高中数学 3.2.1 几类不同增长的函数模型教案 新人教A版必修1.doc

3.2.1 几类不同增长的函数模型 教学目标： 1．借助计算器或计算机制作数据表格和函数图像，对几种常见的函数类型的增长情况进行比较，在 实际应用的背景中理解直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的差异。 2．通过对投资方案的选择，学会利用数据表格和函数图像分析问题和解决问题；引导学生充分体验 将实际问题“数学化”解决的过程， 从而理解“数学建模”的思想方法解决问题的有效性。 3．鼓励学生收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数 等），体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，从而培养学习数学的兴趣。 教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长 差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 教学难点：如何选择和利用不同函数模型增长差异性分析解决实际问题。 技术手段：计算机辅助教学。 教学方法：启发探究式。 教学过程 一、创设情境，引入课题 （1）先看一张图片，这是什么动物？ （2）关于兔子有这样一段故事： 1859 年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的 牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到 100 年， 兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到 75 亿只． （3）请看画面。 （4）可爱的兔子变得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大 降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二 十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气． （5）一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群 在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中， 种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描 述后期的增长. （6）生活中的增长现象比比皆是，在我们学过的函数中也有许多成增长形态发展的。因此研究不同 增长函数模型是非常必要的。 二、组织引导，合作探究 例 1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报 40 元； 方案二：第一天回报 10 元，以后每天比前一天多回报 10 元；方案三：第一天回报 0 .4 元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？ 【问题 1】选择最佳投资方案的原则是什么？ 预案一：谁的回报多。 （有条件限制吗？回报指的是什么——是每天回报还是总回报） 预案二：相同条件下，谁的回报多。 （相同条件指的是什么？） 答案：从第一天起，相同时间内哪一个方案的累计回报数（总回报数）多，就选哪一个方案。 【问题 2】本题中涉及哪些数量关系? 如何利用函数描述这些数量关系? 预案一：总回报数与天数的关系。 设总回报数为 y 元，投资天数为 x 则方案一：y=40x(x∈N*)； 方案二： ； 方案三： 。 请学生课下进一步探究。 预案二：每天回报数与投资天数之间的关系。 设第 x 天所得回报是 y 元,则 方案一可用函数 y=40(x∈N*)进行描述; 方案二可以用函数 y=10x(x∈N*)进行描述; 方案三可以用函数 进行描述。 【问题 3】你能认识一下方案中的三个函数吗？ 方案一是常数函数；方案二是一次函数；方案三是指数型函数，方案二、三中的函数都是增函数。 【问题 4】下面利用这三个函数关系式,算出每天的回报数，请填写在表一中。 方案一 方案二 方案三x/天 每天回报数 y/元 每天回报数 y/元 每天回报数 y/元 1 40 10 0.4 2 40 20 0.8 3 40 30 1.6 4 40 40 3.2 5 40 50 6.4 2(1 )10(1 2 3 ) 10 5 52 x xy x x x += + + + + = = + 10.4(1 2 4 2 )xy −= + + + + 10.4 2 ( *)xy x N−= × ∈6 40 60 12.8 7 40 70 25.6 8 40 80 51.2 9 40 90 102.4 10 40 100 204.8 … … … … 30 40 300 214748364.8 【问题 5】这三个函数增长速度怎样，通过哪个量来判断这三个函数的增长速度？ （通过增加量（增长量）来判断，也就是从第二天起，每一天与前一天的变化量） 下面请同学再算一下每一种方案的增加量。 方案一 方案二 方案三x/天 每天回报数 y/元 增加量 每天回报数 y/元 增加量 每天回报数 y/元 增加量 1 40 10 0.4 2 40 0 20 10 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 10 40 0 100 10 204.8 102.4 … … … … … … … 30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4 【问题 6】这三种方案的增加量有何特点？ 可以看到，方案一、方案二增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的， 从第 7 天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的。 下面再从图象的角度来认识一下： （函数图象是分析问题的好帮手，为了便于观察，我们用虚线连接离散的点）我们看到：底为 2 的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多。因此，把指数增长也称为指数爆炸。 【问题 7】从这三种方案每天所得回报看，你能得到什么结论？ 第 1~3 天，方案一最多； 在第四天，方案一和方案二一样多，方案三最少； 在第 5~8 天，方案二最多； 第 9 天以后，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第 30 天，所得回报已超过 2 亿元。 【问题 8】根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资 5 天以下选方案一，投资 5~8 天选方案二， 投资 8 天以上选方案三？ 【问题 9】下面再算一下三种方案的累计回报，填写在表格中。 【问题 10】从累计的回报数看，你会选择哪种方案？ 结论：投资 1~6 天，应选择第一种投资方案； 投资 7 天，应选择第一或二种投资方案； 投资 8~10 天，应选择第二种投资方案； 投资 11 天（含 11 天）以上，应选择第三种投资方案。 【问题 11】从上面问题可以看出，几种常见函数的增长情况如下： 常数函数 一次函数 指数型函数 保持不变 直线上升 指数爆炸 【问题 12】解决实际问题的一般步骤是什么？ 问 题 解 决 数 学 解 答 符合实际 回到实际问题 数学问题结论实际问题结论 实际问题 数学问题(转化成数学问题) 数学化例 2．某公司为了实现 1000 万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达 到 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 （单位：万元）随销售利润 （单位：万元）的增加而增 加但奖金不超过 5 万元．现有三个奖励模型： ， ， ．问：其中哪个模 型能符合公司的要求？ 【问题 1】本题涉及到的三个函数都是什么函数？ 【问题 2】 的取值范围，即函数的定义域是什么？ 由于公司总的利润目标为 1000 万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润。于是， [10,1000]。 【问题 3】某个奖励模型符合公司要求，要满足哪些条件？ 奖金总数不超过 5 万元，即 。 【问题 4】结合图象，并通过计算哪个模型的奖金总数不超过 5 万？ （1）对于模型 y=0.25x,它在区间[10,1000]上递增,当 x=20 时，y=5，因此，当 x∈(20,1000)时,y>5,因 此该模型不符合要求。 （2）对于模型 ,由函数图象,并利用计算器,可知在区 间(805,806)内有一个点满足 ,由于它在[10,1000]上 递增,因此当 时,y>5,因此该模型也不符合要求。 （3）对于模型 ,它在区间[10,1000]上递增,而且 当 x=1000 时, ,所以它符合奖金总数不超过 5 万元的要求。 【问题 5】你对对数型函数模型增长有怎样的认识？ 结论：对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律。 y x 0.25y x= xy 002.1= 1log7 += xy x x∈ 0 5y≤ ≤ 1.002xy = 01.002 5x = 0x x> 7log 1y x= + 7log 1000 1 4.55 5y = + ≈ = nxy n )1( >= aay x )1(log >= axy a ),0( +∞ 43,21 ,, yyyy x 1、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型 不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述。 对 数 增 长 指 数 爆 炸 直 线 上 升 具 体 问 题 确 定 函 数 模 型 数 据 表 格 函 数 图 像 分析 利用 体会模 型 分析讨论2、 3、对数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律； 指数增长模型比较适合于描述增长速度骤变的变化规律。的方式。发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。 3.通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解函数模型差异、结论逐步形成的过程，体会 蕴含在其中的思想方法，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。 4.利用信息技术来呈现教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计 算器、多媒体教育技术平台，加强数学教学与信息技术的整合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索 和发现。