高中数学 2.1.2 指数函数及其性质教案 新人教A版必修1.doc

2.1.2 指数函数及其性质 （第一课时） 教学目标：1、理解指数函数的概念 2、根据图象分析指数函数的性质 3、应用指数函数的单调性比较幂的大小 教学重点：指数函数的图象和性质 教学难点：底数 a 对函数值变化的影响 教学方法：学导式 （一）复习：（提问） 引例 1：某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个……1 个这样的细胞分裂 次后，得到的细胞个数 与 的函数关系式是： ． 这个函数便是我们将要研究的指数函数，其中自变量 作为指数，而底数 2 是一 个大于 0 且不等于 1 的常量。 （二）新课讲解： 1．指数函数定义： 一般地，函数 （ 且 ）叫做指数函数，其中 是自变量，函数定义域是 ． 练习：判断下列函数是否为指数函数。 ① ② ③ （ 且 ）④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ． 2.指数函数 （ 且 ）的图象： 例 1．画 的图象（图（1））． 解：列出 的对应表，用描点法画出图象 … -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 … … 0.13 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.4 2 2.8 4 8 … 例 2．画 的图象（图（1））． … -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 3 … … 8 4 2.8 2 1.4 1 0.71 0.5 0.35 0.25 0.13 … x y x 2xy = x xy a= 0a > 1a ≠ x R 2y x= 8xy = (2 1)xy a= − 1 2a > 1a ≠ ( 4)xy = − xy π= 12 2 5 += xy xy x= 10xy = − xy a= 0a > 1a ≠ 2xy = ,x y x 2xy = 1( )2 xy = x 1( )2 xy = 2xy =1( )2 xy = 图（1）指出函数 与 图象间的关系？ 说明：一般地， 函数 与 的图象关于 轴对称。 3．指数函数 在底数 及 这两种情况下的图象和性质： 图 象 （1）定义域： （2）值域： （3）过点 ，即 时 性 质 （4）在 上是增函数 （4）在 上是减函数 例 3．已知指数函数 的图象经过点 ，求 的值（教材第 66 页例 6）。 例 4．比较下列各题中两个值的大小： ； （教材第 66 页例 7） 小结：学习了指数函数的概念及图象和性质； 练习：教材第 68 页练习 1、3 题。 作业：教材第 69 页习题 2。1A 组题 第 6、7、8 题 2.1.22.1.2 指数函数指数函数及其性质（第二课时）及其性质（第二课时） 教学目标：1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质； 2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域； 3.掌握比较同底数幂大小的方法； 4. 培养学生数学应用意识。 教学重点：指数函数性质的运用 教学难点：指数函数性质的运用 教学方法：学导式 （一）复习：（提问） 1．指数函数的概念、图象、性质 2．练习： （1）说明函数 图象与函数 图象的关系； （2）将函数 图象的左移 2 个单位，再下移 1 个单位所得函数的解析式是 ； （3）画出函数 的草图。 （二）新课讲解： 例 1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 1 年剩留的这种物质是原来的 84%，画 2xy = 1( )2 xy = ( )y f x= ( )y f x= − y xy a= 1a > 0 1a< < 1a > 0 1a< < R (0, )+∞ (0,1) 0x = 1y = R R ( ) ( 0, 1)xf x a a a= > ≠ (3, )π (0), (1), ( 3)f f f − 2.5 3(1)1.7 ,1.7 0.1 0.2(2)0.8 ,0.8− − 0.3 3.1(3)1.7 ,0.9 34 xy − −= 4 xy −= 21( )3 xy = 1( )2 xy =出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来 的一半（结果保留 1 个有效数字）。 分析：通过恰当假设，将剩留量 表示成经过年数 的函数，并可列表、描点、作图，进而求得 所求。 解：设这种物质量初的质量是 1，经过 年，剩留量是 . 经过 1 年，剩留量 =1×84%=0.841； 经过 2 年，剩留量 =1×84%=0.842； …… 一般地，经过 x 年，剩留量 ， 根据这个函数关系式可 以列表如下： 0 1 2 3 4 5 6 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35 用描点法画出指数函数 的图象。从图上看出 ，只需 . 答：约经过 4 年，剩留量是原来的一半。 例 2． 说明下列函数的图象与指数函数 的图象的关系，并画出它们的示意图： （1） ； （2） ． 解：（1）比较函数 与 的关系： 与 相等， 与 相等， 与 相等 ， …… 由此可以知道，将指数函数 的图象向左平移 1 个单位长度，就得到函数 的图象。 （2）比较函数 与 的关系： 与 相等， 与 相等， 与 相等 ， …… 由此可以知道，将指数函数 的图象向右平移 2 个单位长度，就得到函数 的图象。 说明：一般地，当 时，将函数 的图象向左平移 个单位得到 的图象；当 时，将函数 的图象向右平移 个单位，得到 的图 象。 练习：说出下列函数图象之间的关系： （1） 与 ； （2） 与 ；（3） 与 ． 例 3．