高中数学 2.1.1 指数与指数幂的运算教案 新人教A版必修1.doc

2.1.1 指数与指数幂的运算 教学目标：1.理解 n 次方根、根式、分数指数幂的概念； 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质； 3.培养学生认识、接受新事 物和用联系观点看问题的能力。 教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法：学导式 教学过程： 第一课时 引例：填空 （1） ； a0=1（a ； (2) (m,n∈Z)； (m,n∈Z)； (n∈Z) （3） ； - ； （4） ； （II）讲授新课 1.引入： （1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为 可看作 ,所以 可以归入性质 ；又因为 可看作 ， 所以 可以 归入性质 (n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念 和性质做准备。为了学习分数指数幂，先要学习 n 次根式（ ）的概念。 （2）填空（3），（4）复习了平方根、立方根这两个概念。如： 22=4 ，（-2）2=4 2，-2 叫 4 的平方根 23=8 2 叫 8 的立方根； （-2）3=-8 -2 叫-8 的立方根 25=32 2 叫 32 的 5 次方根 … 2n=a 2 叫 a 的 n 次方根 分析：若 22=4，则 2 叫 4 的平方根；若 23=8，2 叫做 8 的立方根；若 25=32，则 2 叫做 32 的 5 次方根，类似地，若 2n=a，则 2 叫 a 的 n 次方根。由此，可有： 2.n 次方根的定义：（板书） 一般地，如果 ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根（ th root）,其中 ，且 。 问题 1：n 次方根的定义给出了，x 如何用 a 表示呢？ 是否正确？ 分析过程： 例 1．根据 n 次方根的概念，分别求出 27 的 3 次方根，-32 的 5 次方根，a6 的 3 次方根。 （要求完整地叙述求解过程） *)n n a a a a n N= ⋅ ∈个 （ )0≠ n n aa 1=− )Nn,0a( *∈≠ m n m na a a +⋅ = ( )m n mna a= ( )n n nab a b= ⋅ _____9 = _____9 = ______0 = )0a_____()a( 2 ≥= ________a 2 = m na a÷ m na a−⋅ m n m na a a −÷ = m n m na a a +⋅ = n b a)( m na a−⋅ n n n b a b a =)( ( )n n nab a b= ⋅ *Nn ∈ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ nx a= n 1n > n N ∗∈ n ax =解：因为 33=27，所以 3 是 27 的 3 次方根；因为 =-32，所以-2 是-32 的 5 次方根； 因为 ，所以 a2 是 a6 的 3 次方根。 结论 1：当 n 为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的 n 次方根是正数，负数的 n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a 的 n 次方根可表示为 。 从而有： ， ， 例 2．根据 n 次方根的概念，分别求出 16 的 4 次方根，-81 的 4 次方根。 解：因为 ， ，所以 2 和-2 是 16 的 4 次方根； 因为任何实数的 4 次方都是非负数，不会等于-81，所以-81 没有 4 次方根。 结论 2：当 n 为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的 n 次方根有两个且互为相反 数，负数没有 n 次方根。此时正数 a 的 n 次方根可表示为： 其中 表示 a 的正的 n 次方根， 表示 a 的负的 n 次方根。 例 3．根据 n 次方根的概念，分别求出 0 的 3 次方根，0 的 4 次方根。 解：因为不论 n 为奇数，还是偶数，都有 0n=0，所以 0 的 3 次方根，0 的 4 次方根均为 0。 结论 3：0 的 n 次方根是 0，记作 当 a=0 时也有意义。 这样，可在实数范围内，得到 n 次方根的性质： 3.n 次方根的性质：（板书） 其中 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 注意：根式是 n 次方根的一种表示形式，并且，由 n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。 4.根式运算性质：（板书） ① ，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。 问题 2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ 例 4：求 ， ， ， 由所得结果，可有：（板书） ② 性质的推导如下： 5)2(− 632 a)a( = n ax = 3273 = 2325 −=− 23 6 aa = 42 16= 16)2( 4 =− )0a(an >± n a n a− nn a,00 即= *)( 2, 12, Nk kna knax n n ∈    =± +== aa nn =）（ 3 3)2(− 5 52 4 43 2)3(−   = 为偶数 为奇数； na naan n |,| , n a性质①推导过程： 当 n 为奇数时， 当 n 为偶数时， 综上所述，可知： 性质②推导过程： 当 n 为奇数时，由 n 次方根定义得： 当 n 为偶数时，由 n 次方根定义得： 则 综上所述： 注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。 （III）例题讲解 例 1．求下列各式的值： （4） （a>b） 注意：根指数 n 为奇数的题 目较易处理，要侧重于根指数 n 为偶数的运算。 （III）课堂练习：求下列各式的值 (1) (2) (3) (4) （IV）课时小结 通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。 （V）课后作业 1、书面作业： a.求下列各式的值 b.