高中数学 3.3.3函数的最大（小） 值与导数教案

甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 3.3.3 函数的最大（小） 值 与导数教案 新人教 A 版选修 1-1 （包括端点 ）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； ⒉使学生 掌握用导数求函数的极值及最值的方法和 步骤 教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 教学过程： 一．创设情景 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性 质．也就是说，如果 是函数 的极大（小）值点，那么在点 附近找不到比 更大 （小）的值．但是 ，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至 最大，哪个值最小．如果 是函数的最 大（小）值，那么 不小（大）于函数 在相 应区间上的所有函数值． 二． 新课讲授 观察图中一个定义在闭区间 上的函数 的图象．图中 与 是极小值， 是极大 值．函数 在 上的最大值是 ，最小值是 ． 1．结论：一般地，在闭区间 上函数 的图像是一条连续不断的曲线，那么函数 在 上必 有最大值与最小值． 说明：⑴如果在某一区间上函数 的图像是一条连续 不断的曲线，则称函数 在这个区间上连续．（可以不给学生讲） ⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小 值．如函数 在 内连续，但没有最大值与最小值； ⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断， ⑷函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充分条件而非 ba, 0x ( )y f x= 0x ( )0f x 0x ( )0f x ( )y f x= [ ]ba, )(xf )( 1xf 3( )f x 2( )f x )(xf [ ]ba, )(bf 3( )f x [ ]ba, ( )y f x= ( )y f x= [ ]ba, ( )y f x= ( )y f x= ( , )a b )(xf xxf 1)( = ),0( +∞ )(xf [ ]ba, )(xf [ ]ba, x3x2x1 ba xO y必要条件．（可以不给学生讲） 2．“最值”与“极值”的区别和联系 ⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概 念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性． ⑵从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； ⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有 一个 ⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端 点处取得，有极值的 未必有最值，有最值 的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． 3．利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比 较，就可以得出函数的最值了． 一般地 ，求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求 在 内的极值； ⑵将 的各极值与端点处的函数值 、 比较，其中最大的一个是最大值，最小的 一个是最小值，得出函数 在 上的最值 三．典例分析 例 1．（课本例 5） 求 在 的最大值与最小值 解： 由例 4 可知，在 上，当 时， 有极小值，并且极小值为 ， 又由于 ， 因此，函数 在 的最大值是 4，最小值是 ． 上述结论可以从函数 在 上的图象得到直观验 证． 例 2．求函 数 在区间 上的最大值与最小值 解：先求导 数，得 令 ＝0 即 解得 导数 的正负以及 ， 如下表 X -2 （-2,-1） -1 （-1,0 ） 0 （0,1） 1 （1,2） 2 y/ － 0 ＋ 0 － 0 ＋ y 13 ↘ 4 ↗ 5 ↘ 4 ↗ 13 从上表知，当 时，函数有最大值 13，当 时，函数有最小值 4 )(xf )(xf [ ]ba, )(xf ( , )a b )(xf )(af )(bf )(xf [ ]ba, ( ) 31 4 43f x x x= − + [ ]0 , 3 [ ]0 , 3 2x = ( )f x 4(2) 3f = − ( )0 4f = ( )3 1f = ( ) 31 4 43f x x x= − + [ ]0 , 3 4 3 − ( ) 31 4 43f x x x= − + [ ]0 , 3 52 24 +−= xxy [ ]2,2− xxy 44 3/ −= /y 044 3 =− xx 1,0,1 321 ==−= xxx /y )2(−f )2(f 2±=x 1±=xy=x4-2x2+5 12 10 8 6 4 2 -4 -2 42 xO y 例 3．已知 , ∈(0,+∞).是否存在实数 ,使 同时满足下列 两个条件：（1） )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（ 2） 的最小值 是 1，若存在，求出 ，若不存在，说明 理由. 解：设 g(x)= ∵f(x)在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数 ∴g(x) 在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数. ∴ ∴ 解得 经 检验，a=1,b=1 时，f(x)满足题设的两个条件. 四．课堂练习 1． 下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数 y=f(x)在区间［a,b］ 上的最大值 是 M，最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) ( ) A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能 3．函数 y= ，在［－1，1］上的最小值为( ) A.0 B.－2 C.－1 D. 4．求函数 在区间 上的最大值与最小值． 5．课本 练习 五．回顾总结 1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端 点； 2．函数 在闭区间 上连续，是 在闭区间 上有最大值与最小值的充分条件而 非必要条件； 3．闭区间 上的连续函数一定有 最值；开区间 内的可导函数不一定有最值， 若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值 4．利用导数求函数的最值方法． 2 3( ) log x ax bf x x + += x a b、 )(xf )(xf )(xf a b、 x baxx ++2    = = 3)1( 0)1(' g g    =++ =− 31 01 ba b    = = 1 1 b a 234 2 1 3 1 4 1 xxx ++ 12 13 52 24 +−= xxy [ ]2,2− )(xf [ ]ba, )(xf [ ]ba, [ ]ba, ),( ba