高中数学 2．2．6双曲线的简单几何性质教案 新人教A版选修1-1.doc

甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 2．2．6 双曲线的简单几何性质 教案 新人教 A 版选修 1-1 了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程， 研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念； 掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义， 准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．． ◆ 过程与方法目标 （1）复习与引入过程 引导学生复习得到椭圆的简单的几 何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标 准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且 还注意对这种研究方法的进一步地培 养．①由双曲 线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的 对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应 用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过 的思考问题，探究双曲 线的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．2．2 双曲线的简单几何性质． （2）新课讲授过程 （i）通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质． 提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？ 通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位 置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质． （ii）双曲线的简单几何性质 ①范围：由双曲线的标准方程得， ，进一步得： ，或 ．这说 明双曲线在不等式 ，或 所表示的区域； ②对称性：由以 代 ，以 代 和 代 ，且以 代 这三个方面来研究双曲线的标 准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以 轴和 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：圆锥曲线的顶 点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴； ④渐近线：直线 叫做双曲线 的渐近线； ⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率（ ）． （iii）例题讲解与引申、扩展 例 3 求双曲线 的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方 程． 56P 2 2 2 2 1 0y x b a = − ≥ x a≤ − x a≥ x a≤ − x a≥ x− x y− y x− x y− y x y by xa = ± 2 2 2 2 1x y a b − = a ce = 1e > 2 29 16 144y x− =分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出 ．引导学生用双曲线的实半轴长、 虚半 轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在 轴上的渐近线是 ． 扩展：求与双曲线 共渐近线，且经过 点的双曲线的标准方及离心率． 解法剖析：双曲线 的渐近线方程为 ．①焦点在 轴上时，设所求的双曲 线为 ，∵ 点在双曲线上，∴ ，无解；②焦点在 轴上时，设 所求的双曲线为 ，∵ 点在双曲线上，∴ ，因此，所求双曲线 的标准方程为 ，离心率 ．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上， 可直接设所求的双曲线的方程为 ． 例 4双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小 半径为 ，上口半径为 ，下口半径为 ，高为 ．试选择适当的坐标系，求出双曲线 的方程（各长度量精确到 ）． 解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为 ，算出 的值；此题应 注意两点：①注意建立直 角坐标系的两个原则；②关于 的近似值，原则 上在没有注意 精确度时，看题中其他量给 定的有效数字来决定． 引申：如图所 示，在 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 或 送 到 呈 矩 形 的 足 球 场 中 去 铺 垫 ，已知 ， ， ， ．能否在足球场上画一条“等距离” 线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由． 解题剖析：设 为“等距离”线上任意一点，则 ， 即 （定值），∴“等距离”线是以 、 为焦点的双曲线的左支上 , ,a b c y ay xb = ± 2 2 116 9 x y− = ( )2 3, 3A − 2 2 116 9 x y− = 3 4y x= ± x 2 2 2 2 116 9 x y k k − = ( )2 3, 3A − 2 1 4k = − y 2 2 2 2 116 9 x y k k − + = ( )2 3, 3A − 2 1 4k = 2 2 19 4 4 y x− = 5 3e = ( )2 2 , 016 9 x y m m R m− = ∈ ≠ 12m 13m 25m 55m 1m 2 2 2 2 1x y a b − = , ,a b c , ,a b c P PA PB ABCD 150AP m= 100BP m= 60BC m= 60APB∠ =  M PA AM PB BM+ = + 50BM AM AP BP− = − = A B的一部分，容易“等距离”线方程为 ．理由略． 例 5 如图，设 与定点 的距离和它到直线 ： 的距离的比是常数 ，求 点 的轨迹方程． 分析：若设点 ，则 ，到直线 ： 的距离 ，则容易得点 的轨迹方程． 引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线 若 点 与 定 点 的 距 离 和 它 到 定 直 线 ： 的 距 离 比 是 常 数 ，则点 的轨迹方程是双曲线．其中定点 是焦点，定直线 ： 相应于 的准线；另一焦点 ，相应于 的准线 ： ． ◆ 情感、态度与价值观目标 在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情 境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新．必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个 原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进 行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技 能． ◆能力目标 （1） 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解 决问题的能力． （2） 思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力． ( )2 2 1 35 25,0 60625 3750 x y x y− = − ≤ ≤ − ≤ ≤ ( ),M x y ( )5,0F l 16 5x = 5 4 M ( ),M x y ( )2 25MF x y= − + l 16 5x = 16 5d x= − M ( ),M x y ( ),0F c l 2ax c = ce a = ( )0c a> > M ( ),0F c l 2ax c = F ( ),0F c′ − F′ l′ 2ax c = −