高中数学 3.3.2函数的极值与导数教案

甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 3.3.2 函数的极值与导数教案 新 人教 A 版选修 1-1 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 创设情景 观察图 3.3-8，我们发现， 时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数 在 此 点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大 附近函数 的图像，如图 3.3-9．可以看出 ；在 ，当 时，函数 单调递增， ；当 时，函数 单调递减， ；这就说明，在 附近，函数 值先增（ ， ）后减（ ， ）．这样，当 在 的附近从小到大经过 时， 先正后负，且 连续变化，于是有 ． 对于一般的函数 ，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在 某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、 极小值的方法.判断极值点的关键是这 点两侧的导数异号 新课讲授 一、导入新课 观察下图中 P 点附近图像从左到右的变化趋势、P 点 的函数值以及点 P 位置的特点 t a= ( )h t t a= ( )h t ( )h a′ t a= t a< ( )h t ( ) 0h t′ > t a> ( )h t ( ) 0h t′ < t a= t a< ( ) 0h t′ > t a> ( ) 0h t′ < t a a ( )h t′ ( )h t′ ( ) 0h a′ = ( )y f x= 3.3-8 3.3-9 o a x1 x2 x3 4 b x y P(x1,f(x1)) y=f(x) Q(x2,f(x2))o a x1 x2 x3 x4 b x y )( 1xf )( 4xf 函数图像在 P 点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单 调递减）， 在 P 点附近，P 点的位置最高，函数值最大 二、学生活动 学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义. 三、数学建构 极值点的定义: 观察右图可以看出，函数在 x=0 的函数值比它附近所有 各点的函数值都大，我们说 f (0)是函数的一个极大值；函数在 x=2 的函数值比它附近所 有各点的函数值都小，我们说 f (2)是函数的 一个极小值。 一般地，设函数 在 及其附近有定义，如果 的值比 附近所有各点的函数值都大，我们说 f ( )是函数 的一个极大值；如果 的值比 附近所有各点的函数值都小，我们说 f ( )是函数 的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数 值。 请注意以下几点：(让同学讨论) （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是 最大或最小。并不意味着它在函数的 整个的定义域内最大或最小。 （ⅱ）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一 个。 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关 系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图 所示， 是极大值点， 是极小值点，而 > 。 （ⅳ）函数的极 值点一定出现在区间的内部，区间 的端点不能成为极值点。而使函数取得最大 值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 极值点与导数的关系: 复习可导函数在定义域上的单调性与导函数值的相互关系,引导学生寻找函数极值点与导数 之间的关系. 由上图可以看出，在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有 。但反过来不一定。若寻找函数极值点,可否只由 =0 求得即可? )(xfy = 0xx = )( 0xf 0x 0x )(xfy = )( 0xf 0x 0x )(xfy = 1x 4x )( 4xf )( 1xf 0)( =′ xf )(xf ′ x0 2 yo a x0 b x y 0)( ′ xf o a x0 b x y )( 0xf ′ 0)( ′ xf o x y 探索:x=0 是否是 函数 = x 的极值点?（展示此函数的图形） 在 处，曲线的切线是水平的,即 =0，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大， 也不比它附近的点的函数值小,故不是极值点。如果 使 ，那么 在什么情况下是的极值 点呢？ 观察下左图所示，若 是 的极大值点，则 两侧附近点的函数值必须小于 。因此， 的左侧附近 只能是增函数，即 ， 的右侧附近 只能是减函数，即 ，同理， 如下右图所示，若 是极小值点，则在 的左侧附近 只能是减函数，即 ，在 的 右侧附近 只能是增函数，即 ， 从而我们得出结论(给出寻找和判断可导函数的极值的方法,同时巩固导数与函数单调性之间 的关系）： 若 满足 ，且在 的两侧 的导数异号，则 是 的极值点， 是 极值，并且如果 在 两侧满 足“左正 右负”，则 是 的极大值点， 是极大值； 如果 在 两侧满足“左负右正”，则 是 的极小值点， 是极小值。 结论： 左右侧导数异号 是函数 f(x)的极值点 =0 反过来是否成立?各是什么条件? 点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号 ；点是极值点的必要不充分条件是在 这点的导数为 0. 学生活动 函数 y=f(x)的导数 y/与函数值和极值之间的关系为(D ) A、导数 y/由负变正,则函数 y 由减变为增,且有极大值 B、导数 y/由负变正,则函数 y 由增变为减,且有极大值 C、导数 y/由正变负,则函数 y 由增变为减,且有极小值 D、导数 y/由正变负,则函数 y 由增变为减,且有极大值 四、数学应用 例 1．（课本例 4）求 的极值 解： 因为 ，所以 )(xf 3 0=x )(xf ′ 0x 0)( 0 =′ xf 0x 0x )(xf 0x )( 0xf 0x )(xf 0)( >′ xf 0x )(xf 0)( 0,即 ，或 时； （2）当