高中数学 3.3.1 函数的单调性与导数教案 新人教A版选修1-1.doc

甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 3.3.1 函数的单调性与导数教案 新人教 A 版选修 1-1 了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会利用导数求函数的单调 区间。 2、 过程与方法 通过本节的学习，掌握用导数研究函数单调性的方法。 3、 情感、态度与价值观 通过实例探究函数的单调性与导数的关系。通过这一过程，提高理性思维的能力。 教学重难点 重点：函数单调性和 导数 的关系；会根据导数判断函数的单调性；会利用导数求出函数的单调 区间。 难点：理解并掌握函数的单调性与导数的关系 教学过程 一、 复习引入： 1. 常见函数的导数公式： ； ； ； 2.法则 1 　 ． 法则 2 , 法则 3 二、 讲授新课 1．问题：图 3.3-1（1），它表示跳水运动中高度 随时间 变化的函数 的图像，图 3.3-1（2） 表 示 高 台 跳 水 运 动 员 的 速 度 随 时 间 变 化 的 函 数 的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间 的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度 随 0'=C 1)'( −= nn nxx xx cos)'(sin = xx sin)'(cos −= xx 1)'(ln = exx aa log1)'(log = xx ee =)'( aaa xx ln)'( = )()()]()([ ''' xvxuxvxu ±=± [ ( ) ( )] '( ) ( ) ( ) '( )u x v x u x v x u x v x′ = + [ ( )] '( )Cu x Cu x′ = ' 2 ' ' ( 0)u u v uv vv v −  = ≠   h t 2( ) 4.9 6.5 10h t t t= − + + v t '( ) ( ) 9.8 6.5v t h t t= = − + h时间 的增加而增加 ，即 是增函数．相应地， ． （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度 随时间 的增加而减少，即 是减函 数．相应地， ． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如 图 3.3-3 ， 导 数 表示函数 在点 处的切线的斜 率． 在 处， ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 在 附近单调递增； 在 处， ， 切线是“左上右下”式的，这时，函数 在 附近单调递 减． 结论：函数的单调性与导数的关系 在某个区间 内，如果 ，那么函数 在 这个区间内单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减． 说明：（1）特别的，如果 ，那么函数 在这个区间内是常函数． t ( )h t '( ) ( ) 0v t h t= > h t ( )h t '( ) ( ) 0v t h t= < ' 0( )f x ( )f x 0 0( , )x y 0x x= ' 0( ) 0f x > ( )f x 0x 1x x= ' 0( ) 0f x < ( )f x 1x ( , )a b ' ( ) 0f x > ( )y f x= ' ( ) 0f x < ( )y f x= ' ( ) 0f x = ( )y f x=3．求解函数 单调区间的步骤 ： （1）确定函数 的定义域； （2）求导数 ； （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间． 三．典例分析 例 1．已知导函数 的下列信息： 当 时， ； 当 ，或 时， ； 当 ，或 时， 试画出函数 图像的大致形状． 解：当 时， ，可知 在此区间内单调递增； 当 ，或 时 ， ；可知 在此区间内单调递减； 当 ，或 时， ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”． 综上，函数 图像的大致形状如图 3.3-4 所示． 例 2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1） ； （2） （3） ； （4） 解：（1）因为 ，所以， 因 此 ， 在 R 上 单 调 递 增 ， 如 图 3.3-5 （1）所示． （ 2 ） 因 为 ( )y f x= ( )y f x= ' ' ( )y f x= ' ( ) 0f x > ' ( ) 0f x < ' ( )f x 1 4x< < ' ( ) 0f x > 4x > 1x < ' ( ) 0f x < 4x = 1x = ' ( ) 0f x = ( )y f x= 1 4x< < ' ( ) 0f x > ( )y f x= 4x > 1x < ' ( ) 0f x < ( )y f x= 4x = 1x = ' ( ) 0f x = ( )y f x= 3( ) 3f x x x= + 2( ) 2 3f x x x= − − ( ) sin (0, )f x x x x π= − ∈ 3 2( ) 2 3 24 1f x x x x= + − + 3( ) 3f x x x= + ' 2 2( ) 3 3 3( 1) 0f x x x= + = + > 3( ) 3f x x x= +，所以， 当 ，即 时，函数 单调递增； 当 ，即 时，函数 单调递减； 函数 的图像如图 3.3-5（2）所示． （3）因为 ，所以， 因此，函数 在 单调递减，如图 3.3-5（3）所示． （4）因为 ，所以 ． 当 ，即 时，函数 ； 当 ，即 时，函数 ； 函数 的图像如图 3.3-5（4）所示． 