2.1　合情推理与演绎推理（三）.doc

§2.1　合情推理与演绎推理（三） 【学情分析】： 合情推理（归纳推理和类比推理）的可靠性有待检验，在这种情形下，提出演绎推理就显得水到渠成 了．通过演绎推理的学习，让学生对推理有了全新的认识，培养其言之有理、论证有据的习惯，加深对数 学思维方法的认识． 【教学目标】： （1）知识与技能： 了解演绎推理的含义、基本方法；正确地运用演绎推理、进行简单的推理． （2）过程与方法： 体会运用“三段论”证明问题的方法、规范格式． （3）情感态度与价值观： 培养学生言之有理、论证有据的习惯；加深对数学思维方法的认识；提高学生的数学思维能力． 【教学重点】： 正确地运用演绎推理进行简单的推理． 【教学难点】： 正确运用“三段论”证明问题． 【教学过程设计】： 教学环节 教 学 活 动 设计意图 一、复习： 合情推理 归纳推理：从特殊到一般 类比推理：从特殊到特殊 从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳．类比――提 出猜想． 复习旧知识 二、 问题情境 观察与思考：（学生活动） 1．所有的金属都能导电， 铜是金属， 所以，铜能够导电． 2．一切奇数都不能被 2 整除， （2100+1）是奇数， 所以，（2100+1）不能被 2 整除． 3．三角函数都是周期函数， tan 是三角函数， 所以，tan 是周期函数． 提出问题：像这样的推理是合情推理吗？如果不是，它与合情推理 有何不同（从推理形式上分析）？ 创设问题情景，引入新 知 三、 学生活动 1．所有的金属都能导电 ←————大前提 铜是金属， ←-----小前提 所以，铜能够导电 ←――结论 2．一切奇数都不能被 2 整除 ←————大前提 （2100+1）是奇数，←――小前提 所以，（2100+1）不能被 2 整除。 ←―――结论 3．三角函数都是周期函数， ←——大前提 tan 是三角函数， ←――小前提 所以，tan 是周期函数。←――结论 学生探索， 发现问题， 总结特征 四、 建 构 数 学 ——概念形 成 演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结 论，这种推理称为演绎推理（或逻辑推理）． 构建新知， 概念形成 α α α α注： 1．演绎推理是由一般到特殊的推理．（与合情推理的区别） 2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： （1）大前提——已知的一般原理； （2）小前提——所研究的特殊情况； （3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断． 三段论的基本格式： 大前提：M 是 P 小前提：S 是 M 结 论：S 是 P 3．用集合的观点来理解“三段论”推理： 若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子集，那么 S 中 所有元素也都具有性质 P． 巩固新知， 加强认识 五、 数学运用 例 1、把 P78 中的问题（2）、（5）恢复成完全三段论的形式． 解：（2）因为太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行， （大前提） 而冥王星是太阳系的大行星， （小前提） 因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行． （结论） （5）∵两直线平行，同旁内角互补， （大前提） 而∠A 、∠B 是两条直线的同旁内角， （小前提） ∴∠A+∠B＝180°． （结论） 例 2、如图；在锐角三角形 ABC 中，AD⊥BC， BE⊥AC， D，E 是垂足，求证：AB 的中点 M 到 D、E 的距离相等． 解：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大 前提 在△ABC 中，AD⊥BC，即∠ADB=90°，————小前提 所以△ABD 是直角三角形————结论． （2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，————大 前提 而 DM 是直角三角形 ABD 斜边 AB 上的中线，——小前提 所以 DM= AB．————结论 同理 EM=AB． 所以 DM=EM. 注：在演绎推理中，只要前提和推 理形式是正确的，结论必定是正 确的. 思考：分析下面的推理： 因为指数函数 是增函数，————大前提 而 是指数函数，————小前提 所以 是增函数. ————结论 （1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？ 提示：推理形式正确，但大前提是错误的（因为指数函数 （0＜a＜1＝是减函数＝，所以所得的结论是错误的. 1．运用新知； 2．板书解题详细步骤， 规 范 学 生 的 解 题 格 式． 通过错例分析，加深理 解 2 1 xay = x y     = 2 1 x y     = 2 1 xay = M E D C BA例 3、证明函数 在 上是增函数. 板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前 题、结论. 六、 小结与反思 1．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： （1）大前提——已知的一般原理； （2）小前提——所研究的特殊情况； （3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断． 三段论的基本格式为： 大前提：M 是 P 小前提：S 是 M 结 论：S 是 P 2．合情推理与演绎推理的区别和联系： （1）推理形式不同（归纳是由特殊到一般的推理；类比是由特殊 到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理）； （2）合情推理为演绎推理提供方向和思路；演绎推理验证合情推 理的正确性． 对比分析， 提高认识 【练习与测试】： 1．