§3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
【学情分析】：
本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理这种推广对学生学习已无困难但仍要
一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平面扩大到空间这样做，一方面复习了平面向量、
学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能
力。
【教学目标】：
（1）知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面
（2）过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理
（3）情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解
【教学重点】：
空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用
【教学难点】：
空间向量的分解
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一．温故知
新 回顾平面向量的正交分解和平面向量的基本定理 由此为基础，推导空间向量的正
交分解和基本定理
二．新课讲
授
1．空间向量的正交分解
设 ， ， 是空间的三个两两垂直的向量，且有
公共起点 O。对于空间任意一个向量 ，设 Q
为点 P 在 ， 所确定的平面上的正投影，由平面
向量基本定理可知，在 ， 所确定的平面上，
存在实数 z，使得
而在 ， 所确定的平面上，由平面向量基本定理
可知，存在有序实数对 ，使得
从而
以平面向量的基本定理为基础，
层层递进，得到空间向量的正交
分解形式。
由此可知，对空间任一向量 ，存在一个有序实数
组{ }，使得 ，称 ， ，
为向量 在 ， ， 上的分向量。
2．空间向量的基本定理
注意介绍单位正交基、正交基、
基的特殊与一般的关系，以帮助
学生理解概念。
i j k
OPp =
i j
OQ k
kzOQOP +=
i j
),( yx jyixOQ +=
kzjyixkzOQOP ++=+=
p
zyx ,, kzjyixp ++= ix jy
kz p i j kA
B
C
O
M
N
G
如果三个向量 不共面，那么对空间任一
向量 ，存在一个唯一的有序实数组 ，使
由此定理， 若三向量 不共面，那么空间
的任一向量都可由 线性表示，我们把{ }
叫做空间的一个基底， 叫做基向量。
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的
一个基底
如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，
那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交
基底的三个基向量 都是单位向量时，称这
个基底为单位正交基底，对空间任一向量 ，存在
一 个 唯 一 的 有 序 实 数 组 ， 使
记
推论：设 是不共面的四点，则对空
间任一点 ，都存在唯一的三个有序实数 ，
使
三．典例讲
练
例 1． 如图，已知空间四边形 ，其对角线
， 分别是对边 的中点，点
在线段 上，且 ，用基底向量
表示向量
解：
向量的分解过程中注意向量的运
算的正确使用。
cba ,,
p ),,( zyx
czbyaxp ++=
cba ,,
cba ,, cba ,,
cba ,,
321 ,, eee
p
),,( zyx
321 ezeyexp ++= ),,( zyxp =
, , ,O A B C
P , ,x y z
OP xOA yOB zOC= + +
OABC
,OB AC ,M N ,OA BC
G MN 2MG GN=
, ,OA OB OC OG
OG OM MG= +
∴
四．练习巩
固
1、如图，在正方体 中，，点 E 是
AB 与 OD 的 交
点 ,M 是 OD/
与 CE 的交点，
试 分 别 用 向 量
表 示
和
解：
课本 P94 练习 1、2、3
五．拓展与
提高
1．设 A、B、C、D 是空间任意四个点，令 u＝
，v＝ ，w＝ ，
则 u、v、w 三个向量 （ ）
A．互不相等 B．至多有两个相等
C．至少有两个相等 D．有且只有两个相等
2．若 a、b、c 是空间的一个基底，下列各组
①la、mb、nc(lmn≠0)；
②a+2b、2b+3c、3a－9c；
③a+2b、b+2c、c+2a；
④a+3b、3b+2c、－2a+4c
中，仍能构成空间基底的是 （ ）
充分认识基底的特征，即线性无
关的三个向量就可以构成空间的
一个基底。
2
3
1 2 ( )2 3
1 2 1 1[ ( ) ]2 3 2 2
1 1 1( )2 3 3
1 1 1
6 3 3
OM MN
OA ON OM
OA OB OC OA
OA OB OC OA
OA OB OC
= +
= + −
= + + −
= + + −
= + +
1 1 1
6 3 3OG OA OB OC= + +
/// BDCAOADB −
OCOBOA ,,
OD OM
OCOBOAOD ++=/
OCOBOAOM 3
1
3
1
3
1 ++=
AD BC+ AB CD+ AC BD+ A．①② B．②③ C．①③ D．②④
六．小结
1．正交分解的推导和空间向量基本定理
2．如何将向量用坐标表示
3．任意空间向量在某组基底下的分解
七．作业 课本 P97 习题 3.1 第 6 题
练习与测试：
（基础题）
1如图，在正方体 中，，点 E 是 AB 与 OD 的交点,M 是 OD/与 CE 的交点，试分别用
向量 表示 和
解：
2．设向量 是空间一个基底，则一定可以与向量 构成空间的另一个基底的向量
是 （ ）
A． B． C． D．
3．设 A、B、C、D 是空间任意四个点，令 u＝ ，v＝ ，w＝ ，则 u、v、w
三个向量 （ ）
A．互不相等 B．至多有两个相等 C．至少有两个相等 D．有且只有两个相等
4．若 a、b、c 是空间的一个基底，下列各组
①la、mb、nc(lmn≠0)； ②a+2b、2b+3c、3a－9c；
③a+2b、b+2c、c+2a； ④a+3b、3b+2c、－2a+4c
中，仍能构成空间基底的是 （ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
5．设 A，B，C，D 是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，则△BCD 是 ( )
/// BDCAOADB −
OCOBOA ,, OD OM
OCOBOAOD ++=/
OCOBOAOM 3
1
3
1
3
1 ++=
},,{ cba baqbap −=+= ,
a b c ba或
AD BC+ AB CD+ AC BD+
0=⋅ ACAB 0=⋅ ADAC 0=⋅ ADABE
M
G
D
C
BA
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定
6．已知 S 是△ABC 所在平面外一点，D 是 SC 的中点，若 ＝ ，
则 x＋y＋z＝ ．
7．在空间四边形 ABCD 中，AC 和 BD 为对角线，
G 为△ABC 的重心，E 是 BD 上一点，BE＝3ED，
以｛ ， ， ｝为基底，则 ＝ ．
（中等题）
8．已知四面体 中， 两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（ ）
(1). (2).
(3). (4).
不一定成立的是 .
9,已知非零向量 不共线，如果 ，求证：A、B、C、D 共
面。
BD xAB yAC zAS+ +
AB AC AD GE
ABCD , ,AB AC AD
| | | |AB AC AD AB AC AD+ + = + − AB CD AC BD AD BC⋅ = ⋅ = ⋅
( ) 0AB AC AD BC+ + ⋅ = 2 2 2 2| | | | | | | |AB AC AD AB AC AD+ + = + +
21 e，e 1 2 1 2 1 2, 2 8 , 3 3AB e e AC e e AD e e= + = + = −
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