高中数学 2.2.1 对数与对数运算教案 新人教A版必修1.doc

2.2.1 对数与对数运算 第一课时 对数的概念 三维目标定向 〖知识与技能〗 理解对数的概念，掌握对数恒等式及常用对数的概念，领会对数与指数的关系。 〖过程与方法〗 从指数函数入手，引出对数的概念及指数式与对数式的关系，得到对数的三条性质及对数恒 等式。 〖情感、态度与价值观〗 增强数学的理性思维能力及用普遍联系、变化发展的眼光看待问题的能力，体会对数的价值， 形成正确的价值观。 教学重难点：指、对数式的互化。 教学过程设计 一、问题情境设疑 引例 1：已知 ，如果 ，则 x = ？ 引 例 2、改革开放以来，我国经济保持了持续调整的增长，假设 2006 年我国国内生产总值 为 a 亿元，如果每年平均增长 8%，那么经过多少年国内生产总值比 2006 年翻两番？ 分析：设经 过 x 年国内生产总值比 2006 年翻两番，则有 ，即 1.08 x = 4。 这是已知底数和幂的值，求指数的问题，即指数式 中，求 b 的问题。 能否且一个式子表示出来？可以，下面我们来学习一种新的函数，他可以把 x 表示出来。 二、核心内容整合 1 、 对 数 ： 如 果 ， 那 么 数 x 叫 做 以 a 为 底 N 的 对 数 ， 记 作 。其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 根 据 对 数 的 定 义 ， 可 以 得 到 对 数 与 指 数 间 的 关 系 ： 当 a > 0 且 时 ， （符号功能）——熟练转化 如： ，4 2 = 16 2 = log 4 16 2、常用对数：以 10 为底 写成 ； 自然对数：以 e 为底 写成 （e = 2.71828…） 3、对数的性质： （1）在对数式中 N = a x > 0（负数和零没有对数）； （2）log a 1 = 0 , log a a = 1（1 的对数等于 0，底数的对数等于 1）； （3）如果把 中 b 的写 成 ， 则有 （对数恒等式）。 2 52 4,2 32= = 2 26x = aa x 4%)81( =+ ba N= )10( ≠>= aaNa x 且 Nx alog= 1a ≠ NxNa a x log=⇔= 13 18log13 1801.1 01.1=⇔= xx ⇔ 10log N lg N loge N ln N ba N= loga N Na Na =log三、例题分析示例 例 1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）5 4 = 625； （2） ； （3） ； （4） ； （5）lg0.01 = – 2； （6）ln10 = 2.303。 例 2、求下列各式中 x 的值： （1） ； （2）log x 8 = 6； （3）lg100 = x； （4）– ln e 2 = x。 补充例题：求值（1） ；（2） 。 四、学习水平反馈：P64，练习 1，2，3，4。 补充练习：求下列各式中的值。 ， 。 五、三维体系构建 1、对数的相关概念，常用对数，自然对数； 2、对数与指数的互换； 3、对数的基本性质； 4、求值（已知对数、底数、真数其中两个，会求第三个）。 六、课后作业：P74，习题 2.2，A 组 1、2。 教学反思： 第二课时 对数的运算 三维目标定向 〖知识与技能〗 理解并会推导对数的运算法则，并会用语言叙述该法则，理解并能用换底公式化简求值。 〖过程与方法〗 理解积、商、幂的对数运算法则，能灵活应用换底公式化简求值。 〖情感、态度与价值观〗 从新颖别致 的运算法则中感受奇异美，并能体会对数运算的使用价值。 教 学重难点：灵活运用对数法则，求值或化简。 教学过程设计 一、复习引入 1、对数的概念： ，常用对数 lg x，自然对数：ln x。 2、对数的性质：N = a x > 0；log a 1 = 0 , log a a = 1； 。 3、课前练习： 64 12 6 =− 73.5)3 1( =m 416log 2 1 −= 3 2log64 −=x 9log 27 3 45 log 625 2 5log (log ) 1x = 4 3 1 2 log [log (log )] 0x = NxNa a x log=⇔= Na Na =log（1）给出四个等式：① ② ③若 ，则 x = 10 ④若 则 其中正确的是 。 （2） 。 （3） 。 （4） ？ 二、核心内容整合 对数的运算性质：如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么： （1） ； （2） ； （3） 。 语言表达：两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和； 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差； 一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数的 n 倍。 证明： 证：设 ，由对数的定义可以得： ， 所以 ， 即证得 。 学生类比证明（2）（3）。 三、例题分析示例 例 1、用 表示下列各式： （1） ； （2） 。 例 2、求下列各式的值： （1） ； （2） 。 课堂小结：对数的运算性质 如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么： lg(lg10) 0= lg(ln ) 0e = lg 10x = ln x e= 2x e= 3 3 3log 1 log 3 log 27+ + = ln lg100e + = 7lg14 2lg lg7 lg183 − + − = NMMN aaa logloglog += NMN M aaa logloglog −= )(loglog RnMnM a n a ∈= NMMN aaa logloglog += log ,loga aM p N q= = ,p qM a N a= = logp q p q aMN a a a MN p q+= ⋅ = ⇒ = + NMMN aaa logloglog += zyx aaa log,log,log z xy alog 3 2 log z yx a )24(log 57 2 × 5 100lg（1） ； （2） ； （3） 。 说明（1）简易语言表达； （2）有时可逆向运用公式； （3）底数的取值必须是 ； （4）注意： ， 巩固练习：P68，练习 1、2、3。 提高练习： 1（1）若 ，则 x = 。 （2 ） 的值为 。 （3） 。 四、探究 （1） ； （2） （换底公式）； （3） 。 分析：（1）设 ， 所以 。 （2）设 ， 所以 。 （3） 。 应用：P75，练习，4。 NMMN aaa logloglog += NMN M aaa logloglog −= )(loglog RnMnM a n a ∈= (0, )+∞ log ( ) log loga a aMN M N≠ ⋅ log ( ) log loga a aM N M N± ≠ ± lg lg 2lg 3lgx a b c= + − 6 6 1 log 12 log 22 − 2 2log 8 4 3 log 8 4 3+ + − = log logm n aa nN Nm = )0,10,10(log loglog >≠>≠>= bccaaa bb c c a 且且 log log 1a bb a⋅ = log ( ) logm n m x n mx n n aa N x a N a N N mx= ⇒ = ⇒ = ⇒ = 1 log logn a a nx N Nm m = = bxabaaxba bx a xx ccc c c logloglogloglog log =⇒=⇒==⇒= a bb c c a log loglog = lg lglog log 1lg lga b b ab a a b ⋅ = ⋅ =五、课后作业：P74 习题 2.2，A 组，3、4、5。 教学反思： 第三课时 对数运算性质的应用 一、课标定位 （一）知识与技能 1、掌握对数的运算性质，能较熟练地运用对数的运算性质解决有关对数式的化简、求值问 题。 2、掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简 单的化简和证明 。 3、能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答。 （二）过程与方法 1、利用类比的方法，得出对数的运算性质，体会数学知识的前后连贯性，加深对公式内容 及公式适用条件的记忆。 2、结合实例探究换底公式，并通过换底公式的应用，体会化归与转化的数学思想。 3、通过师生之间、学生之间互相交流探讨，培养探究能力。 （三）情感态度与价值观 1、通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发 学生的学习兴趣，培养严谨的科学精神。 2、通过计算器来探索对数的运算性质，认识到现代信息技术是认识世界的有效手段和工具， 激发学生学习数学的热情。 二、教学过程设计 （一）知识梳理 1、对数的运算性质 如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 2、换底公式： ； NMMN aaa logloglog += NMN M aaa logloglog −= )(loglog RnMnM a n a ∈= log logm n aa nN Nm = )0,10,10(log loglog >≠>≠>= bccaaa bb c c a 且且（二）对数运算性质的运用 例 1、若 ，则下列各式中： ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ⑦ ； ⑧ 。 其中成立的有（ ） （A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个 例 2、 。 练习 1、若 ，则（ ） （A）a < b < c （B）c < b < a （C）c < a < b （D）b < a < c （三）对数换底公式的应用 例 3、已知 ，求 b 的值。 例 4、设 ，求 的值。 练习 2、若 ，则有（ ） （A） （0，1） （B） （1，2） （C） （2，3） （D） （3，4） （四）、对数运算在实际问题中的应用 例 5、20 世纪 30 年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量 地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大。这就是我们常说的 里氏震级 M，其计算公式为 M = lg A – lg A 0，其中，A 是被测地震的最大振幅，A 0 是“标 准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）。 （1）假设在一次地震中，一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20，此时 标准地震的振幅是 0.001，计算这次地震的震级（精确到 0.1）； （2）5 级地震给人的震感已比较明显，计算 7.6 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 多少倍（精确到 1）。 例 6、科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳 14。碳 14 的衰变极有规律，其 0, 1, 0, *a a x y n N> ≠ > > ∈ (log ) logn a ax n x= (log ) logn n a ax x= 1log loga ax x = − log loglog a a a x y y x = 1log logn a ax xn = 1 log log n a ax xn = log log n n a ax x= log loga a x y x y x y x y − += −+ − 22lg 25 lg8 lg5 lg 20 lg 23 + + ⋅ + = ln 2 ln3 ln5, ,2 3 5a b c= = = 3log log 4a b a⋅ = 3 4 36x y= = 2 1 x y + 5 6 7 8 9log 6 log 7 log 8 log 9 log 10y = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ y∈ y∈ y∈ y∈精确性可以称为自然界的“标准时钟”。动植物在生长过程中衰变的碳 14，可以通过与大气 的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳 14 含量保持不变。死亡后的动植 物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳 14 按确定的规律衰减，我们已经知道 其“半衰期”为 5730 年。 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳 1 4 的残余量约占原始含量的 76.7%，试推算马王堆古墓 的年代。 练 习 3 、 声 音 的 强 度 D （ dB ） 由 公 式 ： 给 出 ， 其 中 I 为 声 音 能 量 （ ），能量小于 时，人听不见声音。求： （1）人低声说话（ ）的声音强度； （2）平时常人的交流（ ）的声音强度； （3）听交响音乐时，坐在铜管乐前（ ）的声音强度。 （五）探究创新 设 满足 ，用 表示 ，并求当 x 取 何值时， 取得最小值。 （六）课堂小结 1、利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围； 2、初学对数运算法则时，容易出现下面的错误： ， ， ， …；产生 这样错误的原因是将积、商、幂的对数与对数的积、商幂混淆起来，把对数符号当作表示数 的字母进行运算； 3、换底公式可将各种底的对数换算为常用对数或自然对数，是对数运算中非常重要的工具。 （七）作业：课本 P74，习题 2.2，A 组 11，12；B 组 3。 教学反思： 1610lg( )10 ID −= 2/W cm 16 210 /W cm− 13 210 /I W cm−= 6 23.16 10 /I W cm−= × 6 25.01 10 /I W cm−= × 0, 1, ,a a x y> ≠ log 3log log 3a x xx a y+ − = loga x loga y loga y log ( ) log loga a aM N M N± = ± log log log loga a a aM N M N⋅ = + loglog log a a a MM N N = log (log )n n a aN N=