2.1合情推理与演绎推理（一）.doc

§2.1.1 合情推理与演绎推理（一） 【 内 容 分 析 】 ： 归 纳 是 重 要 的 推 理 方 法 ，在 掌 握 一 定 的 数 学 基 础 知 识（ 如 数 列 、立 体 几 何 、空 间 向 量 等 等 ） 后 ， 对 数 学 问 题 的 探 究 方 法 加 以 总 结 ， 上 升 为 思 想 方 法 。 【 教 学 目 标 】 ： 1、 知 识 与 技 能 ： （1）结合数学实例，了解归纳推理的含义 （2）能利用归纳方法进行简单的推理， 2、 过 程 与 方 法 ： 通 过 课 例 ， 加 深 对 归 纳 这 种 思 想 方 法 的 认 识 。 3、 情 感 态 度 与 价 值 观 ： 体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。 【 教 学 重 点 】 ： （ 1） 体 会 并 实 践 归 纳 推 理 的 探 索 过 程 （ 2） 归 纳 推 理 的 局 限 【 教 学 难 点 】 ： 引 导 和 训 练 学 生 从 已 知 的 线 索 中 归 纳 出 正 确 的 结 论 【 教 学 过 程 设 计 】 ： 教学环节 教学活动 设计意图 一、问题情景 学生阅读 1、哥德巴赫猜想： 观 察 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除 去 2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和.1742 年写信提出，欧拉 及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973 年，我国 数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘 积之和，数学上把它称为“1+2”. 2、费马猜想： 法 国 业 余 数 学 家 之 王 —费 马 （ 1601-1665 ） 在 1640 年 通 过 对 ， ， ， ， 的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有 的自然数 ，任何形如 的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发 现 不是素数，推翻费马猜想. 3、四色猜想： 1852 年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞 地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学 界关注的问题.1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两 台不同的电子计算机上，用 1200 个小时，作了 100 亿逻辑判断，完成证明. 引 入 课 题 通 过 阅 读 教 材 感 受 归 纳 推 理 的 魅 力 从 哥 德 巴 赫 猜 想 引 出 归 纳 推 理 概 念 二 、 概 念 教 学 ① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象 都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归 纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. ② 归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和 180 度，能归纳出 什么结论？ (iii)观察等式： ，能得出怎样的结 论？ ③讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属 归纳推理？ (ii)归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现 02 0 2 1 3F = + = 12 1 2 1 5F = + = 22 2 2 1 17F = + = 32 3 2 1 257F = + = 42 4 2 1 65 537F = + = n 22 1n nF = + 52 5 2 1 4 294 967 297 641 6 700 417F = + = = × 2 2 21 3 4 2 , 1 3 5 9 3 , 1 3 5 7 9 16 4+ = = + + = = + + + + = =的重要手段） (iii)归纳推理的结果是否正确？（不一定） 三、例题讲解 例 1：已知数列 的第 1 项 ，且 ，试归纳出 通项公式. （分析思路：试值 n=1，2，3，4 → 猜想 →如何证明：将递推公式变 形，再构造新数列） 思考：证得某命题在 n＝n 时成立；又假设在 n＝k 时命题成立，再证 明 n＝k＋1 时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗 透数学归纳法原理，即基础、递推关系） 板 书 分 析 过 程 ， 提 问 a2,a3,a4 等 几 项 的 计 算 结 果 设 问 ： 能 直 接 解 出 an 吗 ？ 四、课堂训练 1、已知 ，推测 的表达式. 2、三角形的内角和是 1800,凸四边形的内角和是 3600,凸五边形的内角和是 5400 , …… 由这些结论猜想凸 n 边形的内角和公式。 解析：凸 n 边形的内角和公式是(n-2)×1800. 3、由 归纳猜想出一个一般结论。 解析：猜想： (a,b,m 均为正实数）。 根 据 学 生 基 础 情 况 ， 决 定 是 当 堂 引 导 学 生 证 明 结 论 或 者 是 课 外 完 成 。 五、小结 1．归纳推理的几个特点 1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提 所包容的范围. 2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结 论具有猜测性. 