§3.1.1 空间向量及加减其运算
【学情分析】：
向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等
方面也有着广泛的应用。在人教 A 版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意
与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法
（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法
（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解
决问题，培养学生的开拓创新能力。
【教学重点】：
空间向量的概念和加减运算
【教学难点】：
空间向量的应用
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一．情景引
入
（1） 一块均匀的正三角形的钢板所受重力为 500N，在它的
顶点处分别受力 F ，F ，F ，每个力与同它相邻的三
角形的两边之间的夹角都是 60 ，且| F |=|F |=|F
|=200N，这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这
三个力至少多大时，才能提起这块钢板？
（2） 八抬大轿中每个轿夫对轿子的支持力具有怎样的特
点？？
从实际生活的例子出发，
使学生对不共面的向量
有一个更深刻的认识。
说明不同在一个平面内
的向量是随处可见的。
二．新旧知
识比较
让我们将以前学过的向量的概念和运算回顾一下，看它们
是只限于平面上呢？还是本来就适用于空间中。
请学生自行阅读空间向量的相关概念：空间向量定义、模
长、零向量、单位向量、相反向量、相等向量。
请学生比较与平面向量的异同。
向量概念的关键词是大小和方向，所以它应既适用于平面
上的向量，也适合于空间中的向量，二者的区别仅仅在于：在
空间中比平面上有更多的不同的方向。因此平面几何中的向量
概念和知识就可以迁移到空间图形中。
（1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同
一平面内的两个向量。
通过比较，既复习了平
面向量的基本概念，又
加强了对空间向量的认
识，注重类比学习，提
高学生举一反三的能力。
三．类比推
广、探求新
知
如图，对于空间任何两个向量 ，可以从空间任意一点 O
出发作 ，即用同一平面内的两条有向线段
来表示
让学生知道，数学中研
究的向量是自由向量，
与向量的起点无关，这
是数学中向量与物理中
矢量的最大区别。
1 2 3
o
1 2 3
ba,
bOBaOA == ,
OBOA, ba,（2）在平面图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四边
形法则，同样对于空间任意两个向量 都看作同一平面内的
向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法
和减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下：
如图，可以从空间任意一点 O 出发作 ，并
且从 出发作 ，则 .
探索 1：空间三个以上的非零向量能否平移至一个明面上？
探索 2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？
（3） 思考《选 2-1》课本 P85 探究题
归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。
空间三个或更多的向量
相加，不能同时将这些
向量都用同一个平面上
的有限线段来表示，但
仍然可以用将它们依次
用首尾相接的有向线段
来表示，得到它们的和。
比如：三个向量的和
,一般地,空间中多个依
次用首尾相接的有向线
段相加的结果等于起点
和终点相连的有向线段。
我们常常把向量的这种
性质
简称为“封口向量”。
四．练习巩
固
1．课本 P86 练习 1-3
2 ． 如 图 ， 在 三 棱 柱
中，M 是 的中点，
化简下列各式，并在图中标出化简
得到的向量：
（1） ;
巩固知识，注意区别加
减法的不同处.
b
a
b
D
B
AO
C
b
a
b
D
B
A
C
O
C
ba,
bOBaOA == ,
A bAC = BAbaOCba =−=+ ,
ADCDBCAB =++
ADCDBCAB =++
111 CBAABC − 1BB
1BACB +（2） ;
（3）
解：（1）
（2）
（3）
五．小结
1．空间向量的概念：
2．空间向量的加减运算
反思归纳
六．作业 课本 P97 习题 3.1，A 组 第 1 题（1）、（2）
练习与测试：
（基础题）
1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。
2．说明数字 0 与空间向量 0 的区别与联系。
答：空间向量 0 有方向，而数字 0 没有方向；空间向量 0 的长度为 0。
3．三个向量 a,b,c 互相平行，标出 a+b+c.
‘解：分同向与反向讨论（略）。
4．如图，在三棱柱 中，M 是 的中点，
化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1） ;
（2） ;
（3）
解：（1）
（2）
（3）
（中等题）
1AACBAC ++
CBACAA −−1
11 CABACB =+
11 ABAACBAC =++
11 BACBACAA =−−
111 CBAABC − 1BB
1BACB +
12
1 AACBAC ++
CBACAA −−1
11 CABACB =+
AMAACBAC =++ 12
1
11 BACBACAA =−−5．如图，在长方体 中， ，点 E,F 分别是 的中点，
试用向量 表示 和
解：
。
6．在上题图中，试用向量 表示 和
解： = = ，
=-- =--
/// BDCAOADB − 3 , 4 , 2 ,OA i OB j OC k= = = //, BDDB
kji ,, OE OF
jiOE 42
3 +=
kjiOF 242
3 ++=
kji ,, EF FE
EF OEOF − k2
FE EF k2
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