3.2.2复数的乘法和除法.doc

§3.2.2 复数的乘法和除法 【学情分析】： 学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一 部分,在建立复数运算是,应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应 当是一致的. 在学习了复数的加减法之后，学生对复数的乘除法以及其与实数乘除法的区别的好奇心自然也呼之欲 出。. 【教学目标】： （1）知识目标： 能进行复数代数形式的乘除运算. （2）过程与方法目标： 从实数的乘除运算及其运算律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律，通过 实现 实数与虚数的转化，培养学生转化的思想。 （3）情感与能力目标： 通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。 【教学重点】： 的运算和分母实数化。 【教学难点】： 复数除法中的分母实数化。 【课前准备】： powerpoint 课件 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 一、复习引 入 1．根据虚数单位 的定义, 满足方程 ,那 么 呢, 呢？ 2．实数与实数相乘除得到的仍是实数，实数的乘除满足交换律、结合 律，乘法对加法的分配律，复数的乘除还满足这些运算律吗？两个虚数相 乘能得到实数吗？ 通过虚 数单位的定 提出问题， 通过实数运 算的对比引 出复数乘除 法的定义。 二、讲授新 课 （１）复数 的乘法运算 1．复数的乘法： ①设 ，规定 。 ②复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即对 任意复数 有 2| |z z z⋅ = i i i 2 1, 1, 1x i i= − = − × = −2即i (2 ) ( )i i× 2(1 )i+ 1 2, ( , , , )z a bi z c di a b c d R= + = + ∈ 2 1 2 ( )( ) ( ) ( ) z z a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i = + + = + + + = − + + 1 2 3, ,z z z③实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复 数 有： ④ （２）复数 的除法运算 ２．复数的除法 ①已知复数 ， 叫做 的倒数。它满足 显然 ②设 ，规定 = 三、运用新 知 ， 体验成功 练习 1： ①．计算： ②． ③．计算： 及时运用 新知识，巩 固练习，让 学生体验成 功，为了使 学生实现从 掌握知识到 运用知识的 转化，使知 识教育与能 力培养结合 起来，设计 分层练习 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 ( ) ( ) ( ) z z z z z z z z z z z z z z z z z ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + = ⋅ + ⋅ 1 2, , ,z z z n m和自然数 1 2 1 2 ( ) ( ) m n m n m n mn n n n z z z z z z z z z +⋅ = = ⋅ = ⋅ 4 1 4 2 4 3 4, 1, , 1( )n n n ni i i i i i n Z+ + += = − = − = ∈ z a bi= + ' 1z z = z ' 1z z⋅ = ' 2 2 2 2 2 2 1 ( ) ( ) a bi a bi a biz a bi a bi a bi a b a b a b − −= = = = −+ + ⋅ − + + + ' 2 1 | | zz z z = = 1 2, ( , , , )z a bi z c di a b c d R= + = + ∈ 1 2 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )z a bi c dia bi a biz c di c di c d + −= = + ⋅ = + ⋅+ + + 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )ac bd bc ad i ac bd bc ad ic d c d c d + + − + −= ++ + + 2 2 2 23 352 1000 2007 1.(1 ) ; 2.(1 ) ; 3.[ 3 2 ) ] ; 4. , , , i i i i i i i i + − + ⋅（ 2 21 3 , 12 2 iω ω ω ω= − + + +若 求 和解：① ， ， ， ，1，1， ② ，0 ③ ， ， ，1 四、师生互 动，继续探 究 例1. 求证： 解： 分析：（1）表明，两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模 的平方。 例 2．已知 解 ： 可 写 成 ， 即 。 分 析 ： 在 进 行 复 数 除 法 运 算 时 ， 通 常 把 让学生进 行复数乘除 法运算，并 得到一些复 数运算结论。 8 8 21. ;7 4 12. ; 13. ;1 (1 )4.