高中数学 2.2.4 椭圆中焦点三角形的性质及应用教案 新人教A版选修1-1.doc

甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 2.2.4 椭圆中焦点三角形的性质 及应用教案 新人教 A 版选修 1-1 则 。 性质二：已知椭圆方程为 左右两焦点分别为 设焦点三角形 ， 若 最大，则点 P 为椭圆短轴的端点。 证明：设 ,由焦半径 公式可知： ， 在 中， = 性质三：已知椭圆方程为 两焦点分别为 设焦点三角形 中 则 证明：设 则在 中，由余弦定理得： ,21 θ=∠ PFF 2tan2 21 θ bS PFF =∆ θcos2)2( 21 2 2 2 1 2 21 2 PFPFPFPFFFc −+== )cos1(2)( 21 2 21 θ+−+= PFPFPFPF θθθ cos1 2 )cos1(2 44 )cos1(2 4)( 22222 21 21 +=+ −=+ −+=∴ bcacPFPFPFPF 1 2 2 2 1 2 1 sin sin tan2 1 cos 2F PF bS PF PF b θθ θθ∆∴ = = =+ ),0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x ,, 21 FF 21FPF 21PFF∠ ),( oo yxP oexaPF +=1 oexaPF −=1 21PFF∆ 21 2 21 2 1 2 1 2cos PFPF FFPFPF −+=θ 21 2 21 2 21 2 42)( PFPF cPFPFPFPF −−+= 1))((2 412 44 2 21 22 −−+=−−= oo exaexa b PFPF ca 12 222 2 −− oxea b axa ≤≤− 0 22 axo ≤∴ ),0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x ,, 21 FF 21FPF ,21 θ=∠ PFF .21cos 2e−≥θ ,, 2211 rPFrPF == 21PFF∆ 命题得证。 （2000 年高考题）已知椭圆 的两焦点分别为 若椭圆上存在一点 使得 求椭圆的离心率 的取值范围。 简解：由椭圆 焦点三角形性质可知 即 , 于是得到 的取值范围是 性质四：已知椭圆 方程为 两焦点分别为 设焦点三角形 ， 则椭圆的离心率 。 由正弦定理得： 由等比定理得： 而 ， ∴ 。 已知椭圆的焦点是 F1(－1，0)、F2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜P F2｜的 等差中项． (1)求椭圆的方程； (2)若 点 P 在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求 tanF1PF2． 解：(1)由题设 2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜ ∴2a＝４，又 2c＝2，∴b＝ ∴椭圆的方程为 ＝1． (2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ 12 22 2 42)( 2cos 21 22 21 2 21 2 21 21 2 21 2 2 2 1 −−=−−+=−+= rr ca rr crrrr rr FFrrθ .2112 221 )2(2 22 2 2 22 221 22 ea ca rr ca −=−−=−+ −≥ )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x ,, 21 FF ,P ,1200 21 =∠ PFF e .21120cos 20 e−≥ 2212 1 e−≥− e .1,2 3       ),0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x ,, 21 FF 21FPF ,, 1221 βα =∠=∠ FPFFPF βα βα sinsin )sin( + +=e ,, 1221 βα =∠=∠ FPFFPF βαβα sinsin)180sin( 1221 PFPFFF o ==−− βαβα sinsin)sin( 2121 + +=+ PFPFFF )sin( 2 )sin( 21 βαβα +=+ cFF βαβα sinsin 2 sinsin 21 +=+ + aPFPF βα βα sinsin )sin( + +== a ce 3 34 22 yx +椭圆的离心率 则 ， 整 理得：5sinθ＝ (1＋co sθ) ∴ 故 ，tanF1PF2＝tanθ＝ ． 教学反思：  2 1=e )60sin(2 3 sin )60sin(120sin )180sin( 2 1 θ θ θ θ −+ =−+ −= o oo o 3 5 3 cos1 sin =+ θ θ 5 3 2tan =θ 11 35 25 31 5 32 = − ⋅