高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程教案 新人教A版选修1-1.doc

◆ 甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 2.2.1 椭圆及其标准方程 教案 新人教 A 版选修 1-1 ◆ 理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导 过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的 伴随点的轨迹方程的一般方法．． ◆ 过程与方法目标 （1）预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交 线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲 线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和 抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清 楚后，要引导学生一起探究 P41 页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约 10cm 长， 两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约 60cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉 两个）．当套上 铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你 能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1 椭圆及其标准方程． （2）新课讲授过程 （i）由上述探究过程容易得到椭圆的定义． 〖板书〗把平面内与两个定点 ， 的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭 圆（ellipse）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为 时，椭圆即为点集 ． （ii）椭圆标准方程的推导过程 提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、 注意图形的特殊性和一般性关系． 无理方程的化简 过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理． 设参量 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、 的关系有明显的几何意 义． 类比：写出焦点在 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程 ． （iii）例题讲解与引申 例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ， ，并且经过点 ，求它的标准方 程． 分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出 ．引导学生用其他方法来 解． 1F 2F 1 2F F M P = { }1 2| 2M MF MF a+ = b , ,a b c y ( )2 2 2 2 1 0y x a ba b + = > > ( )2,0− ( )2,0 5 3,2 2  −   , ,a b c另解：设椭圆的标准方程为 ，因点 在椭圆上， 则 ． 例 2 如图，在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足．当点 在圆上运动时，线段 的中点 的轨迹是什么？ 分析：点 在圆 上运动，由点 移动引起点 的运动，则称点 是点 的伴 随点，因点 为线段 的中点，则点 的坐标可由点 来表示，从而能求点 的轨迹方 程． 引申：设定点 ， 是椭 圆 上动点，求线段 中点 的轨迹方程． 解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设 ， ；②（点与伴随点的关系）∵ 为线段 的中点，∴ ；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵ ，∴点 的轨迹方程为 ；④伴随轨迹表示的范围． 例 3 如图，设 ， 的坐标分别为 ， ．直线 ， 相交于点 ，且它们 的斜率之积为 ，求 点 的轨迹方程． 分析：若设点 ，则直线 ， 的斜率就可以用含 的式子 表示，由于直线 ， 的斜率之积是 ，因此，可以求出 之间的关 系式，即得到点 的轨迹方程． 解 法 剖 析 ： 设 点 ， 则 ， ； 代入点 的集合有 ，化简即可得点 的轨迹方程． 引申：如图，设△ 的两个顶点 ， ，顶点 在移动，且 ， 且 ，试求动点 的轨迹方程． 引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 值在变化 ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 5 3,2 2  −   2 2 2 2 25 9 1 104 4 64 aa b ba b  + = = ⇒  = − = 2 2 4x y+ = P P x PD D P PD M P 2 2 4x y+ = P M M P M PD M P M ( )6,2A P 2 2 125 9 x y+ = AP M ( ),M x y ( )1 1,P x y M AP 1 1 2 6 2 2 x x y y = −  = − 2 2 1 1 125 9 x y+ = M ( ) ( )2 23 1 1 25 9 4 x y− −+ = A B ( )5,0− ( )5,0 AM BM M 4 9 − M ( ),M x y AM BM ,x y AM BM 4 9 − ,x y M ( ),M x y ( )55AM yk xx = ≠ −+ ( )55BM yk xx = ≠− M 4 5 5 9 y y x x × = −+ − M ABC ( ),0A a− ( ),0B a C AC BCk k k× = 0k < C k时，线段 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴． ◆ 情感、态度与价值观目标 通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们 都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两 定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则， 及引入参量 的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与 领悟：例 1 使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题 的 好习惯；例 2 是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联 系的观点解决问题；通过例 3 培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质． ◆能力目标 （1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线 的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形， 反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示． （2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般 性来研究，培养学生的辩证思维能力． （3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已 有的知识能力． （4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力． （5） 创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径． AB 2 2b a c= −