(1 ) i i i i i i + + + + − 2i 2i− 7 6 2i− − i− i− 1 3 2 2 i− − 18 1 65 65 i− i− 1 1 2 2 i− 2 2 2 2 1 2 1 2 (1) | | | | (2) ( ) (3) z z z z z z z z z z ⋅ = = = ⋅ = ⋅ 2 2 2 2 2 2 2(1) , ( )( ) | | | |z a bi z a bi z z a bi a bi a abi bai b i a b z z= + = − ⋅ = + − = − + − = + = =设 则 ，于是 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2) , ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) z a bi z a bi a b abi z a bi a b abi z z = + = + = − + = − = − − = 设 则 于是 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (3) , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) z a bi z c di z z ac bd ad bc i ac bd ad bc i z z a bi c di ac bd ad bc i z z z z = + = + ⋅ = − + + = − − + ⋅ = − − = − − + ⋅ = ⋅ 设 则 于是 5, , , ,1 1 2 1 3 x yx y R x yi i i ∈ + =+ + +且 求 的值。 5 1 1 2 1 3 x y i i i + =+ + + (1 ) (1 2 ) 5(1 3 ) , 5 (1 ) 2 (1 2 ) 5 152 5 10 x i y i i x i y i i − − −+ = − + − = −即 5 2 5 1(5 2 ) (5 4 ) 5 15 , ,5 4 15 5 x y xx y x y i i x y y + = = − + − + = − ∴ + = = 化简整理． 例３．设 为非零复数， ，问 能否比较大小？若能，请指出他们的大小关系． 解：设 ，由于 A,B 都是实数，所以可以比 较 大 小 ， 又 当且仅当 时，即 时，取等号。 分析：复数比较大小，则复数必须是实数， 为实数． 五、分层练 习，巩固提 高 探究活动： 练习 2 ： ①设复数 ． ②已知 ． ③已知 为复数， 为纯虚数， 且 ，求 解：① 或 ② ③ 。 通过多角度 的练习，并 对典型错误 进行讨论与 矫正，使学 生巩固所学 内容，同时 完成对新知 的迁移。 六、概括梳 理，形成系 统 （小结） 采取师生互动的形式完成。 即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标 的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。 采取师生互 动的形式完 成。 七、布置作 业 1、 课后作业。 2、设计题可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。 ( ) ( ) ,a bia bi c di c di ++ ÷ + +写成 再通过分母实数化进行 1 2,z z 1 2 2 1 1 1 2 2,A z z z z B z z z z= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ,A B 1 2 1 2 1 2, ( , , , ), ( )( ) ( )( ) 2( )z a bi z c di a b c d R A z z z z a bi c di a bi c di ac bd R= + = + ∈ = + = + − + − + = + ∈则 2 2 2 2 1 1 2 2B z z z z a b c d R= + = + + + ∈ 2 2 2 2 2 22( ) ( ) ( ) 0, ,B A a b c d ac bd a c b d A B− = + + + − + = − + − ≥ ≤所以 ,a c b d= = 1 2z z= z z⋅ 2 3 4 ,z a bi z i z= + = +满足 求 1 2 1 2 1 1 11 2 , 3 4 ,z i z i zz z z = − = + = +求满足 的复数 ,z w (1 3 )i z+ 2 zw i = + | | 5 2w = w 2z i= + 2z i= − − 32 2z i= − 7 7i iω = − − +或1．若复数 满足方程 ，则 （ ） A. B. C. D. 解：Ｄ 2．复数 等于（ ） A． 　　　 　B。 　　　　C。 　　　　D。 解：Ｄ 3． 是虚数单位， （　　） A． 　 　　 B． 　　　C． 　　　D． 解：Ａ 4．已知 的值。 解： ＝ ，又 ，所以原式＝0。 5．计算： 解： 。 6．已知 的虚部减去它的实部所得的差等于 ，求复数 的模 解： ， ， 。 z 022 =+z =3z 22± 22− i22− i22± 10(1 ) 16(1 ) i i + − 1 i+ 1 i− − 1 i− 1 i− + i =+ i i 1 i2 1 2 1 + i2 1 2 1 +− i2 1 2 1 − i2 1 2 1 −− 2 20032 , 1 1 3 z z z z i = − + + + + − 求 2 20031 z z z+ + + + 20041(1 ) 1 z z − − 3 2004 3 6681 3 , 1, ( ) 12 iz z z z += − ∴ = ∴ = = 2 2 20042 3 2 (4 8 ) ( 4 8 )( )11 2 3 11 7 i i i ii i − + − − − ++ +++ − 1i − ,( 0), ( )1 a iz a w z z ii −= > = +− 复数 3 2 w 21 ( 1) 1, ( )2 2 2 a a i a a az w z z i i + + − + += ∴ = + = + 2 21 3 , 4, 22 2 2 a a a a a + +− = ∴ = = ± 9 30, 2, | | 9 54 2a a w> ∴ = ∴ = + =