书 P69 习题 2.1 A 组题第 1 题。 2、预习作业： a.预习内容：课本 P59—P62。 b.预习提纲： （1）根式与分数指数幂有何关系？ （2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？ aaaxax nnnn === )(, 得由 aaaxax nnnn ==±= )(, 得由 aa nn =)( n naa = n naa ±= n nn n aaa =±= ||||   = 为偶数， 为奇数 n|a| n,a)a( nn 3 381 ）（－）（ 2102 ）（－）（ 4 433 ）－（）（ π 2)ba( − 5 32− 4)3(− 2)32( − 625 − 3 271 －）（ 6a)2( 243 ）－（）（ π 2)x3 1x()4( − −第二课时 1.填空 （1） （2） ； （3） (4) （5） ； （6） （II）讲授新课 分析：对于“填空”中的第四题，既可根据 n 次方根的概念来解： ； 也可根据 n 次方根的性质来解： 。 问题 1：观察 ，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？ ，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时， 根式可以写成分数指数幂的形式。 问题 2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形 式？如： 是否可行？ 分析：假设幂的运算性质 对于分数指数幂也适用，那么 ，这 说明 也是 的 3 次方根，而 也是 a2 的 3 次方根（由于这里 n=3，a2 的 3 次方根唯 一），于是 。这说明 可行。 由此可有： 1.正数的正分数指数幂的意义： ) 注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数 an 的幂指数 n 与 根式的根指数 n 的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。 问题 3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？ 分析：正例： 等等； 反例： ；又如： 。这样就产生了混乱，因此 “a>0”这个限制不可少。至于 ，这是正确的，但此时 不能理解 ；_______32______,64 53 ==− ______81______,81 44 =−= ；______)6(______,)3( 5544 == ；_______a_____,a 3 125 10 == _____)3(___,2 7 75 5 =−=− ）（ .______5____,)4( 4 46 6 ==− 25 101052 aa,a)a( =∴= 25 525 10 a)a(a == 34 1225 10 aa,aa == 43 12 4 1225 10 5 10 aaa,aaa ====⇒ 3 2 3 2 aa = mnnm a)a( = 23 3 2 33 2 aa)a( == × 3 2 a 2a 3 2a 3 2 3 2 aa = 3 2 3 2 aa = 1*,,,0( >∈>= nNnmaaa n mn m 且 3 23 2 25 10 5 1033 1 )2()2(,4)2()2()2(,28)8( −=−=−=−=−−=−=− 6 2 3 1,2)8()8(,28)8( 6 26 2 33 1 ==−=−−=−=− 而实际上 ，）（）（）（ 34 12 4 12 888 −=−=− 34 434 124 12 8888 ===− ）（）（ 28)8( 33 1 −=−=− 3 1 )8(−为分数指数幂， 不能代表有理数（因为不能改写为 ） ，这只表示一种上标。而 ，那是因为 ，负号内部消化了。 问题 4：如何定义正数的负分数指 数幂和 0 的分数指数幂？ 分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0 的分数指数幂与 0 的非 0 整数幂的意义相仿。 2.负分数指数幂： 3.0 的分数指数幂：（板书） 0 的正分数指数幂为 0，0 的负分数指数幂无意义（为什么？）。 说明：（1 ）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性； （2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数； （3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书） ； (4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用 来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。 （5）同样可规定 ① ap 表示一个确定的实数； ② 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关念和证明从略； ③ 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。 （III）例题讲解（投影 2） 例 2．求值： 分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。 解： 例 3 ．用分数指数幂的形式表示下列各式： 分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。 3 1 6 2 3 23 2 5 10 5 5 )2()2(,)2()2( −=−−=− 221010 2)2(,2)2( =−=− )1*,,,0(1 >∈>=− nNnma a a n m n m 且 ( 0, , )r s r sa a a a r s Q+= > ∈ ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q= > ∈ ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q= > > ∈ mn mn n m n aa)a( == ⋅ 是无理数）的意义：p,0p(a p > 4 3 32 1 3 2 81 16 4 11008 －－－ ），（），（， 。