3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义.doc

§3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 【学情分析】： 学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一 部分,在建立复数运算时应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应 当是一致的. 复数兼备代数形式和几何形式(点表示和向量表示),对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习 有助于理解复数两种表示形式的统一,同时也提供了一个数形结合思想的载体. 【教学目标】： （1）知识与技能： 了解复数代数形式的加减运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. （2）过程与方法： 从实数集中的相关概念以及运算出发，对比引出复数的加减法的定义，对比复数的代数形式，复数 的向量形式同样具备其自身的加减法法则。培养学生类比、化归、数形结合的思想方法。 （3）情感态度与价值观： 通过复数的代数形式的加减运算的学习，体会数集运算定义的完备性与一致性，增加对数学逻辑美的 认识。　　　　 【教学重点】： 复数代数形式的加减运算及其几何意义。 【教学难点】： 复数代数形式的加减运算几何意义。 【课前准备】： powerpoint 课件 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、复习 引入 1．同学们在学实数的时候有绝对值的概念，在复数里 叫 做复数的模长，在实数集里有相反数的概念，那么复数 还有没有相反复 数的概念呢？ 2．实数与实数相加减得到的仍是实数，现在我们学习了复数这个数集， 如果一个实数与一个纯虚数相加比如 等于多少呢？或者一个实数加 上一个虚数比如 又等于什么呢？ 将实 数运算以 及其中的 概念提出， 让学生对 比思考在 复数中相 应的运算 和概念， 引出问题。 二、讲授新 课 （ １ ） 复 数 代 数 形 式 的 加 法 运算 1．复数的加法： ①设 ，规定 。 ②复数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意复数 有 | | ( 0)a bi b+ ≠ a bi+ 3 i+（ ）（ ） ( 3) +( 1+i ) 1 2, ( , , , )z a bi z c di a b c d R= + = + ∈ 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )z z a bi c di a b c d i+ = + + + = + + + 1 2 3, ,z z z 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3( ) ( ) z z z z z z z z z z + = + + + = + +（ ２ ） 复 数 代 数 形 式 的 减 法 运算 ２．复数的减法 ①已知复数 ，根据加法定义，存在惟一的复数 使 ， 叫做 的相反数 ②设 ，规定 （ ３ ） 复 数 加 减 法 的 几 何 意 义 ３．复数加减法的几何意义 已知复数 及其对应的向量如图， 且 不共线，以 为邻边作平行四 边形 ，根据向量的加法法则，对角线 所表示的向量 ， 而 所对应的坐标为 ，正是两个复数之和 所 对应的有序实数对。因此复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法 则，类似地，向量 所对应两个复数的差 ，作 ，则点 也 对应复数 。 三、运用新 知 ， 体验成功 练习 1： ①．计算： ②．写出下列各复数的相反数： ③．计算： 及时运 用新知识， 巩固练习， 让学生体 验成功， 为了使学 生实现从 掌握知识 到运用知 识的转化， 使知识教 育与能力 zz2 z1 z1-z2 z' a bi+ a bi− − ( ) ( ) 0a bi a bi+ + − − = a bi− − a bi+ 1 2, ( , , , )z a bi z c di a b c d R= + = + ∈ 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z z a bi c di a bi c di a c b d i= + − + = + + − − = − + −－ 1 1 1 2 2 2,z x y i z x y i= + = + 1 1 1 2 2 2( , ), ( , ),oz x y oz x y= =  1 2,oz oz  1 2oz oz和 1 2oz zz oz 1 2oz oz oz= +   1 2oz oz+  1 2 1 2( , )x x y y+ + 1 2z z+ 2 1z z 1 2z z− 2 1oz z z=  'z 1 2z z− 1.