下面的推理过程中，划线部分是（ ）． 因为指数函数 是减函数，而 是指数函数，所以 是减函数. A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是 2．小偷对警察作如下解释：是我的录象机，我就能打开它．看，我把它打开了，所以它是我的录象机．请 问这一推理错在哪里？（ ） A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是 3．因为相似三角形面积相等，而△ABC 与△A1B1C1 面积相等，所以△ABC 与△A1B1C1 相似.上述推理显 然不对，这是因为（ ）． A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．推理形式错误 4．请判断下面的证明，发生错误的是（ ）． ∵一个平面内的一条直线和另一个平面内的两条直线平行，则着两个平面平行， 又∵直线 平面 ，直线 平面 ，直线 平面 ，且 ∥ ， ∴ ∥ . A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．以上都错误 5．函数 为奇函数， ，则 （ ）． A．0 B．1 C． D．5 6．下面给出一段证明： ∵直线 平面 ， 又∵ ∥ ， ∴ ∥ . 这段证明的大前提是 ． 7．如图，下面给出一段“三段论”式的证明，写出这段证明的大前提和结论． ∵ ．（大前提） 又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB=A． （小前提） ∴ ．（结论） 2( ) 2f x x x= − + ( ], 1−∞ − xay = xy 2= xy 2= ⊆l α ⊆m β ⊆n β l m α β ( )( )Rxxfy ∈= ( ) ( ) ( ) ( )22,2 11 fxfxff +=+= ( ) =5f 2 5 ⊆l α α β l β8．用“三段论”证明：通项公式为 的数列 是等差数列. 9．用“三段论”证明：在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝∠C，则 AB=DC． 10．将课本第 89 页例 6 的证明改成用“三段论”书写． 11．证明函数 f(x)=－x2+2x 在［1，+∞］上是减函数． 12．设 a＞0,b＞0,a+b=1,求证： ． 参考答案 1～5：BADAC 6．两个平行平面中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面 7．如果一条直线和某一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就和该平面垂直； BC⊥平面 PAB 8．证：如果数列 满足： （常数），那么数列 是等差数列 （大前提） ∵数列 中有 （常数）， （小前提） ∴通项公式为 的数列是等差数列． （结论） 9．证：过点 D 作 DE∥AB，交 BC 于点 E． ∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （大前提） 又∵四边形 ABED 中 DE∥AB，AD∥BE， （小前提） ∴四边形 ABED 是平行四边形． （结论） ∵平行四边形的对边相等． （大前提） 又∵四边形 ABED 是平行四边形， （小前提） ∴AB＝DE． （结论） ∵两直线平行，同位角相等． （大前提） 又∵AB∥DE， （小前提） ∴∠DEC＝∠B． （结论） ∵两个角若分别和第三个角相等，那么这两个角相等． （大前提） 又∵∠B＝∠C，∠DEC＝∠B （小前提） ∴∠DEC＝∠C． （结论） ∵三角形中等角对等边． （大前提） 又∵△DEC 中有∠DEC＝∠C， （小前提） ∴DE＝DC． （结论） ∵两条线段若分别和第三条相等，那么这两线段相等． （大前提） 又∵AB＝DE，DE＝DC （小前提） ∴AB=DC． （结论） 10．证：函数 若满足：在给定区间内任取自变量的两个值 x1、x2，若 x1＜x2，则有 ＜ ，则 在该给定区间内是增函数． （大前提） 任取 x1、x2∈（－∞，1］，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝（－x12+2x1）－（－x22+2x2）＝（x2－x1）（x1+x2－2） 又∵x1＜x2≤1，∴x2－x1＞0，x1+x2＜2，即 x1+x2－2＜0， ∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（2－（x1+x2））＜0，即 f(x1) ＜f(x2) ． （小前提） ∴函数 f(x)=－x2+2x 在［1，+∞］上是减函数． （结论） 11．证：任取 x1、x2∈［1，+∞］，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝（－x12+2x1）－（－x22+2x2）＝（x1－x2）（2－（x1+x2）） C B A P dncan += { }na 8111 ≥++ abba { }na daa nn =−+1 { }na { }na ddncndcaa nn =+−++=−+ )()1(1 dncan += )(xfy = )( 1xf )( 2xf )(xfy =又∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1+x2＞2，即 2－（x1+x2）＜0， ∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（2－（x1+x2））＞0，即 f(x1)＞f(x2) ． ∴函数 f(x)=－x2+2x 在［1，+∞］上是减函数． 12．证：∵a+b=1，且 a＞0,b＞0,      +++=     +=+++=++ b ba a ba baab ba baabba 211211111 8442242422 =+=××+≥     ++=     ++= b a a b b a a b b a a b