注：（3）、（4）生练 例 3．如图，水以 常速（即单位时间内注 入水的体积相同）注入 下面四种底面积相同 的容器中，请分 别找出 与各容器对应的水的 高度 与时间 的函数关系图 像． 分析：以容 器（2）为例， 由于容器上细 下粗，所以水 以常速注入时， 开始阶段高度 增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A）符合上述变化情况．同理可知其它三种 容器的情况． 解： 思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合 图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时 2( ) 2 3f x x x= − − ( )' ( ) 2 2 2 1f x x x= − = − ' ( ) 0f x > 1x > 2( ) 2 3f x x x= − − ' ( ) 0f x < 1x < 2( ) 2 3f x x x= − − 2( ) 2 3f x x x= − − ( ) sin (0, )f x x x x π= − ∈ ' ( ) cos 1 0f x x= − < ( ) sinf x x x= − (0, )π 3 2( ) 2 3 24 1f x x x x= + − + ' ( ) 0f x > 2( ) 2 3f x x x= − − ' ( ) 0f x < 2( ) 2 3f x x x= − − 3 2( ) 2 3 24 1f x x x x= + − + h t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 , 2 , 3 , 4B A D C→ → → →，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些． 如图 3.3-7 所示， 函数 在 或 内的图像“陡峭”， 在 或 内的图像“平缓”． 例 4．求证：函数 在区间 内是减函数． 证明：因为 当 即 时， ，所以函数 在区间 内是 减函数． 说明：证明可导函数 在 内 的单调性步骤： （1）求导函数 ； （2）判断 在 内的符号； （3）做出结论： 为增函数， 为减函数． 例 5．已知函数 在区间 上是增函数，求实数 的取值范 围． 解： ，因为 在区间 上是 增函数，所以 对 恒成 立，即 对 恒成立，解之得： 所以实数 的取值范围为 ． 说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系： 即“若函数单调递增，则 ；若函数单 调递减，则 ”来求解，注意此时公式中的 等号不能省略，否则漏解． 例 6．已知函数 y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间. 解：y′=(x+ )′ =1 － 1 · x － 2= 令 ＞0. ( )y f x= ( )0 , b ( ), 0a ( ),b + ∞ ( ), a−∞ 3 22 3 12 1y x x x= + − + ( )2,1− ( ) ( )( )' 2 26 6 12 6 2 6 1 2y x x x x x x= + − = + − = − + ( )2,1x∈ − 2 1x− < < ' 0y < 3 22 3 12 1y x x x= + − + ( )2,1− ( )f x ( ),a b ( )'f x ( )'f x ( ),a b ( )' 0f x > ( )' 0f x < 2 32( ) 4 ( )3f x x ax x x R= + − ∈ [ ]1,1− a ' 2( ) 4 2 2f x ax x= + − ( )f x [ ]1,1− ' ( ) 0f x ≥ [ ]1,1x∈ − 2 2 0x ax− − ≤ [ ]1,1x∈ − 1 1a− ≤ ≤ a [ ]1,1− ' ( ) 0f x ≥ ' ( ) 0f x ≤ x 1 x 1 22 2 )1)(1(1 x xx x x −+=− 2 )1)(1( x xx −+解得 x＞1 或 x＜－1. ∴y=x+ 的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令 ＜0，解得－1＜x＜0 或 0＜x＜1. ∴y=x+ 的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 四、课堂练习： 1．确定下列函数的单调区间 (1)y=x3－9x2+24x (2)y=3x－x3 (1)解：y ′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4) 令 3(x－2)(x－4)＞0，解得 x＞4 或 x＜2. ∴y=x3－9x2+ 24x 的单调增区 间是(4，+∞)和(－∞，2) 令 3(x－2)(x－4)＜0，解得 2＜x＜4 .∴y=x3－9x2+24x 的单调减区间是(2，4) (2)解：y′=(3x－x3)′=3－3x2=－3(x2－1)=－3(x+1)(x－1) 令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1. ∴y=3x－x3 的单调增区间是(－1，1). 令－3(x+1)(x－1)＜0，解得 x＞1 或 x＜－ 1. ∴y=3x－x3 的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞) 2、设 是函数 的导数, 的 图象如图所示, 则 的图象最有可能是( ) 小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？ 五、 课堂小结 ： 1.函数导数与单调性的关系:若函数 y=f(x)在某个区间内可导,如果 f ′(x)>0, 则 f(x)为增函数;如果 f ′(x)