课题：§1.3.1 函数的最大（小）值
教学目的：（1）理解函数的最大（小）值及其几何意义；
（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义．
教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值．
教学过程：
一、引入课题
画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题：
○1 说出 y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；
○2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？
（1） （2）
（3） （4）
二、新课教学
（一）函数最大（小）值定义
1．最大值
一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：
（1）对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤M；
（2）存在 x0∈I，使得 f(x0) = M
那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值（Maximum Value）．
思考：仿照函数最大值的定义，给出函数 y=f(x)的最小值（Minimum Value）的定
义．（学生活动）
注意：
○1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0∈I，使得 f(x0) = M；
○2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 x∈I，都有 f(x)≤
M（f(x)≥M）．
2．利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法
○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值
○2 利用图象求函数的最大（小）值
○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值
如果函数 y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b
处有最大值 f(b)；
如果函数 y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b
处有最小值 f(b)；
（二）典型例题
例 1．（教材 P36 例 3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值．
解：（略）
说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函
数模型，然后利用二次函数的性质或利用图象确定函数的最大（小）值．
巩固练习：如图，把截面半径为
25cm 的圆形木头锯成矩形木料，
如果矩形一边长为 x，面积为 y
32)( +−= xxf 32)( +−= xxf ]2,1[−∈x
12)( 2 ++= xxxf 12)( 2 ++= xxxf ]2,2[−∈x
25试将 y 表示成 x 的函数，并画出
函数的大致图象，并判断怎样锯
才能使得截面面积最大？
例 2．（新题讲解）
旅 馆 定 价
一个星级旅馆有 150 个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率
的数据如下：
房价（元） 住房率（%）
160 55
140 65
120 75
100 85
欲使每天的的营业额最高，应如何定价？
解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为 160 元，并假设在各价位之间，房
价与住房率之间存在线性关系．
设 为旅馆一天的客房总收入， 为与房价 160 相比降低的房价，因此当房价为
元时，住房率为 ，于是得
=150· · ．
由于 ≤1，可知 0≤ ≤90．
因此问题转化为：当 0≤ ≤90 时，求 的最大值的问题．
将 的两边同除以一个常数 0.75，得 1=－ 2＋50 ＋17600．
由于二次函数 1 在 =25 时取得最大值，可知 也在 =25 时取得最大值，此时
房价定位应是 160－25=135（元），相应的住房率为 67.5%，最大住房总收入为 13668.75
（元）．
所以该客房定价应为 135 元．（当然为了便于管理，定价 140 元也是比较合理的）
例 3．（教材 P37 例 4）求函数 在区间[2，6]上的最大值和最小值．
解：（略）
注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式．
巩固练习：（教材 P38 练习 4）
三、归纳小结，强化思想
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，
求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
四、作业布置
1． 书面作业：课本 P45 习题 1．3（A 组） 第 6、7、8 题．
提高作业：快艇和轮船分别从 A 地和 C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行，
y x
)160( x− )%102055( ⋅+ x
y )160( x− )%102055( ⋅+ x
)%102055( ⋅+ x x
x y
y y x x
y x y x
1
2
−=
xy
AB
C
D快艇和轮船的速度分别是 45 km/h 和 15 km/h，已知 AC=150km，经过多少时间后，
快艇和轮船之间的距离最短？
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