(1 ) (1 ); 2.(2) ( 2 3 ) 3.0 5 ( 4 ) 4.( 5 ) (3 2 ) i i i i i i + + − + − + + + − − + + − 1 33 2 , 3 7 , , 8, 6 .2 2i i i i− + + + − −解：①2， ， ， ② ③ ， ， ， 培养结合 起来，设 计分层练 习 四、师生互 动，继续探 究 例1. 计算： 解：原式＝ ＝ 。 分析：复数的加减法，相当于多项式中加减中的合并同类项的过程，两个复 数相加减，就是把实部与实部，虚部与虚部分别加减。 例２．已知复数 ，若 ，证明复数 是纯虚数或０。 解：将 代入 得， ，运算得： 所以 ，所以 ，当 时， ，当 时， 为纯 虚数。 分析：本题是证明一个虚数数为纯虚数的等价条件。 例３．已知 对应的向量分别为 ，以 为 邻边作平行四边形 ，求向量 对应的复数。 解 ： 由 复 数 加 减 法 的 几 何 意 义 知 ： 向 量 对 应 的 复 数 为 ， 向量 对应的复数 ；向量 对应的复 数 。 让学生 进行复数 代数形式 加减运算。 1.(4 5 ) (4 2 ); 2.( 3 2 ) (4 6 ); 3.( 3 2 ) (5 ) (4 7 ); 4.(1 ) (1 ) (5 4 ) ( 3 7 ) i i i i i i i i i i i + − + − + − − − + − − + + + − − − − + − + 3i 5 4i− 2 i− − 1 33 2 , 3 7 , , 8, 6 .2 2i i i i− − − − − 3i 7 8i− + 4 6i− + 8 13i− + (1 2 ) (2 3 ) (3 4 ) (4 5 ) (1999 2000 ) (2000 2001 )i i i i i i− − − + − − − + + − − − (1 2 3 4 1999 2000) ( 2 3 4 5 2000 2001)i− + − + + − + − + − + + − +  1000 1000i− + ( , )z a bi a b R= + ∈ 0z z =＋ z ( , )z a bi a b R= + ∈ 0z z =＋ ( ) ( ) 0a bi a bi+ + − = 2 0,a = 0a = z bi= 0b = 0z = 0b ≠ z 1 23 , 5 3z i z i= − + = − 1 2oz oz 和 1 2,oz oz 1 2oz cz 1 2 2 1, ,oc z z z z   oc 1 2 ( 3 ) (5 3 ) 2 2z z i i i+ = − + + − = − 1 2z z 2 1 (5 3 ) ( 3 ) 8 4z z i i i− = − − − + = − 2 1z z 1 2 8 4z z i− = − +五、分层练 习，巩固提 高 探究活动： 练习 2 ： ①已知复数 满足 ？ ② 在 复 平 面 内 ， 复 数 对 应 的 向 量 分 别 是 对应的复数以及 两点 之间的距离。 解：① ②2， 通过多角 度的练习， 并对典型 错误进行 讨论与矫 正，使学 生巩固所 学内容， 同时完成 对新知的 迁移。 六、概括梳 理，形成系 统 （小结） 采取师生互动的形式完成。 即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标的 要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。 采取师生 互动的形 式完成。 七、布置作 业 1、 课后作业。 2、设计题可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。 1．计算 的结果为（ ） A.1 B. C. D. 解：Ａ 2．已知复数 ＝（ ） A．0　　　 　B。 　　　　C。 6　　　　D。 解：Ｄ 3． 等于（　　） A． 　 　　 B． 　　　C．2　　　D． 解：Ｂ 4．若 （ ）. A. 一个点 B. 两个点 C. 四个点 D. 一个圆 解：Ｄ 5． 表示（ ）. A. 点（3，2）与点（1，1）之间的距离 B. 点（3，2）与点（-1，-1）之间的距离 C. 点（3，2）到原点的距离 D.以上都不对 z 3 3 ,z i i z+ − = − 求 3 5i i− − +与 , ,OA OB O OA OB BA+    和 其中 是原点，求向量 ,A B 6 2i− 2 5 (3 ) (2 )i i+ − + i− 5 2i+ 1- i 3 3 ,z z i i z+ − = −满足 则 2i 6 2i− | (3 2 ) (4 ) |i i+ − − 58 10 1 3i− + | | 1,z z= 则复数 对应的点的轨迹是 | (3 2 ) (1 ) |i i+ − +解：Ａ 6．在复平面上复数 所对应的分别是Ａ，Ｂ，Ｃ，则平行四边形ＡＢＣＤ的对角线 BD 的长 为　　　　。 解： 。 1 ,0,3 2i i− + + 2 3 , | | 4 9 13BD BA BC i BD= + = + ∴ = + =  