§2．2．2 双曲线的简单的几何性质（1）
【学情分析】：
1、学生已经学过椭圆的几何性质，对椭圆的几何性质有所了解；
2、学生已学习了双曲线的定义及标准方程并能较熟练地求双曲线的标准方程；
本节课将通过学生的类比、归纳、探究，培养学生的观察问题、研究问题的能力。
【教学目标】：
知识与技能
1、了解双曲线的简单的几何性质
2、能运用双曲线的几何性质解决一些简单问题；
过程与方法
1、 能从双曲线的标准方程出发，推导双曲线的几何性质；
2、 能抓住椭圆与双曲线几何性质的异同进行类比、归纳；
3、培养学生运用数形结合的思想，用联想、类比、归纳的方法，提高解决问题的能力
情感态度与价值观
通过自主探究、讨论交流，培养学生良好的学习情感，激发学习数学的兴趣。
【教学重点】：
双曲线的简单几何性质的探究
【教学难点】：
双曲线的简单几何性质的探究
【课前准备】：
课件
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一．复习、
引入
1．双曲线的两种标准方程是什么？
2.椭圆有哪些几何性质？
请一同学回答．应为：范围、对称性、顶点、离心率等。
展示椭圆的图形与其性质表格：附表 1（右方单元格空）
通过复习引入，有利于学生在已
有知识基础上开展学习；提出新
问题，引发学习兴趣。
二．讨论探
究
1．问题：类比椭圆的性质，你认为双曲线应研究哪些
性质？如何研究这些性质？
2．引导学生类比椭圆的几何性质进行讨论探究，观察、
归纳双曲线的几何性质，并进行简单的证明或说明理由。
每种性质可让学生板演其推证过程或说明理由
1． 板演双曲线的几何性质，（让学生完成附表 1 右方
单元格内容）
2． 教师重点讲解双曲线方程的基本量
与双曲线的几何性质的关系；
利用信息技术辅助演示，重点讲解双曲线的渐近线与
离心率，讲解等轴双曲线的概念；
5．讨论：椭圆与双曲线的几何性质有何异同？
1．充分运用学生学习椭圆的经
验
2．通过学生观察、归纳再进一
步验证，培养学生数形结合、归
纳的数学思想。
3．通过与椭圆进行比较，进一
步加深学生对两种曲线的几何
性质的了解。
三．例题 1．例 3：求双曲线 的半实轴长和半虚
轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
分析：本题为巩固双曲线的几何性质
双曲线的几何性质的简单应用
a、b、c、e
2 29 16 144y x− =解：化为标准方程可得：
由此得：半实轴长 ，半虚轴长 ，
焦点坐标为（0,－5）、（0,5）；离心率
渐近线方程为：
由学生板演
2．练习：教科书练习 1、2、3
3．例：与双曲线 有共同的渐近线，且过点
（－3，2 ），求双曲线方程
解法一：（1）设双曲线的方程为 － =1，
由题意，得
解得 a2= ，b2=4
所以双曲线的方程为 － =1
解法二：（1）设所求双曲线方程为 － ＝λ（λ
≠0），
将点（－3，2 ）代入得λ＝ ，
所以双曲线方程为 － ＝
3． 补充例题：
P 是双曲线 的右支上一点，M、N 分别
是圆（x＋5）2＋y2＝4 和（x－5）2＋y2＝1 上的点，则
|PM|－|PN|的最大值为（ ）
A. 6 B.7 C.8 D.9
解：设双曲线的两个焦点分别是 F1（－5，0）与 F2（5，
0），则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点 P 与 M、
2 2
2 2 14 3
y x− =
4a = 3b =
2 2 2 24 3 5c a b= + = + =
5
4
ce a
= =
4
3y x= ±
2 2
19 16
x y− =
3
2
2
a
x
2
2
b
y
2 2
4
3
( 3) (2 3) 19 16
b
a
= − − =
4
9
4
9
2x
4
2y
9
2x
16
2y
3 4
1
9
2x
16
2y
4
1
2 2x y 19 16
－ ＝F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大，
此时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝
9 故选 B
四、小结 1．提问：双曲线有什么几何性质？与基本量 a、b、c、
e 之间的关系是什么？
2． 椭圆与双曲线的几何性质有什么异同？
五、作业 教科书习题 2.2 3、4、5、6
附表 1：
椭圆 双曲线
定义 |MF1|+|MF2|=2a，(2a＞|F1F2) |MF1|-|MF2|=2a
图形
标准方程
范围 |x|≤a，|y|≤b，(x，y 都有限) |x|≥a，y∈R，(x，y 都无限)
对称性 关于 x 轴，y 轴，原点都对称 关于 x 轴，y 轴，原点都对称
顶点 (±a，0)，(0，±b) (±a，0)
椭 圆 双 曲 线
离心率
渐近线 无
练习与测试：
1．双曲线 的渐近线方程是 （ ）
A． B． C． D．
答案：C
２．双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则
A． B． C． D．
解：双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，∴ m 2)的两条渐近线的夹角为
π
3 ,则双曲线的离心率为
A.2 B. 3 C.2 6
3 D.2 3
3
解：双曲线 (a> 2)的两条渐近线的夹角为
π
3 ，则 ，∴ a2=6，双曲线的离心
率为
2 3
3 ，选 D．
5. 双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，∠F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（ B ）
A. B. C. D.
6. 已 知 双 曲 线 的 两 个 焦 点 为 ， ， P 是 此 双 曲 线 上 的 一 点 ， 且 ，
，则该双曲线的方程是（ C ）
A． B． C． D．
7. 曲线 与曲线 的
(A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同
【 解 析 】 由 知 该 方 程 表 示 焦 点 在 x 轴 上 的 椭 圆 ， 由
知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，故只能选择答案 A。
8．双曲线 的焦距是 .
答案：
19
2
2
2
=− y
a
x
1,023 Fyx =−
3|| 1 =PF =|| 2PF
2 2
2 12
x y
a
− = 2 3tan 6 3a
π= =
3 2
6
3
6
3
3
)0,5(1 −F )0,5(2F 21 PFPF ⊥
2|||| 21 =• PFPF
132
22
=− yx 123
22
=− yx 14
2
2
=− yx 14
2
2 =− yx
2 2
1( 6)10 6
x y mm m
+ =
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