课题：§1.3.2 函数的奇偶性
教学目的：（1）理解函数的奇偶性及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
（3）学会判断函数的奇偶性．
教学重点：函数的奇偶性及其几何意义．
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式．
教学过程：
一、引入课题
1．实践操作：（也可借助计算机演示）
取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，
然后按如下操作并回答相应问题：
○1 以 y 轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，
然后将纸展开，观察坐标系中的图形；
问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数 y=f(x)
的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特
殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数 y=f(x)的图象，并且它的图象关于 y 轴对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，
即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等．
○2 以 y 轴为折痕将纸对折，然后以 x 轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）
画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：
问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数 y=f(x)
的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特
殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数 y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，
即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数．
2．观察思考（教材 P39、P40 观察思考）
二、新课教学
（一）函数的奇偶性定义
象上面实践操作○1 中的图象关于 y 轴对称的函数即是偶函数，操作○2 中的图象关于原点
对称的函数即是奇函数．
1．偶函数（even function）
一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)=f(x)，那么 f(x)就叫做偶函
数．
（学生活动）：仿照偶函数的定义给出奇函数的定义
2．奇函数（odd function）
一般地，对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x，都有 f(－x)=f(x)，那么 f(x)就叫做奇函
数．
注意：
○1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
○2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任
意一个 x，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．（二）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于 y 轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
（三）典型例题
1．判断函数的奇偶性
例 1．（教材 P36 例 3）应用函数奇偶性定义说明两个观察思考中的四个函数的奇偶
性．（本例由学生讨论，师生共同总结具体方法步骤）
解：（略）
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
○2 确定 f(－x)与 f(x)的关系；
○3 作出相应结论：
若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；
若 f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则 f(x)是奇函数．
巩固练习：（教材 P41 例 5）
例 2．（教材 P46 习题 1．3 B 组每 1 题）
解：（略）
说明：函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称，所以判断函数的奇偶
性应应首先判断函数的定义域是否关于原点对称，若不是即可断定函数是非奇非偶函数．
2．利用函数的奇偶性补全函数的图象
（教材 P41 思考题）
规律：
偶函数的图象关于 y 轴对称；
奇函数的图象关于原点对称．
说明：这也可以作为判断函数奇偶性的依据．
巩固练习：（教材 P42 练习 1）
3．函数的奇偶性与单调性的关系
（学生活动）举几个简单的奇函数和偶函数的例子，并画出其图象，根据图象判断奇函
数和偶函数的单调性具有什么特殊的特征．
例 3．已知 f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数
解：(由一名学生板演，然后师生共同评析，规范格式与步骤)
规律：
偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；
奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
三、归纳小结，强化思想
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，
用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性
与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶
性这两个性质．
四、作业布置
1． 书面作业：课本 P46 习题 1．3（A 组） 第 9、10 题， B 组第 2 题．
2．补充作业：判断下列函数的奇偶性：
○1 ；
1
22)(
2
+
+=
x
xxxf○2 ；
○3 （ ）
○4
3． 课后思考：
已知 是定义在 R 上的函数，
设 ，
○1 试判断 的奇偶性；
○2 试判断 的关系；
○3 由此你能猜想得出什么样的结论，并说明理由．
xxxf 2)( 3 −=
axf =)( Rx∈
+
−=
)1(
)1()( xx
xxxf
.0
,0
<
≥
x
x
)(xf
2
)()()( xfxfxg
−+=
2
)()()( xfxfxh
−−=
)()( xhxg 与
)()(),( xfxhxg 与
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