“方程的根与函数的零点”
【教学目标】
一、知识与技能
1、通过探索一元二次方程的实根与二次函数图象之间的关系，让学生领会方程的根与函数
零点之间的联系，了解零点的概念.
2、以具体函数在某区间上存在零点的特点，探索在某区间上图象连续的函数存在零点条件
以及个数，理解并掌握在某个区间上图象连续的函数零点存在的判定方法.
二、过程与方法
1、采用“设问——探索——归纳——定论”层层递进的方式来突破本课的重难点。由二次
函数的图象与 x 轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破口，探究方程的根与函数的零点
的关系，以探究的方法发现函数零点存在的条件。
2、在课堂探究中渗透由特殊到一般的认识规律，渗透数形结合思想及转化思想以及函数与
方程的思想，培养学生观察、分析、归纳、抽象和概括能力.
三、情感、态度、价值观
努力营造平等、民主的课堂气氛，以学生为主体，营造学习氛围，使学生产生热爱学习数学
的积极心理，引导学生进行积极主动的学习，培养良好的数学学习情感. 在函数与方程的联系中
体验数形结合思想，培养学生的辨证思维能力，以及分析问题解决问题的能力．从易到难，使学
生体会到学习数学的成功感，体验规律发现的快乐．
【教学重点】
1、体会函数的零点与方程根之间的联系；
2、掌握函数零点存在的判定方法.
【教学难点】
函数零点存在的判定方法及其运用.
【教学方式与手段】
电脑，多媒体，黑板．
【教学过程设计】
（一）设问激疑，引出新知
方程解法史话：在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的
一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.对于方程的求解问题，古今中外的数学家已经作了大量的工作，取得辉煌的成果，比如花拉
子米公元 825 年左右编辑著成了《代数学》，比较完整地讨论了一次、二次方程的一般原理；我
国南宋数学家秦九绍在《数书九章》中提出了“正负开方术”，此法可以求出任意次代数方程的
正根；1824 年，挪威数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。随着计算机技
术的发展，方程的数值解法得到了广泛的运用，如二分法，牛顿法、弦截法等，今天我们将沿着
前人走过的足迹一起探索对于一般方程的求解方法.
【设计意图：了解数学史，激发学生学习兴趣。】
问题 1 求下列方程的根．
（1） ；
（2） ；
（3） .
问题 2 观察下表(一)，求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象的简图，并
写出函数图象与 x 轴交点的坐标。
方 程
函 数
函 数
图 象
（简图）
方程的实数根
函数的图象与轴的交
点
提出疑问：方程的根与函数图象与 轴交点的横坐标之间有什么关系？
结论：方程的根就是函数图象与 轴交点的横坐标。
问题 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程
及相应的二次函数 的图象与 x 轴交点的关系，上述结
论是否仍然成立？
023 =+x
0652 =+− xx
062ln =−+ xx
0322 =−− xx 0122 =+− xx 0322 =+− xx
322 −−= xxy 122 +−= xxy 322 +−= xxy
x
x
2 0ax bx c+ + =
( 0)a > cbxaxy ++= 2 ( 0)a >方 程 的 根
函数的图象
（简图）
图象与 x 轴
的交点
【设计意图：让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.为引出函数零
点的概念做准备。】
（二）总结归纳，形成概念
1、函数的零点：
对于函数 y=f（x），我们把使方程 f（x）=0 的实数 x 叫做函数 y=f（x）的零点。
辨析练习：函数 的零点是：（ ）
A．（-1，0），（3，0）； B．x=-1； C．x=3； D．-1 和 3．
问：零点是一个点吗？
说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．
②求函数零点就是求方程 f(x)＝0 的根．
【设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解．】
2、你能说说方程的根、函数图象与 x 轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗？
等价关系：方程 f（x）=0 有实数根
函数 y=f（x）的图象与 x 轴有交点
函数 y=f（x）有零点
【设计意图：引导学生给出函数零点的定义，并引导学生仔细体会这段文字，感悟其中的思想方
法；通过引导，学生自己归纳出三者之间的关系，并且明确提出转化思想。】
3、归纳函数的零点与方程根的关系
)0(
02
>
=++
a
cbxax
0>∆
0=∆
0
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