人教A版选修1-1教案：2.3复合函数的导数（含答案）.doc

§1.2.3 复合函数的导数 【学情分析】： 在学习了用导数定义这种方法计算常见函数的导数,而且已经熟悉了导数加减运算法则后.本节将继 续介绍复合函数的求导方法. 【教学目标】： (1)理解掌握复合函数的求导法则. (2)能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导 (3)培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律． 【教学重点】： 简单复合函数的求导法则，也是由导数的定义导出的，要掌握复合函数的求导法则，须在理解复合过 程的基础上熟记基本导数公式，从而会求简单初等函数的导数并灵活应用. 【教学难点】： 复合函数的求导法则的导入,复合函数的结构分析,可多配例题, 让学生对求导法则有一个直观的了解. 【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 (1)复习常见函数导数以及 四则运算. 作业讲评及提问,回忆常见函数的导数公式 和导数四则运算,会解释导数实际意义. 为课题引入作铺垫. (2)教科书 P16 思考题 如何求函数 的导数? 开门见山提出问题. (3) 复合函数的定义. (1) 复合函数的定义. (2)比较复合函数与基本初等函数的异同? 直接给出定义,并与基 本初等函数相区别和 联系. (4)例题选讲 例 1 试说明下列函数是怎样 复合而成的？ (1) ； ⑵ ； ⑶ ⑷ ． 例 2 写出由下列函数复合而 成的函数： ⑴ ， ；　　 ⑵ ， ． 允许讨论, 允许提问, 允许争论, 允许修正, 允许置疑. 老师点评. 说明：讨论复合函 数的构成时，“内层”、 “外层”函数一般应 是基本初等函数，如一 次函数、二次函数、指 数函数、对数函数、三 角函数等． 例 3.求函数 的导数. (1) 能否用学过四则运算解决问题? (2)新方法：将函数 看作是函数 两种方法作对照与比 较,体会不同的解决方 法与策略.鼓励学生模 ln( 1)y x= + 32 )2( xy −= 2sin xy = cos( )4y x π= − )13sin(ln −= xy uy cos= 21 xu += uy ln= xu ln= 2(3 2)y x= − 2(3 2)y x= −和函数 复合函数，并分别 求对应变量的导数如下： ， 两个导数相乘，得 ， 从 而有 对于一般的复合函数，结论也成立，以 后我们求 y′x 时，就可以转化为求 yu′和 u ′x 的乘积，关键是找中间变量，随着中间变 量的不同，难易程度不同. (3)能否用方法(2)解决(2)教科书 P16 思考题: 如何求函数 的导数? (4)学生动手,可板演,可用实物投影仪讲评. 仿并及时修正. (6)自学教科书 P17 例 4. 学生自学,教师巡堂并答疑. 在摸索中熟悉. (7)例 4: 求 y=sin2(2x+ )的导数. 分析: 设 u=sin(2x+ )时，求 ，但此时 u 仍是复合函数，所以可再设 v=2x+ . 解略. 必要时老师应板书详 细过程. (8) 课堂练习： 1．求下列函数的导数(先设中 间变量，再求导). (1)y=(5x－3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2－x2)3 (4)y=(2x3+x)2 (1)20(5x－3)3 (2) 15(2+3x)4 (3) －6x(2－x2)2 (4) 24x5+16x3+2x 可板演，可小测。 核对答案、讲评并小结. 巩固提高. (10)课堂小结 ⑴复合函数求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复 合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导； ⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代. (11)作业布置:教科书 P18A3,4(6),8,B3 2y u= 3 2u x= − 2( ) 2uy u u′ ′= = (3 2) 3xu x′ ′= − = 2 3 2(3 2) 3 18 12u xy u u x x′ ′ = = − = −  xux uyy ''' ⋅= ln( 1)y x= + 3 π 3 π 'xu 3 π练习与测试: 1．填空： (1) ；(2) 2.