§3.1.3 空间向量的数量积运算
【学情分析】：
本小节首先把平面向量数量积运算推广到空间向量数量积运算学生已有了空间的线、面平行和面、面
平行概念，这种推广对学生学习已无困难但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平
面扩大到空间一个向量已是空间的一个平移，要让学生在空间上一步步地验证向量的数量积运算这样做，
一方面复习了平面向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念
【教学目标】：
（1）知识与技能：掌握掌握空间向量的夹角的概念，空间向量数量积的定义和运算律
（2）过程与方法：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习和使用，掌握立体几何中的三垂线
定理及其逆定理的证明
（3）情感态度与价值观：进一步学习向量法在证明立体几何中的应用，培养学生的开拓创新能力和
举一反三的能力。
【教学重点】：
空间向量的数量积运算
【教学难点】：
空间向量的数量积运算在解决立体几何中的应用
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一．温故
知新
1、平面向量的数量积
（1）设 是空间两个非零向量，我们把数量
叫作向量 的数量积，记作 ，即 ＝
（2）夹角： ．
（3）运算律
； ；
复习旧知识，为
新知识做铺垫，
让学生可以非常
容易的接收空间
向量的数量积概
念。
二．新课
讲授
1、夹角
定义： 是空间两个非零向量，过空间任意一点 O，作
，则 叫做向量 与向量 的夹角，记作
规定：
注意夹角的表示
方法和意义，垂
直的表示。
ba, >< baba ,cos||||
ba, ba ⋅ ba ⋅ >< baba ,cos||||
||||
,cos
ba
baba
⋅>=<
abba ⋅=⋅ )()( abba ⋅=⋅ λλ cabacba ⋅+⋅=+⋅ )(
ba,
bOBaOA == , AOB∠ a b >< ba,
π>≤≤< ba,0特别地，如果 ，那么 与 同向；如果 ，
那么 与 反向；如果 ，那么 与 垂直，记作 。
2、数量积
（1）设 是空间两个非零向量，我们把数量
叫作向量 的数量积，记作 ，即 ＝
（2）夹角： ．
（3）运算律
；
；
思考：
1、若 ，是否有 成立？
2、若 ，是否有 ，或 成立？
3、向量数量积是否有结合律 成立？
注意向量运算和
代数运算的差别。
三．典例
讲练
例1． 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂
直，那么它也和这条斜线垂直。
已知：PO，PA 分别是平面 的垂线，斜线，AO 是 PA 在平面 内的
射影， 且 ，
求证：
证明：取直线 的方向向量 ，同时取向量 ， 。
因为 ，所以 。
因为 ，且 ，所以
因此 。
注重向量在垂直、
共面中的使用的
意识的培养。
0, >=< ba a b π>=< ba,
a b 090, >=< ba a b ba ⊥
ba, >< baba ,cos||||
ba, ba ⋅ ba ⋅ >< baba ,cos||||
||||
,cos
ba
baba
⋅>=<
abba ⋅=⋅
)()( abba ⋅=⋅ λλ
cabacba ⋅+⋅=+⋅ )(
caba ⋅=⋅ cb =
kba =⋅
b
ka =
a
kb =
)()( cbacba ⋅=⋅
α α
α⊂l OAl ⊥
PAl ⊥
l a PO PA
OAl ⊥ 0=⋅OAa
α⊥PO α⊂l POl ⊥
0=⋅ POaB1
C1
B
A C
A1
又因为 ，
所以
这个命题叫做三垂线定理，思考其逆定理如何证明
三垂线定理的逆定理：在平面内德一条直线，如果和这个平面的一
条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
例 2． ， 是平面 内的两条相交直线，如果 ， ，求
证：
证明：在内作任一直线 个，分别在 ， ， ， ，上取非零向
量 ， ， ， 。
因为 与 相交，所以向量 ， 不平行，由向量共面的充要条件
知，存在惟一的有序实数对 ，
使
将上式两边与向量作数量积，
得
因为 ， ，
所以
所以 ，即
这就证明了直线垂直于平面 内的任意一条直线，
所以
四．练习
1．如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1
中，若 AB= BB1，则 AB1 与 C1B 所成角的
大
小为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
注意
的使用
0)( =⋅+⋅=+⋅=⋅ OAaPOaOAPOaPAa
OAl ⊥
m n α ml ⊥ nl ⊥
α⊥l
g l m n g
l m n g
m n m n
),( yx
nymxg +=
nlymlxgl ⋅+⋅=⋅
0=⋅ ml 0=⋅ nl
0=⋅ gl
gl ⊥ gl ⊥
α
α⊥l
2
060 090
0105 075
2
|| aa =D' C'
B'
A B
D C
A'
2、如图，在平行六面体 ABCD-A’B’C’D’ 中，AB=4，
AD=3，AA’=5， BAD= ， BAA’=
DAA’= ，求 A’C 的
长。
巩固
3、如图，线段 AB，BD 在平
面 内，BD AB，线段 AC ，
且 AB=a，BD=b，AC=c，求 C，D 间
的距离。
五．小结
（1）夹角、空间向量数量积、运算律
（2）三垂线定理及其逆定理
（3）夹角、距离的求法
回顾方法
六．作业 课本 P97，习题 3.1 A 组，第 3 题、第 4 题、第 5 题
练习与测试：
（基础题）
1． 已知空间四边形 OABC 中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且 OA=OB=OC，M、N 分别是 OA、BC 的
中点，G 是 MN 的中点。求证 OG⊥BC
分析：要证 OG⊥BC，只需证明 。
把 OG、BC 用基向量 OA、OB、OC 表示
∠ 090 ∠ ∠
060
α ⊥ ⊥ α
0OG BC⋅ =
D
A
B
C略解：
（中等题）
２． 已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60º
（1）证明 CC1⊥BD
（2）当 的值为多少时，能使 A1C⊥平面 C1BD？并证明
分析：取 为运算的基向量，则 。
注意向量间的方向对夹角的影响
略证（2）设 ，菱形边长为 a，则
，解得
当 时，
1 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2 4OG OM ON OA OB OC OA OB OC = + = + + = + +
BC OC OB= −
1
CD
CC
1, ,CD CB CC BD CD CB= −
1
( 0)CD
CC
λ λ= > 1CD CCλ=
2
2
1 1 1 1 2
3 2( ) ( ) 0AC C D CD CB CC CD CC a
λ λ
λ
− −⋅ = − + + ⋅ − = − = 1λ =
1λ = 1 1( ) ( ) 0AC BD CD CB CC CD CB⋅ = − + + ⋅ − =
D
BA
D1
C
C1
B1A1
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