧煤量和煤的总量成（ ）比例。 （4）长方形的周长一定，它的长和宽（ ）比例。 2.x 与 y 成反比例关系，根据条件完成下表。 答案：1.（1）反 （2）反（3）正（4）不成 2.如下表。 （五）课堂小结 这节课学习的是什么内容?反比例关系的意义是什么?用怎样的式子表示 x 和 y 这两种 相关联的量成反比例?判断两种量是不是成反比例，关键是什么? 【设计意图：通过简要的课堂小结，帮助学生对所学内容进行归纳、概括，强化重点， 加深理解和记忆，使学生对本节课的内容有一个系统、完整的认识和准确的把握。并在此基 础上，留给学生进一步思考的问题。】 （六）布置作业 1.判断对错。（对的在括号里画“√”，错的在括号里画“×”） （1）正方形的边长与面积成正比例 。 （ ） （2）班级学生的总人数一定，出勤率与缺勤率成反比例。 （ ） （3）圆的周长与直径不成比例。 （ ） （4）同时同地树高与影长成正比例。 （ ） 2.x 与 y 成反比例关系，根据条件完成下表。 答案：1.（1）× （2）×（3）×（4）√ 2.如下图。  板书设计 反比例的意义 ①两种相关联的量。 ②一种量扩大或缩小若干倍，另一种量反而缩小或扩大相同的倍数。 ③两种量相对应的两个数的乘积是一定的。 像这样的两种量，叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 教学资料包 （一） 教学精彩片段 《反比例的意义》教学片断 教科书第 49 页课堂活动第 1 题。 教师：请同学们打开书第 49 页看第 1 题的要求。哪位同学愿意向大家说说你看了题目 要求后的想法吗？ 学生：我想，用 24 个边长为 1 cm 的正方形拼一个长方形可能有很多种拼法。 学生：拼出来的长方形可能会有不同的形状。 学生：所拼出来的长方形是不是成反比例，必须要通过填表后观察才能得出。 教师：同学们讨论得很好，看来这是一个开放性的问题，下面我把拼和填表的任务交给 同学们，大家亲自动手试一试，看到底有什么结果？ 学生独立活动，教师参与其中，然后，教师在展示台上展示出学生所填的表格，面向全 体进行评价，通过评价整理得到下面的表格： 教师：认真观察上表，你有什么发现？表中的长和宽成反比例吗？同学们可以分小组交 流一下。学生活动。 教师：谁愿意和大家交流交流？说说你的想法。 学生 1：从表中可以看出，长和宽是两种相关联的量，当宽 1cm 时，长是 24cm；当宽 变成 2cm 时，长就变成了 12cm。两种相关联的量成反比例关系。 …… 【设计意图：为了让学生多角度、多层次地观察与思考，老师并没有包办代替，而是引 导学生采用主动参与，亲身体验，最后得出正确结论的学习策略。教师充分发挥了自己的创 造性，尝试了“个性化的教学”，尊重了学生的个性差异，激活了学生的创造性思维，收到 了良好的教学效果。】 （二） 数学资源 1. 用 60 元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表，表格中两种量之间 有关系吗？有什么关系？ 2.用一批纸装订练习本，每本 25 页，可以装订 400 本。如果要装订 500 本，每本有 x 页。题目中（ ）一定，关系式：（ ）○（ ）＝（ ）（一定），（ ）和 （ ）成（ ）比例。 3.在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中 当底面周长一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例；当高一定时，（ ）与（ ）成 （ ）比例；当侧面积一定时，（ ）与（ ）成（ ）比例。 答案： 1.有关系，成反比例关系。 2.总页数 每本页数 × 本数 总页数 每本页数 本数 反 3.侧面积 高 正 侧面积 底面周长 正 底面周长 高 反 资料链接 井冈山 井冈山（Jinggangshan）位于江西省吉安市井冈山市，是国家 5A 级旅游景区、国家级 自然保护区、全国红色旅游景区、世界生物圈保护区。 该景区地处湘东赣西边界，南岭北支、罗霄山脉中段。泰井高速、吉井铁路、江西 321 省道可直达。距吉安市中心城区吉州区约 130 公里，距井冈山市新城区（红星街道）35 公 里。是集人文景观、自然风光和高山田园为一体的山岳型风景旅游区。 2015 年 7 月德国波恩召开的第 39 届世界遗产大会上，联合国教科文组织将井冈山-北 武夷山（武夷山拓展项目）正式列入世界遗产预备名录。 历史沿革 井冈山风景名胜区在东汉年间已开始有人居住。 秦朝设郡县制时，为九江郡庐陵县的 属地。公元 280 年西晋太康年间，为庐陵郡西昌、遂兴两县分治。唐朝显庆年间（658 年）， 改为江南西道吉州府属地。明、清以来，隶属于江西行省吉安府永新、龙泉（现遂川）两县 分治。 1927 年 10 月--1939 年 2 月间，湘赣边界形成“工农武装割据”的态势，井冈山境内曾 设“（永）新遂（川）边陲特别区”，直属湘赣边界工农兵政府领导。 1950 年，成立“井冈山特别区”。 1959 年 7 月，经国务院批准成立“井冈山管理局”，属江西省人民委员会直接领导。 1966 年——1976 年，“井冈山革命委员会”属吉安地区管辖。 1977 年，恢复省辖的“井冈山管理局”。 1981 年 11 月，改为“井冈山县”，由吉安地区管辖。 1984 年 12 月，经国务院批准，设为“井冈山市”，景区划归井冈山市管辖。 2015 年 7 月德国波恩召开的第 39 届世界遗产大会上，联合国教科文组织将井冈山-北 武夷山（武夷山拓展项目）正式列入世界遗产预备名录。 主要景点 井冈山景观分为八大类：峰峦、山石、瀑布、气象、溶洞、温泉、珍稀动植物及高山田 园风光，其中 10 处被列为中国重点文物保护单位。井冈山属山岳型风景名胜区景观景点， 汇雄、奇、险、峻、秀、幽的自然风光特点。 井冈山风景名胜区范围 213.5 平方公里，海拔最高处 1779.4 米。有 11 大景区、76 处 景点，460 多个景物景观，其中革命人文景观 30 多处，被列为国家重点文物保护单位有 10 处，省级重点文物保护单位 2 处，市级重点文物保护单位 17 处。主要景区（点）有：黄洋 界、茨坪革命旧址群、井冈山革命烈士陵园、大井毛泽东同志旧居、井冈山革命博物馆、茅 坪八角楼、会师纪念馆、龙潭、主峰、水口、杜鹃山（笔架山）等。