甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 1.2.1 充分条件与必要条件教案
新人教 A 版选修 1-1
1.知识与技能:正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念;会判断命题的充分条件、必要
条件.
2.过程与方法:通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用,培养学生分析、判断和归纳的逻
辑思维能力.
3.情感、态度与价值观:通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,
在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育.
(二)教学重点与难点
重点:充分条件、必要条件的概念.
(解决办法:对这三个概念分别先从实际问题引起概念,再详细讲述概 念 ,最后再应用概念进行论
证.)
难点:判断命题的充分条件、必要条件。
关键:分清命题的条件和结论,看是条件能推出结论还 是结论能推出条件。
教具准备:与教材内容相关的资料。
教学设想:通过学生的举例,培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质,在练习过程中
进行辩证唯物主义思想教育.
(三)教学过程
学生探究过程:
1.练习与思考
写出下列两个命题的条件和结论,并判断是真命题还是假命题?
(1)若 x > a2 + b2,则 x > 2ab, (2)若 ab = 0,则 a = 0.
学生容易得出结论;命题(1)为真命题,命题(2)为假命题.
置疑:对于命题“若 p,则 q”,有时是真命题,有时是假命题.如何判断其真假的?
答:看 p 能不能推出 q,如果 p 能推出 q,则原命题是真命题,否则就是假命题.
2.给出定义
命题“若 p,则 q” 为真命题,是指由 p 经过推理能推出 q,也就是说,如果 p 成立,那么 q 一定
成立.换句话说,只要有条件 p 就能充分地保证结论 q 的成立,这时我们称条件 p 是 q 成立的充分
条件.
一般地,“若 p,则 q”为真命题,是指由 p 通过推理可以得出 q.这时,我们就说,由 p 可推出 q,
记作:p⇒q.
定义:如果命题“若 p,则 q”为真命题,即 p ⇒ q,那么我们就说 p 是 q 的充分条件;q 是 p 必要
条件.
上面的命题(1)为真命题,即
x > a2 + b2 ⇒x > 2ab,所以“x > a2 + b2 ”是“x > 2ab”的充分条件,“x > 2ab”是
“x > a2 + b2” "的必要条件.
3.例题分析:
例1:下列“若 p,则 q”形式的命题中,那些命题中的 p 是 q 的充分条件?
(1)若 x =1,则 x2 - 4x + 3 = 0;(2)若 f(x)= x,则 f(x)为增函数;
(3)若 x 为无理数,则 x2 为无理数.分析:要判断 p 是否是 q 的充分条件,就要看 p 能否推出 q.
解略.
例2:下列“若 p,则 q”形式的命题中,那些命题中的 q 是 p 的必要条件?
(1) 若 x = y,则 x2 = y2;
(2) 若 两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等;
(3) (3)若 a >b,则 ac>bc.
分析:要判断 q 是否是 p 的必要条件,就要看 p 能否推出 q.
解略.
4、巩固巩固:P12 练习 第 1、2、3、4 题
5.教学反思:
充分、必要的定义.
在“若 p,则 q”中,若 p⇒q,则 p 为 q 的充分条件,q 为 p 的必要条件.
6.作业 P14:习题 1.2A 组第 1(1)(2),2(1)(2)题
注 :(1)条件是相互的;
(2)p 是 q 的什么条件,有四种回答方式:
① p 是 q 的充分而不必要条件;
② p 是 q 的必要而不充分条件;
③ p 是 q 的充要条件;
④ p 是 q 的既不充分也不必要条件.
1.2.2 充要条件
(一)教学目标
1.知识与技能目标:
(1) 正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不
必要条件的定义.
(2) 正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不必要条件.
(3) 通过学习,使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,.
2.过程与方法目标:在观察和思考中,在解题和证明题中,培养学生思维能力的严密性品质.
3. 情感、态度与价值观:
激发学生的学习热情,激发学生的求知欲, 培养严谨的学习态度,培养积极进取的精神.
(二)教学重点与难点
重点:1、正确区分充要条件;2、正确运用“条件”的定义解题
难点:正确区分充要条件.
教具准备:与教材内容相关的资料。
教学设想:在观察和思考中,在解题和证明题中,培养学生思维能力的严密性品质.
(三)教学过程
学生探究过程:
1.思考、分析
已知 p:整数 a 是 2 的倍数;q:整数 a 是偶数.
请判断: p 是 q 的充分条件吗?p 是 q 的必要条件吗?
分析:要判断 p 是否是 q 的充分条件,就要看 p 能否推出 q,要判断 p 是否是 q 的必要条件,就要
看 q 能否推出 p.
易知:p⇒q,故 p 是 q 的充分条件;
又 q ⇒ p,故 p 是 q 的必要条件.
此时,我们说, p 是 q 的充分必要条件2.类比归纳
一般地,如果既有 p⇒q ,又有 q⇒p 就记作 p ⇔ q.
此时,我们说,那么 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果 p 是 q 的充要条件,那么 q 也
是 p 的充要条件.
概括地说,如果 p ⇔ q,那么 p 与 q 互为充要条件.
3.例题分析
例 1:下列各题中,哪些 p 是 q 的充要条件?
(1) p:b=0,q:函数 f(x)=ax2+bx+c 是偶函数;
(2) p:x > 0,y > 0,q: xy> 0;
(3) p: a > b ,q: a + c > b + c;
(4) p:x > 5, ,q: x > 10
(5) p: a > b ,q: a2 > b2
分析:要判断 p 是 q 的充要条件,就要看 p 能否推出 q,并且看 q 能否推出 p.
解:命题(1)和(3 )中,p⇒q ,且 q⇒p,即 p ⇔ q,故 p 是 q 的充要条件;
命题(2)中,p⇒q ,但 q ≠> p,故 p 不是 q 的充要条件;
命题(4)中,p≠>q ,但 q⇒p,故 p 不是 q 的充要条件;
命题(5)中,p ≠>q ,且 q≠>p,故 p 不是 q 的充要条件;
4.类比定义
一般地,
若 p⇒q ,但 q≠>p,则称 p 是 q 的充分但不必要条件;
若 p≠>q,但 q⇒p,则称 p 是 q 的必要但不充分条件;
若 p≠>q,且 q≠>p,则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
在讨论 p 是 q 的什么条件时,就是指以下四种之一:
①若 p⇒q ,但 q≠>p,则 p 是 q 的充分但不必要条件;
②若 q⇒p,但 p≠>q,则 p 是 q 的必要但不充分条件;
③若 p⇒q,且 q⇒p,则 p 是 q 的充要条件;
④若 p≠>q,且 q≠>p,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
5 .巩固练习:P14 练习第 1、2 题
说明:要求学生回答 p 是 q 的充分但不必要条件、或p 是 q 的必要但不充分条件、或 p 是 q 的充要
条件、或 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
6.例题分析
例 2:已知:⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d.求证:d=r 是直线 l 与⊙O 相 切的充要
条件.
分析:设 p:d=r,q:直线 l 与⊙O 相切.要证 p 是 q 的充要条件,只需要分别证明充分性
(p⇒q)和必要性(q⇒p)即可.
证明过程略.
7.教学反思:
充要条件的判定方法
如果“若 p,则 q”与“ 若 p 则 q”都是真命题,那么 p 就是 q 的充要条件,否则不是.
8.作业:P14:习题 1.2A 组第 1(3)(2),2(3),3 题
课后反思: