高中数学 2.3 幂函数教案 新人教A版必修1.doc

2.3 幂函数 （一）实例观察，引入新课 (1)如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w 千克,那么她需要支付 P = W 元 P 是 W 的函数 （y=x） (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 S=a2 S 是 a 的函数 （y=x2） (3)如果立方体的边长为 a,那么立方体的体积 V =a3 S 是 a 的函数 （y=x3） (4) 如 果 一 个 正 方 形 场 地 的 面 积 为 S, 那 么 正 方 形 的 边 长 a= a 是 S 的 函 数 （y= ） (5) 如 果 某 人 t s 内 骑 车 行 进 1 km, 那 么 他 骑 车 的 平 均 速 度 v=t-1 V 是 t 的 函 数 （y=x-1） 问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征? 学生反应：底数都是自变量，指数都是常数. 【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征. （二）类比联想，探究新知 1.幂函数的定义 一般地，函数 y=xɑ叫做幂函数(power function) ， 其中 x 为自变量，ɑ　为常数。 注意:幂函数的解析式必须是 y = ｘa 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学 生判断 y=2x2 y=（x+1）2 y=x2+1 是否为幂函数） 【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 2.幂函数的图像与简单性质 同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定 义域，值域，单调性，奇偶性，定点） 不妨也找出典型的函数作为代表： y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 让学生自主动手，在同一坐标系中画出这 5 个函数的图像 1 2S 1 2x 1 2x问题三：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么？ 学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当 x>0 时所有幂函数都有意义,且函数值都 为正. 问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？ 学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚. 教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递 增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。 而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个函数递减. 问题五：所有图像都过哪些点，为什么？ 学生反应：都过点（1,1），因为 1 的任何指数幂都为 1. 问题六:对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？ 学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在 原点没有意义. 问题七：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？ 学生反应：当 0