高中数学 2．2．5双曲线及其标准方程教案 新人教A版选修1-1.doc

甘肃省金昌市第一中学甘肃省金昌市第一中学 20142014 年高中数学年高中数学 22．．22．．55 双曲线及其标准方程教双曲线及其标准方程教 案案 新人教新人教 AA 版选修版选修 1-11-1 （1）预习与引入过程 预习教科书 56 页至 60 页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口 曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平 行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的 截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两 个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究 P56 页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细 绳子两条（一条约 10cm 长，另一条约 6cm 每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准 备无弹性细绳子两条（一条约 20cm，另一条约 12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两 个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖， 画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件 是什么？〖板书〗§2．2．1 双曲线及其标准方程． （2）新课讲授过程 （i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义． 〖板书〗把平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨 迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦 距．即当动点设为 时，双曲线即为点集 ． （ii）双曲线标准方程的推导过程 提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建 立直角坐标系． 无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理 方程的两次移项、平方整理 的数学 活动过程． 类比椭圆：设参量 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、 的关系有明显 的几何意义． 类比：写出焦点在 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程 ． （iii）例题讲解、引申与补充 例 1 已知双曲线两个焦点分别为 ， ，双曲线上一点 到 ， 距离差的 绝对值等于 ，求双曲线的标准方程． 分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出 ． 1F 2F 1 2F F M P = { }1 2 2M MF MF a− = b , ,a b c y ( )2 2 2 2 1 0, 0y x a bb a − = > > ( )1 5,0F − ( )2 5,0F P 1F 2F 6 , ,a b c补 充：求下 列 动 圆 的 圆 心 的 轨 迹 方 程：① 与 ⊙ ： 内 切 ，且过 点 ；② 与 ⊙ ： 和 ⊙ ： 都 外 切；③ 与 ⊙ ： 外切，且与⊙ ： 内切． 解题剖析：这表面上看是圆与圆相 切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆 的 半径为 ． ① ∵ ⊙ 与 ⊙ 内 切 ， 点 在 ⊙ 外 ， ∴ ， ， 因 此 有 ，∴点 的轨迹是以 、 为焦 点的双曲线的左支，即 的轨迹方程是 ； ② ∵⊙ 与⊙ 、⊙ 均外切，∴ ， ，因此有 ， ∴点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的上支，∴ 的轨迹方程是 ； ③ ∵ 与 外 切 ， 且 与 内 切 ， ∴ ， ， 因 此 ，∴点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的右支，∴ 的轨迹方程是 ． 例 2 已知 ， 两地相距 ，在 地听到炮弹爆炸声比在 地晚 ，且声速为 ，求炮弹爆炸点的轨迹方程 ． 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 ， 两地听到爆炸声的时间差，即 可知 ， 两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程． 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两 个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 ．已知各观察点到该中心的 距离都是 ．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 ；相关点均在 同一平面内）． 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发 生在西北方向或东 南方向，以因正东比正西 晚 ，则巨 响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上． 如图，以接报中心为原点 ，正东、正北方向分别为 轴、 轴方向，建 立直角坐标系，设 、 、 分别是西、东、北观察点，则 ， ， ． 设 为巨响发生点，∵ 、 同时听到巨响，∴ 所在直线为 ……①，又因 点比 点晚 听到巨响声，∴ ．由双曲线定义知， ， M C ( )2 22 2x y+ + = ( )2,0A 1C ( )22 1 1x y+ − = 2C ( )22 1 4x y+ − = 1C ( )2 23 9x y+ + = 2C ( )2 23 1x y− + = M r C M A C 2MC r= − MA r= 2MA MC− = M C A M ( )2 2 22 1 27 yx x− = ≤ − M 1C 2C 1 1MC r= + 2 2MC r= + 2 1 1MC MC− = M 2C 1C M 2 2 4 34 13 4 xy y − = ≥   M 1C M 2C 1 3MC r= + 2 1MC r= − 1 2 4MC MC− = M 1C 2C M ( )2 2 1 24 5 x y x− = ≥ A B 800m A B 2s 340 /m s A B A B 4s 1020m 340 /m s 4s O x y A B C ( )1020,0A − ( )1020,0B ( )0,1020C ( ),P x y A C OP y x= − B A 4s ( )4 340 1360PB PA m− = × = 680a =，∴ ，∴ 点在双曲线方程为 ……②．联立 ①、②求出 点坐标为 ．即巨响在正西北方向 处． 探究：如图，设 ， 的坐标分别为 ， ．直线 ， 相交于点 ，且它 们的斜率之积为 ，求点 的轨迹方程，并与§2．1．例 3 比较，有什么发现？ 探究方法：若设点 ，则直线 ， 的斜率就可以用含 的式子表示，由于直 线 ， 的斜率之积是 ，因此，可以求出 之间的关系式，即得到点 的轨迹方程． ◆ 情感、态度与价值观目标 通过课件（ ）的展示与操作，必须让学生认同：与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面所得截 口曲线是一条双曲线而不是两条抛物线；必须让学生认同与体会：双曲线的定义及特殊情形当常数 等于两定点间距离时，轨迹是两条射线；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的 两个原则， 及引入参量 的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美； 让学生认同与领悟：像例 1 这基础题配备是必要的，但对定义的理解和使用是远远不够的，必须配 备有一定灵活性、有一定的思维空间的补充题；例 2 是典型双曲线实例的题目，对培养学生的辩证 思维方法，会用分析、联系的观点解决问题有一定的帮助，但要准确判定爆炸点，必须对此题进行 扩展，培养学生归纳、 联想拓展的思维能力． ◆能力目标 （1） 想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例子，能 用数学符 号或自然语言的描述双曲线的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据 图形能用数学术语和数学 符号表示． （2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般 性来研究，培养学生的辩证思维能力． （3） 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力． （4） 数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力． 1020c = 340 5b = P 2 2 2 2 1680 5 340 x y− =× ( )680x ≤ − P ( )680 5,680 5P − 680 10m A B ( )5,0− ( )5,0 AM BM M 4 9 M ( ),M x y AM BM ,x y AM BM 4 9 ,x y M a 2 2b c a= −