求下列函数的导数：(1)y= (2)y= (3)y=tanx (4)y= 3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正. 4.求 y= 的导数. 5.求 y= 的导数. 6.求函数 y=(2x2－3) 的导数. 参考答案: 1．(1)∵ (2) 2. (1)y′=( )′ (2)y′=( )′ (3)y′=(tanx)′=( )′ 22 2 2 )1( )()1)(()1( + −+=′ + x xx x x x xx x x 2 22 sin4 ))(1(sin)()sin2 1( +−=′+ xa xa + − 23 2 x x + xcos1 1 − 2 2 2 sin)cos1(2)cos1( x xxxx x x ++=′+ x x sin 1 2− xx x cos 4 2 3− 21 x+ 22 22 2 )1( )1()1()1( + ′+−+′=′ + x xxxx x x 22 2 )1( )2()1)(1( + −+= x xxx 2 222 )sin2( )sin2)(1(sin2)1()sin2 1( x xxxx x x ′+−′+=′+ x xxxx x xxxx 2 2 2 2 sin4 )cos2)(1(sin)4( sin4 )cos2)(1(sin22 +−=+−⋅= xa xa + − 2)( ))(()()( xa xaxaxaxa + ′+−−+′−= 22 )( 2 )( )()( xa a xa xaxa + −=+ −−+−= 23 2 x x + 22 22 )3( )3)(2()3()2( x xxxx ′+−′+= 34 2 4 2 3 4 9 123 9 )6)(2(3 x x x xx x xxx +−=−−=+−= x x cos sin 2)(cos )(cossincos)(sin x xxxx ′−′=(4)y′=( )′ ＝ 3.不正确，分母未平方，分子上正负号弄错. 4.y′=( )′ 5.y′=( )′ 5.y′=( )′ xxx xx 2 22 22 seccos 1 cos sincos ==+= xcos1 1 − 2)cos1( )cos1(1)cos1(1 x xx − ′−⋅−−′= 22 )cos1( sin )cos1( sin)cos1(0 x x x xx −−=− −− 2 2 2 2 2 3 1 cos (1 cos ) (1 cos )( )( ) ( ) sin 2cos 2 x x x x x x x x x x x ′ ′+ + − +′ = + += − x x sin 1 2− 2 22 )(sin ))(sin1(sin)1( x xxxx ′−−′−= x xxxx 2 2 sin cos)1(sin2 −−−= xx x cos 4 2 3− 22 2323 )cos( )cos)(4(cos)4( xx xxxxxx ′−−′−= xx xxxx xx xxxxxxxx xx xxxxxxxx 23 34 24 524 24 2322 cos cos)8(sin)4( cos sinsin4cos8cos cos )sincos2)(4(cos3 +−−= −+−−= −−−⋅−= x xxxx 2 2 sin cos)1(sin2 −−−= xx x cos 4 2 3− 22 2323 )cos( )cos)(4(cos)4( xx xxxxxx ′−−′−=6. 分析: y 可看成两个函数的乘积，2x2－3 可求导， 是复合函数，可以先算出 对 x 的导数. 令 y=uv，u=2x2－3，v= , 令 v= ，ω=1+x2 = (1+x2) x′ = ∴yx′=(uv) x′=u x′v+uv x′ =(2x2－3) x′· +(2x2－3)· =4x 即 yx′= . xx xxxx xx xxxxxxxx xx xxxxxxxx 23 34 24 524 24 2322 cos cos)8(sin)4( cos sinsin4cos8cos cos )sincos2)(4(cos3 +−−= −+−−= −−−⋅−= 21 x+ 21 x+ 21 x+ ω x xv vω ω′ ′ ′= ⋅ ( )ωω ′ 22 2 1 112 2)2(2 1 x x x xx + = + =−ω 21 x+ 21 x x + 2 3 2 3 2 1 6 1 321 x xx x xxx + += + −++ 2 3 1 6 x xx + +