＝）＝（）＝（）；（＝＝＝）＝（）（ ；＝＝＝）＝（；＝＝＝）＝（ －）（－－）（－）（－－－－ －）（－－－ 8 27 3 2 3 2 81 16642224 1 10 110101010042228 34 34 4 3 632323 12 12 2 1 22 1 23 23 3 2 33 2 ×× ×× 32 3 2, , ( 0)a a a a a a a⋅ ⋅ >式中解： （IV）课堂练习 课本 P63 练习：1、2、3、4 （V）课时小结 通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用 有理指数幂的运算性质。 （V）课后作业 1、书面作业：课本 P69 习题 2.1A 组题第 2,3,4. 2、预习作业 （1）预习内容：课本 P61 例题 5。 （2）预习提纲： a.根式的运算如何进行？ b.利用理指数幂运算性质进行化简、求值，有哪些常用技巧？ 教学后记 第三课时 教学目标 1.掌握根式与分数指数幂的互化； 2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值； 3.培养学生的数学应用意识。 教学重点：有理指数幂运算性质运用。 教学难点：化简、求值的技巧 教学方法：启发引导式 教学过程 （I）复习回顾 1.分数指数幂的概念，以及有理指数幂的运算性质 分数指数幂概念 有理指数幂运算性质 ； 1 1 522 2 2 2 2 2 2 11333 2 3 3 3 3 1 1 3 1 3 2 2 2 2 4 ; ; ( ) ( ) . a a a a a a a a a a a a a a a a a a + + ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = = = ⋅ = = ( 0, , )r s r sa a a a r s Q+= > ∈ ( ) ( 0, , )r s rsa a a r s Q= > ∈ n mn m aa = n m n mn m a aa 1＝=− 2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0） （II）讲授新课 例 1．计算下列各式（式中字母都是正数） 分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除， 并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。 对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。 如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但： ① 结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数； ③ 根式需化成最简根式。 解： 例 2．计算下列各式： 分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。 （2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。 解： 例 3．求值： 分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质； ( 0, , *, 1)a m n N n> ∈ >且 ( ) ( 0, 0, )r r rab a b a b r Q= > > ∈ 5 2a 4 x 1 6 x x 3)a( );ba3()ba6)(ba2)(1( 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3 2 −÷− .)nm)(2( 88 3 4 1 − ;a4ab4 ba)]3()6(2[ )ba3()ba6)(ba2)(1( 0 6 5 3 1 2 1 6 1 2 1 3 2 6 5 6 1 3 1 2 1 2 1 3 2 == −÷−×= −÷− ++++ 31 884 31 8 384 2 3 3 3 (2)( ) ( ) ( ) m n m n mm n n − − = = ⋅ = );0a( aa a)1( 3 2 2 > 43 5)12525)(2( ÷− 63(1) 5 2 6 7 4 3 6 4 2;(2)2 3 1.5 12+ + − − − × × 1 22 2 2 2 3 1 33 2 2 2 5 6 56 (1) ; a a a a a a a a a − −= = ⋅ ⋅ = = 2 3 1 3 4 3 2 4 2 2 11 3 1 3 1 3 3 44 2 4 2 4 5 5 512 412 4 (2)( 25 125) 5 (5 5 ) 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5. − − − ÷ = − ÷ = ÷ − ÷ = − = − = −解： 要求：例 3 学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。 （III）课堂练习 计算下列各式： 要求：学生板演练习，做完后老师讲评。 （IV）课时小结 通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解 题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。 （V）课后作业 第二教材有关题目 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 11 263 3 62 1 1 1 1 11 3 3 2 3 (1) 5 2 6 7 4 3 6 4 2 ( 3) 2 3 2 ( 2) 2 2 2 3 ( 3) 2 2 2 2 ( 2) (( 3 2)) (2 3) (2 2) | 3 2 | | 2 3 | | 2 2 | 3 2 2 3 (2 2) 2 2 3(2)2 3 1.5 12 2 3 3 22 2 3 + + − − − = + ⋅ + + − × + − − × + = + + − − − = + + − − − − = + + − − − = × × × × × × ×－ ＋ ＋ ＋ 注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。 ＝ （ ） （ ） ＝ 6 2 3 6×＝ ＝ 20 34 3 2 1 ])15 4(35[2 2 1 16 1161 −×+−）（ ）－（）－（）（ －