P
§3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知
识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间
的平行与垂直的位置关系,可以比较顺利地进行教学.
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面
间的位置关系.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。
（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势.
【教学重点】：
平面的法向量.
【教学难点】：
用向量及其运算表示线线、线面、面面间的平行与垂直关系.
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一、复习引
入
1． 两个非零向量共线的充要条件是什么？
2． 什么叫直线的方向向量？
3． 回顾平面向量基本定理。
为探索新知识做准
备.
二、探究新
知
一、点、直线、平面的位置的向量表示
1. 思考：如何确定一个点在空间的位置？
如图，在空间中，我们取一点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 的
位置就可以用向量 来表示．称向量 为点的位置向量。
2. 思考：在空间中给定一个定点 A 和一个定方向（向量），能确定一条直
线在空间的位置吗？
如图，点 A 和 不仅可以确定直线 l 的位置，还可以具体表示出 l 上的
任意一点 P。
3. 思考：给定一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的
位置吗？
要求学生自己寻找
空间中的几何元素
点、直线、平面的
位置的向量表示方
法。OP OP
●O
● P
a
基点
)( RaAP ∈= λλ
a
l
A
baba λ=⇔//⇔ml //
⇔βα //
如图，点 O 和 、 不仅可以确定平面 的位置，还可以具体表示出
内的任意一点 P.
4.思考：给定一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的
位置吗？
法向量：若 ，则 叫做平面 的法向量。
如图，过点 A，以 为法向量的平面是完全确定的.
二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系
设直线 l、m 的方向向量分别为 、 ，平面 的法向量分别为 .
探究 1：平行关系
1,线线平行:
2,线面平行:
3,面面平行:
探究 2：垂直关系
1,线线垂直:
2,线面垂直:
3,面面垂直:
联系平面向量基本
定理来理解。
学生记住法向量的
概念。
通过对对称轴不同
作法的探讨，拓展
学生的思维.
让学生对每一种关
系都进行探究，找
到相应的向量关系
和运算公式。
三、练习巩
固 1．设直线 l，m 的方向向量分别为 ，根据下列条件判断 l，m 的位置
关系：
巩固知识，培养技
能.
O
a
b
●
P
α
a b α α
α⊥a a α
● Aα
a
a
a b βα, vu,
⇔⊥ ml
⇔⊥ αl uaua λ=⇔//
⇔⊥ βα 0=⋅⇔⊥ vuvu
ba,
)( RyxbyaxOP ∈+= 、
baba λ=⇔//
⇔α//l 0=⋅⇔⊥ uaua
vuvu λ=⇔//
0=⋅⇔⊥ baba 答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行。
2.设平面 的法向量分别为 ，根据下列条件判断平面 的位置
关系：
答案：（1）垂直；（2）平行；（3）相交，交角的余弦为 。
四、训练与
提高
1 ． 已 知 点 是 平 行 四 边 形 所 在 平 面 外 一 点 ， 如 果
， ，
（1）求证： 是平面 的法向量；
（2）求平行四边形 的面积．
（1）证明：∵ ，
，
∴ ， ，又 ， 平面 ，
∴ 是平面 的法向量．
（2） ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
引导学生进行应用.
对法向量作理解.
巩固以往知识，培
养运算技能.
五、小结 1． 点、直线、平面的位置的向量表示。
2． 线线、线面、面面间的平行与垂直关系的向量表示。
反思归纳
βα, vu, βα,
)4,4,6(),5,2,2()1( −=−= vu
)4,4,2(),2,2,1()2( −−=−= vu
)4,1,3(),5,3,2()3( −−=−= vu
2472
29
P ABCD
(2, 1,4)AB = − (4,2,0)AD = ( 1,2, 1)AP = − −
AP ABCD
ABCD
( 1,2, 1) (2, 1, 4) 0AP AB⋅ = − − ⋅ − − =
( 1,2, 1) (4,2,0) 0AP AD⋅ = − − ⋅ =
AP AB⊥ AP AD⊥ AB AD A= AP ⊥ ABCD
AP ABCD
2 2 2| | (2) ( 1) ( 4) 21AB = + − + − = 2 2 2| | 4 2 0 2 5AD = + + =
(2, 1, 4) (4,2,0) 6AB AD⋅ = − − ⋅ =
6 3 105cos( , ) 10521 2 5
AB AD = =
×
9 32sin 1 105 35BAD∠ = − =
| | | | sin 8 6ABCDS AB AD BAD= ⋅ ∠ =
)6,3,6(),2,1,2()1( −−=−−= ba
)2,3,2(),2,2,1()2( −=−= ba
)3,0,0(),1,0,0()3( −== ba 六、作业 A，预习课本 105～110 的例题。
B，书面作业:
1，
2，
练习与测试：
（基础题）
1，与两点 和 所成向量同方向的单位向量是 。
解：向量 ，它的模
则所求单位向量为 。
2，从点 沿向量 的方向取长为 6 的线段 ，求 点坐标。
解：设 点坐标为 ，由题设有 ；
由 可得 。则
，于是所求坐标为 。
3，设直线 l，m 的方向向量分别为 ，判断 l，m 的位置关系。
解：因为（1，2，3）（-3，0，1）=0，所以两直线垂直。
4，设平面 的法向量分别为 ，判断平面 的位置关系。
解：易知所给二法向量平行，故平面 平行。
（中等题）
5，已知空间四点坐标分别为 A（1，0，0）、B（1，1，0）、E（1，1/2，1）、F（0，1/2，0），求平面 AEF
的单位法向量。
)1,0,3(),3,2,1( −== ba
βα, )12,6,2(),6,3,1( −=−−= vu βα,
βα,
的一个单位法向量。求平面
已知点
ABC
CBA ),5,0,0(),0,4,0(),0,0,3(
.
),0,1,1(),1,0,1(
,
的大小。所成的锐二面角的度数
求这两个平面
的法向量分别是若两个平面
−−== vu
βα解：
设平面 AEF 的法向量为 则有
为平面 AEF 的单位法向量。
6，如图所示建立坐标系，有
分别求平面 SAB 与平面 SDC 的法向量，并求出它们夹角的余弦。
解：因为 y 轴 平面 SAB，所以平面 SAB 的法向量为
设平面 SDC 的法向量为，
由
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