求下列函数的定义域、值域： （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） y x x y y y 0.84xy = x y 0.84xy = 0.5y = 4x ≈ 2xy = 12xy += 22xy −= 12xy += 2xy = 3 12y − += 22y −= 2 12y − += 12y −= 2 12y += 32y = 2xy = 12xy += 22xy −= 2xy = 1 22y − −= 32y −= 0 22y −= 22y −= 3 22y −= 12y = 2xy = 22xy −= 0a > ( )y f x= a ( )y f x a= − 0a < ( )y f x= | |a ( )y f x a= + 1 1y x = + 1y x = 3 xy −= 3 x ay − += 2 2y x x= + 2 2y x x= − 1 2 18 xy −= 11 ( )2 xy = − 3 xy −=． 解：（1） ∴ 原函数的定义域是 ， 令 则 ∴ 得 ， 所以，原函数的值域是 ． （2） ∴ 原 函数的定义域是 ， 令 则 ， 在 是增函数 ∴ ， 所以，原函数的值域是 ． （3）原函数的定义域是 ， 令 则 ， 在 是增函数， ∴ ， 所以，原函数的值域是 ． （4）原函数的定义域是 ， 由 得 ， ∴ ， ∴ ，所以，原函数的值域是 ． 说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函 数的值域。 小结：1．学会怎样将应用问题转化为数学问题及利用图象求方程的解； 2．学会灵活地应用指数函数的性质比较幂的大小及求复合函数的值域。 3．了解函数 与 及函数 与 图象间的关系。 作业：习题 2.1 第 3，5，6 题 2.1.22.1.2 指数函数及其性质（第三课时）指数函数及其性质（第三课时） 教学目标：1.掌握指数形式的复合函数的单调性的证明方法； 2.掌握指数形式的复合函数的奇偶性的证明方法； 3.培养学生的数学应用意识。 教学重点：函数单调性、奇偶性的证明通法 教学难点：指数函数性质的运用 教学方法：学导式 （一）复习：（提问） 1.指数函数的图象及性质 2.判断及证明函数单调性的基本步骤：假设→作差→变形→判断 3.判断及证明函数奇偶性的基本步骤： （1）考查函数定义域是否关于原点对称； （2）比较 与 或者 的关系； （3）根据函数奇偶性定义得出结论。 （二）新课讲解： 1( 0, 1)1 x x ay a aa −= > ≠+ 2 1 0x − ≠ 1 2x ≠ 1{ , }2x x R x∈ ≠ 1 2 1t x = − 0,t t R≠ ∈ 8 ( , 0)ty t R t= ∈ ≠ 0, 1y y> ≠ { 0, 1}y y y> ≠ 11 ( ) 02 x− ≥ 0x ≥ [ )0,+∞ 11 ( )2 xt = − ( 0)x ≥ 0 1t≤ < y t= [ )0,1 0 1y≤ < [ )0,1 R t x= − 0t ≤ 3ty = ( ],0−∞ 0 1y< ≤ ( ]0,1 R 1( 0, 1)1 x x ay a aa −= > ≠+ 1 1 x ya y += − − 0xa > 1 01 y y +− >− 1 1y− < < ( )1,1− ( )y f x= ( )y f x= − ( )y f x= ( )y f x a= + ( )f x− ( )f x ( )f x−例 1．当 时，证明函数 是奇函数。 证明：由 得， ，故函数定义域 关于原点对称。 ∴ ，所以，函数 是奇函数。 评析：此题证明的结构仍是函数奇偶性的证明，但在证明过程中的恒等变形用到推广的 实数指数幂运算性质。 例 2．设 是实数， ， （1）试证明：对于任意 在 为增函数； （2）试确定 的值，使 为奇函数。 分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学 生注意不同题型的解答方法。 （1）证明：设 ，则 ， 由于指数函数 在 上是增函数，且 ，所以 即 ， 又由 ，得 ， ，所以， 即 ． 因为此结论与 取值无关，所以对于 取任意实数， 在 为增函数。 评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。 （2）解：若 为奇函数，则 ， 即 ，变形得： ， 解得： ，所以，当 时, 为奇函数。 评述：此题并非直接确定 值，而是由已知条件逐步推导 值。应要求学生适应这种题型。 练习：（1）已知函数 为偶函数，当 时， ,求当 时， 的解析式。 （2）判断 的单调区间。 小结：灵活运用指数函数的性质，并掌握函数单调性，奇偶性证明的通法。 作业：（补充） 1．已知函数 ， 1a > 1 1 x x ay a += − 1 0xa − ≠ 0x ≠ { 0}x x ≠ 1( ) 1 x x af x a − − +− = − ( 1) ( 1) x x x x a a a a − − += − 1 1 x x a a += − ( )f x= − ( ) ( )f x f x− = − 1 1 x x ay a += − a 2( ) ( )2 1xf x a x R= − ∈+ , ( )a f x R a ( )f x 1 2 1 2, ,x x R x x∈ < 1 2( ) ( )f x f x− 1 2 2 2( ) ( )2 1 2 1x xa a= − − −+ + 2 1 2 2 2 1 2 1x x = −+ + 1 2 1 2 2(2 2 ) (2 1)(2 1) x x x x −= + + 2xy = R 1 2x x< 1 22 2x x< 1 22 2 0x x− < 2 0x > 1 12 0x + > 2 12 0x + > 1 2( ) ( ) 0f x f x− < 1 2( ) ( )f x f x< a a ( )f x R ( )f x ( ) ( )f x f x− = − 2 2( )2 1 2 1x xa a−− = − −+ + 2 2 2 2(2 1)2 (2 1) 2 2 1 2 1 x x x x x xa − ⋅ += + =+ ⋅ + + 1a = 1a = ( )f x a a ( )f x (0, )x∈ +∞ 1( ) 2xf x += − ( ,0)x∈ −∞ ( )f x 2 4x xy a += ( 0, 1)a a> ≠ 2 1( ) 2 1 x xf x −= +（1）判断函数 的奇偶性； （2）求证函数 在 上是增函数。 2．函数 的单调递减区间是 ． 3.已知函数 定义域为 ，当 时有 ，求 的解析式。 ( )f x ( )f x ( , )x∈ −∞ +∞ 22 3 63 x xy − += ( )f x R 0x ≥ ( )f x 21( )3 x x−= ( )f x