3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础 之上. 注：归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有 规律性的结论 2．归纳推理的一般步骤： 1)对已有的资料进行观察、分析、归纳、整理； 2)猜想 3)检验 1 ） 规 律 性 2 ） 探 索 性 3） 观 察 、 试 验 的 不 确 定 性 指 出 对 归 纳 推 理 的 结 果 进 行 检 验 是 必 要 的 归 纳 推 理 【 练习与测试】 ： （基础题） 1）数列 …中的 等于（ ） A． B． C． D． 2）从 中得出的一般性结论是_____________。 { }na 1 2a = 1 ( 1,2, )1 n n n aa na+ = =+  na 0 (1) 0, ( ) ( 1) 1,f af n bf n= = − = 2, 0, 0n a b≥ > > ( )f n ,......33 32 3 2,23 22 3 2,13 12 3 2 + + + + + +  ma mb a b + +  2,5,11,20, ,47,x x 28 32 33 27 222 576543,3432,11 =++++=++=3)定义 的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B） 所对应的运算结果可能是（ ）. （1） （2） （3） （4） （A） （B） A. B. C. D. 4)有 10 个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________． 5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是 1 颗珠宝， 第二件首饰是由 6 颗珠宝(图 中圆圈表示珠宝)构成如图 1 所示的正六边形，第三件首饰如图 2，第四件首饰如图 3，第五件首饰如图 4， 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 ，按照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 ，使它 构 成 更 大 的 正 六 变 形 ， 依 此 推 断 第 6 件 首饰上应有_______________颗珠宝，第 件 首 饰 所 用 珠 宝 总 数 为 _________________ 颗. 6)已知 （n=1.2. …） 试归纳这个数列的通项公式 答案： 1）B 推出 2） 注意左边共有 项 3）B 4）（n-2）3600 5） 91,1+5+9+…4n+1=2n2+3n+1 6） a1=1,a2= a3= … an= （中等题） 1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第 n 个图中有 个小正方形. 2）-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ） A.33 B.-31 C.-27 D.-57 3)设平面内有 n 条直线（n ≥ 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n 条直线交点的个数，则 f（4 ）=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 4) 顺 次 计 算 数 列 :1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1, 的 前 4 项 , 由 此 猜 测 的结果. 答案： 1）1+2+3+4+…+(n+1)= 2）B 正负相间，3＝1+2，7＝3+22，15＝7+23，15+24＝31，31+25＝63 3）C , , ,A B B C C D D A∗ ∗ ∗ ∗ ,B D A D∗ ∗ ,B D A C∗ ∗ ,B C A D∗ ∗ ,C D A D∗ ∗ n nn an na 11 +=+ 11 =a 5 2 3,11 5 6,20 11 9,− = − = − = 20 12, 32x x− = = 2 *1 ... 2 1 2 ... 3 2 (2 1) ,n n n n n n n N+ + + + − + + + − = − ∈ 2 1n − 2 1 3 1 n 1 123...)1()1(...321 ++++−++−++++= nnnan )2)(1(2 1 ++ nn4）依次为，1，22，32，42，所以 an=n2 （难题） 1)．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了 630 万位的最大质数。小王发现由 8 个质数组成的数 列 41，43，47，53，61，71，83，97 的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也 是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数 的一个数是（ ）. A．1643 B．1679 C．1681 D．1697 2) 考察下列一组不等式： . 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广 的不等式可以是　　　　　　　　　　　　　　. 答案： 1）C 41，43，47，53，61，71，83，97 的一个通项公式为 an=n2+n+41,a40=1681,而 1681＝41 41 不是质 数 2）an+bn>an-mbm+ambn-m n,m , n>m 3 3 2 22 5 2 5 2 5 ,+ > ⋅ + ⋅ 4 4 3 32 5 2 5 2 5 ,+ > ⋅ + ⋅ 4 4 3 32 5 2 5 2 5 ,+ > ⋅ + ⋅ 5 5 3 2 2 32 5 2 5 2 5 ,+ > ⋅ + ⋅  × N∈